理想气体压强公式的一种简易推导

作者：孙国标　杨丽芬

来源：《物理教学探讨》2006年第23期

        1 理论推导

        设一个半径为R的球形容器中，装有N个理想气体分子，都永不停息地在做无规则运动，且每个分子质量为m。

        选取任一分子作为研究对象,设其速率为vi，与容器器壁A点发生碰撞，且分子将以如图所示依次与B,C点发生碰撞。由于分子与器壁之间是弹性碰撞，因此分子的速度大小不变。

        由图可知，分子每次碰撞的动量增量为

        ｜Δpi｜=2mvicosα。（1）

        且连续两次碰撞（如从A点到B点）的时间为

        Δt=2Rcosαvi。（2）

        根据动量定理和牛顿第三定律可知，单个分子对器壁的平均冲力为

        Fi=｜Δpi｜Δt= mv 2iR。（3）

        方向垂直器壁表面向外。

        N个分子对器壁的平均作用力为

        F=∑Fi=mR∑v 2i=NmR∑v 2iN=NmR v 2。（4）

        则N个分子对器壁的压强为

        p=FS=F4πR 2=Nm4πR 3 v 2。（5）

        由于分子密集程度为

        n=NV=3N4πR 3。（6）

        则（5）式可以化为

        p=FS=F4πR 2=13nm v 2=23n EK。（7）

        可见，气体压强由两个因数决定，一是与单位体积内的分子数（分子密集程度）n成正比；二是与气体的分子平均动能成正比。

        2 小结

        上面通过利用质点的动量定理，由单个质点与器壁的碰撞求出单个质点在单位时间对器壁的平均作用力，然后对N个分子进行求和，再由压强定义求出理想气体的压强公式，避免应用了“等几率假设”，与其它方法相比，更容易使学生接受。虽然此方法求出的是球形容器内平衡态下理想气体的压强公式，但从得出的结论可以看出，压强与容器的形状没有关系，只与分子的密集程度和分子平均平动动能有关，因而也不失为一般性。

        参考文献：

        ［1］ 程守洙,江之永.普通物理学［M］，第五版.北京:高等教育出版社,1998.

        ［2］张三慧.热学［M］，第二版.北京:清华大学出版社,1999.

        (栏目编辑黄懋恩)

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