2015-2017高考数学(理)真题汇编 数列小题含答案解析

1.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为

A．1                B．2                C．4                D．8

2.【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为

A．            B．                C．3            D．8

3.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏               B．3盏             C．5盏                 D．9盏　

4.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴

趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，

1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来

的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么

该款软件的激活码是

A．440                B．330                C．220                D．110

5.【2017浙江，6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的

A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件

6.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（）

A．若，则               B．若，则

C．若，则               D．若，则

7.【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则（）

（A）100   （B）99  （C）98  （D）97

8.【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，

（）.若（）

A．是等差数列B．是等差数列

C．是等差数列D．是等差数列

9.【2016年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(   )

（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）

（ A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年

10.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（  ）

A.       B.    C.       D.

11.【2014高考重庆理第2题】对任意等比数列,下列说法一定正确的是(      )

成等比数列成等比数列

成等比数列成等比数列

12.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）

A、-1                 B、0                       C、1                   D、6

13.【2014福建，理3】等差数列的前项和，若，则(    )

14.【2015高考福建，理8】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）

A．6   B．7    C．8      D．9

15.【2014辽宁理8】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）

A．B．C．D．

16.【2015课标2理4】已知等比数列满足a1=3， =21，则 (     )

A．21      B．42       C．63     D．84

17.【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.

18.【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.

19.【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，，，则。

20.【2017北京，理10】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.

21.【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为．

21.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．

22.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是. 

23.【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为

24.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．

25.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．

26.【2014，安徽理12】数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则________．

27.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.

28.【2014天津，理11】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．

29.【2015湖南理14】设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则.

1.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为

A．1                B．2                C．4                D．8

【答案】C

【解析】

试题分析：设公差为，，，联立解得，故选C.

秒杀解析：因为，即，则，即，解得，故选C.

【考点】等差数列的基本量求解

【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.

2.【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为

A．            B．                C．3            D．8

【答案】A

【解析】

故选A.

【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算

【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

3.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏               B．3盏             C．5盏                 D．9盏

【答案】B

【解析】

试题分析：设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B。

【考点】等比数列的应用；等比数列的求和公式

4.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴

趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，

1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来

的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么

该款软件的激活码是

A．440                B．330                C．220                D．110

【答案】A

【解析】试题分析：由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为

要使，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，

所以，则，此时，

对应满足的最小条件为，故选A.

【考点】等差数列、等比数列的求和.

5.【2017浙江，6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的

A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

试题分析：由，可知当，则，即，反之，，所以为充要条件，选C．

【考点】等差数列、充分必要性

【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知，结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故为充要条件．

6.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（）

A．若，则               B．若，则

C．若，则               D．若，则

【答案】C

【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，选C.

考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.

7.【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则（）

（A）100   （B）99  （C）98  （D）97

【答案】C

【解析】

试题分析：由已知,所以故选C.

考点：等差数列及其运算

8.【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，

（）.若（）

A．是等差数列B．是等差数列

C．是等差数列D．是等差数列

【答案】A

【解析】

试题分析：表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．

考点：等差数列的定义．

【思路点睛】先求出的高，再求出和的面积和，进而根据等差数列的定义可得为定值，即可得是等差数列．

9.【2016年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(   )

（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）

（ A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年

【答案】B

【解析】

试题分析：设第年的研发投资资金为，，则，由题意，需

，解得，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.

考点：等比数列的应用.

得结论。

10.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（  ）

B.       B.    C.       D.

【答案】B.

【解析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，

∴，∴，，故选B.

【考点定位】1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求

解能力，属于容易题，将，表示为只与公差有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.

11.【2014高考重庆理第2题】对任意等比数列,下列说法一定正确的是(      )

成等比数列成等比数列

成等比数列成等比数列

【答案】D

【解析】

试题分析：因为数列为等比数列，设其公比为，则

所以，一定成等比数列，故选D.

考点：1、等比数列的概念与通项公式；2、等比中项.

等的两项的积相等更能快速作答。

12.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）

A、-1                 B、0                       C、1                   D、6

【答案】B

【解析】由等差数列的性质得，选B.

【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.

【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题.

13.【2014福建，理3】等差数列的前项和，若，则(    )

【答案】C

【解析】

试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.

考点：等差数列的性质.

【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及简单的计算问题，等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

14.【2015高考福建，理8】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）

A．6   B．7    C．8      D．9

【答案】D

【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．

【考点定位】等差中项和等比中项．

行讨论，属于难题。

15.【2014辽宁理8】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.

考点：1.等差数列的概念；2.递减数列. 

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差数列的通项，利用是递减数列，确定得到，得到结论.

本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.

16.【2015课标2理4】已知等比数列满足a1=3， =21，则 (     )

A．21      B．42       C．63     D．84

【答案】B

【解析】设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B．

【考点定位】等比数列通项公式和性质．

【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，通过求等比数列的基本量，利用通项公式求解，若注意到项的序号之间的关系，则可减少运算量，属于基础题．

17.【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.

【答案】

【解析】

试题分析：，

再由，又，

所以

考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前项和．

则很容易出现错误。

18.【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.

【答案】

【解析】

试题分析：设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：

，由可得：，代入①可得，

由等比数列的通项公式可得： .

【考点】等比数列的通项公式

【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

19.【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，，，则。

【答案】

【解析】

试题分析：设等差数列的首项为，公差为，

由题意有：，解得，

数列的前n项和,

裂项有：，据此：

。

【考点】等差数列前n项和公式；裂项求和。

上造成正反相消是此法的根源与目的。

20.【2017北京，理10】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.

【答案】1

【解析】

试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为和，，求得，那么.

【考点】等差数列和等比数列

21.【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为．

【答案】

【解析】

试题分析：设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.

考点：等比数列及其应用

【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做. 

21.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．

【答案】

【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．

【考点定位】等差数列和递推关系．

【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项与的关系，从而转化为与的递推式，并根据等差数列的定义判断是等差数列，属于中档题．

22.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是   ▲    .

【答案】

【解析】由得，因此

考点：等差数列性质

【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如及等差数列广义通项公式

【考点定位】等比数列的通项公式．

23.【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为

【答案】

【解析】由题意得：

所以

【考点定位】数列通项，裂项求和

【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.

24.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．

【答案】

【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．

【考点定位】等差中项．

25.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．

【答案】

【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．

【考点定位】等差数列和递推关系．

【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项与的关系，从而转化为与的递推式，并根据等差数列的定义判断是等差数列，属于中档题．

26.【2014，安徽理12】数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则________．

【答案】．

【解析】

试题分析：∵成等比，∴，令，则，即，∴，即，∴．

考点：1．等差，等比数列的性质．

【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是，则（等差数列），（等比数列）；②注意在平时提高自己的运算求解能力，尤其是换元法在计算题中的应用；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前项和公式等.

27.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.

【答案】

【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.

【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是，则（等差数列），（等比数列）；②注意题目给定的条件，如本题中“递增”，说明；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前项和公式等.

28.【2014天津，理11】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．

【答案】．

【解析】

试题分析：依题意得，∴，解得．

考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前项和公式．

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前项和公式表示出然后依据成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前项和公式通过列方程或方程组就可以解出.

29.【2015湖南理14】设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则.

【答案】.

【解析】

试题分析：∵，，成等差数列，∴，

又∵等比数列，∴.

【考点定位】等差数列与等比数列的性质.