中考数学圆_经典压轴题[带答案解析]

（1）求证：KE=GE；   

（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；   

（3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知

∠EAT=30°，AE=3，MN=2．

（1）求∠COB的度数；

（2）求⊙O的半径R；

（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

∴=，

△CDE∽△CAD，

∴∠CDB=∠DBC，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴BC=CD；

（2）解：如图，连接OC，

∵BC=CD，

∴∠DAC=∠CAB，

又∵AO=CO，

∴∠CAB=∠ACO，

∴∠DAC=∠ACO，

∴AD∥OC，

∴=，

∵PB=OB，CD=，

∴=

∴PC=4

又∵PC•PD=PB•PA

∴PA=4也就是半径OB=4，

在RT△ACB中，

AC===2，

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°

∴∠FDA+∠BDC=90°

∠CBA+∠CAB=90°

∵∠BDC=∠CAB

∴∠FDA=∠CBA

又∵∠AFD=∠ACB=90°

∴△AFD∽△ACB

∴

在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，

∴在RT△APF中有，，

求得DF=．

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由为：

连接GD，如答图2所示．

∵KG2=KDGE，即=，

∴=，又∠KGE=∠GKE，

∴△GKD∽△EGK，

∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，

∴∠E=∠C，

∴AC∥EF；

（3）连接OG，OC，如答图3所示．

sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即（3t）2+t2=（）2，

解得t=．

设⊙O半径为r，

在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．

∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，

在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，

∴FG===．