浙江省嘉兴市2013届高三4月二模考试数学(理)试题(word版,含答案)

高三数学试题卷（理科）

注意事项：

    1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;

    2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，，且，则

A．1             B．2               C．3             D．9

2．在复平面内，复数对应的点位于

A．第一象限      B．第二象限     C．第三象限         D．第四象限

3．若，，则

A．        B．          C．     D． 

4．函数，的值域是

A．           B．        C．           D． 

5．在的展开式中，的系数是

A．20          B．         C．10           D． 

6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的

直径均为2，则该几何体的体积为

A．         B． 

C．         D． 

7．在平面直角坐标系中，不等式表示的平面区域的面积是

A．            B．4               C．         D．2 

8．若表示直线，表示平面，且，则“”是“”的

A．充分而不必要条件                B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                  D．既不充分也不必要条件

9．设是平面内的一条定直线，是平面外的一个定点，动直线经过点且与成角，则直线与平面的交点的轨迹是

A．圆            B．椭圆            C．双曲线        D．抛物线

10．设是有穷数列，且项数．定义一个变换：

将数列变成，其中．

从数列开始，反复实施变换，直到只剩下一项而不能变换为止．则变换所产生的所有项的乘积为

A．      B．     C．   D． 

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．设数列满足，，则　　▲　　．

12．若某程序框图如图所示，则运行结果为　　▲　　．

13．将函数的图象先向左平移1个单位，

再横坐标伸长为原来的2倍，则所得图象对应

的函数解析式为　　▲　　．

14．从点到点的路径如图所示，则

不同的最短路径共有　　▲　　条．

15．设△的三边长分别为，重心为，

则　　▲　　．

16．设，有下列命题：

①若，则在上是单调函数；

②若在上是单调函数，则；

③若，则；

④若，则．

其中，真命题的序号是　　▲　　．

17．已知点和圆：，是圆的直径，和是的三等分点，（异于）是圆上的动点，于，，直线与交于，则当　　▲　　时，为定值．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

在△中，角所对的边分别为，满足．

（Ⅰ）求角；（Ⅱ）求的取值范围．

19．（本题满分14分）

一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量为取出3球中白球的个数，已知．

（Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望．

20．（本题满分15分）

如图，在△中，，，点在上，交于，交于．沿将△翻折成△，使平面平面；沿将△翻折成△，使平面平面．

（Ⅰ）求证：平面．

（Ⅱ）设，当为何值时，二面角的大小为？

21．（本题满分15分）

如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．

（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，设点到直线的距离为，求的最小值．

22．（本题满分14分）

已知，函数．

（Ⅰ）若，求函数的极值点；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围．

（为自然对数的底数）

2013年高三教学测试（一）

理科数学 参

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．B；        2．B；        3．C；        4．A；        5．D；

6．A；        7．B；        8．D；        9．C；        10．A．

第9题提示：动直线的轨迹是以点为顶点、以平行于的直线为轴的两个圆锥面，而点的轨迹就是这两个圆锥面与平面的交线．

第10题提示：数列共有项，它们的乘积为．经过次变换，产生了有项的一个新数列，它们的乘积也为．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2013组，每组的项数依次为，乘积均为，故答案为．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．81；        12．5；        13．；          14．22； 

15．；          16．①③；                    17．．

第17题提示：设，则，…① 

…②   由①②得，

将代入，得．由，得到．

三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）

18．（本题满分14分）

在△中，角所对的边分别为，满足．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）求的取值范围．

解：（Ⅰ） ，化简得，        …4分

所以，．                                …7分

   （Ⅱ）．        …11分

因为，，所以．

故，的取值范围是．                                    …14分

19．（本题满分14分）

一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量为取出3球中白球的个数，已知．

（Ⅰ）求袋中白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望．

解：（Ⅰ）设袋中有白球个，则，                    …4分

即，解得．                                …7分

（Ⅱ）随机变量的分布列如下：                                    …11分

20．（本题满分15分）

如图，在△中，，，点在上，交于，交于．沿将△翻折成△，使平面平面；沿将△翻折成△，使平面平面．

（Ⅰ）求证：平面．

（Ⅱ）设，当为何值时，二面角的大小为？

解：（Ⅰ）因为，平面，所以平面．        …2分

因为平面平面，且，所以平面．

同理，平面，所以，从而平面．    …4分

所以平面平面，从而平面．                …6分

（Ⅱ）以C为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过C且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．                        …7分

则，，

，．

，

，

．

平面的一个法向量，                            …9分

平面的一个法向量．                                …11分

由，                            …13分

化简得，解得．                    …15分

21．（本题满分15分）

如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．

（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，设点到直线的距离为，求的最小值．

解：（Ⅰ）的焦点为，                                        …2分

所以，．                                            …4分

故的方程为，其准线方程为．                    …6分

（Ⅱ）设，，， 

则的方程：，

所以，即．

同理，：，．                …8分

的方程：，

即．

由，得，．        …10分

所以直线的方程为．                                …12分

于是．

令，则（当时取等号）．

所以，的最小值为．                                            …15分

22．（本题满分14分）

已知，函数．

（Ⅰ）若，求函数的极值点；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围．

（为自然对数的底数）

解：（Ⅰ）若，则，．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．                        …2分

又因为，，所以

当时，；当时，；

当时，；当时，．            …4分

故的极小值点为1和，极大值点为．                    …6分

（Ⅱ）不等式，

整理为．…（*）

设，

则（）

．                            …8分

①当时，

，又，所以，

当时，，递增；

当时，，递减．

从而．

故，恒成立．                                                …11分

②当时，

．

令，解得，则当时，；

再令，解得，则当时，．

取，则当时，．

所以，当时，，即．

这与“恒成立”矛盾．

综上所述，．                                                …14