进制与位值原理

进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换及计算的规律，并熟悉进制的应用．

    在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简化解题过程的作用．

    ⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧；

    ⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用．

同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便．随着人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的进位制，我们来一起看一些例子．

两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；平方分米等于平方米，平方厘米等于平方分米，这里使用的是一百进制；米等于千米，克等于千克，这里使用的是一千进制；……．

进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生活带来很多便利哦！

什么叫二进制

所谓二进制，就是只用与两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”．

大家知道：数是计算物体的个数而引进的，代表什么也没有，有一个，记为“”；再多一个，记为“”(在十进制下记为)；比“”再多一个，记为“”．依次类推，我们很容易接受二进制下从小到大的数列，列表如下：

十进制与二进制的互相转化

今天，当我们写上一个数目时，实际上意味着我们使用了“十进制”数， ，也就是说：中含有一个，九个，九个与九个．

为了叙述的方便，我们约定：用表示括号内写的数是二进制数，如；用表示括号中写的数是十进制数，如；十进制的标志可省略，就代表十进制下的数．

二进制数表示十进制数；二进制数，表示十进制数；二进制数，表示十进制数；二进制数表示十进制数；…；可以看出规律：二进制数应该表示十进制数，．那么我们可以得到，二进制数中计数单位与十进制数有如下关系：

    二进制数有0，1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，……，7八个数符，由低位向高位是“逢八进一”；十六进制数有0，1，2，……，13，14，15十六个数符，由低位向高位是“逢十六进一”．根据科学技术的需要，还可以扩充其他进位制数的概念和运算．

    为了区别各种进位制数，进制中的数用表示．如果，那么从10到的这些数符可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示．比如，用表示10，表示11，表示12，表示13，表示14，表示15等等．

⑵ 十进制数与进制数的互换：

进制数写成十进制数是．

十进制数化成进制数，只要把十进制数用除，记下余数；再用除它的商，又记下余数；直到商为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个进制的数．这叫做“除取余法”．

    如把1234化成三进制数：

    所以，．

    ⑶ 一般地，一个自然数可表示为的形式，其中，，…，，是0，1，2，3，…，9中的一个，且，即：．

这就是十进制数，记作，简记为．十进制数有两个特征：

一是有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；

二是“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位．

⑷ 对于进位制需要注意其本质：进制就是逢进一．

［分析］掌握十进制转化为进制的基本方法：短除法.以和为例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来，就是37的二进制数..

同样的方法，我们用8去除888，一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：.

.

［巩固］（基础学案1）将、改写成二进制数．

［分析］可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.

［巩固］（提高学案1）将、改写成七进制数．

［分析］短除法.； 

［提高］（尖子学案1）十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十六两，所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用来表示十六进制中的.那么，聪明的同学们，你们能把十进制中的234化成十六进制数吗？

［分析］仍然用短除法. 

［分析］进制数化为十进制数的一般方法是：首先将进制数按的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．

    当然计算时，数位是0的可以省略.

［分析］（1）可转化成十进制来计算：

；

如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对进行除法计算，只是每次借位都是2，可得；

（2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在进制中也有“凑整法”，要凑的就是整．

原式

；

    （3）本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：

．

［铺垫］（基础学案2）尝试用竖式来计算二进制的加减法

［分析］十进制的加减法运算，需要“满十进一”，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二当一”.

［铺垫］（提高学案2）尝试用竖式来计算二进制的乘除法

［分析］    ⑴ 列竖式：                  ⑵ 列竖式：

得：         得： 

［拓展］（尖子学案2）完成下列进制的转化

［分析］不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别和使用，因此我们把二进制的每4位和在一起，就变成了十六进制.

那么第一个问题，我们把它每4位数码合在一起

，因此.

第二个问题，我们把它每一位拆成4位二进制数， 

，因此，.

［分析］利用尾数分析来解决这个问题：

由于，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．

但是式子中出现了4，所以要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于，因为，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道，那么不能是12．

所以，只能是6．

［巩固］（基础学案3）在几进制中有？

［分析］注意，因为，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以．再注意尾数分析，，而16324的末位为4，于是进到上一位．

所以说进位制为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．

因为出现了6，所以只能是7．

［拓展］（提高学案3）算式是几进制数的乘法？ 

［分析］注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为，但是现在为4，说明进走，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．

因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．

［拓展］（尖子学案3）记号表示k进制的数，如果是的两倍，那么，在十进制表示的数是多少？

［分析］可用位值原理来进行计算.

，依题意，，解得.

.

［分析］设此数为，利用位值原理转化为十进制数.

.又是三进制中的数字，所以，那么易得，.十进制表示是22.

［巩固］在七进制中有三位数，化为九进制为，求这个三位数在十进制中为多少？

［分析］首先还原为十进制：；．

于是；得到，即．

因为是8的倍数，也是8的倍数，所以也应该是8的倍数，于是或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是，，则．

所以为的倍数，为3的倍数．所以，或5，但是，首位不可以是0，于是，；所以．

于是，这个三位数在十进制中为248．

［拓展］用分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果，，是由小到大排列的连续正整数，那么所表示的整数写成十进制的表示是多少？

［分析］注意，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则，而，则．

而，所以，则．

又，所以，．

那么，为．

即所表示的整数写成十进制的表示是108．

［提高］自然数化为二进制后是一个7位数，那么x是多少？

［分析］根据位值原理，

于是.又是二进制中的数字，因此，那么易得.．

[补充]是自然数，进制数和进制数相等，的最小值是多少？

［分析］，根据位值原理，．

左右两边取4的模，有，那么，的最小值是9，此时.那么，．

［分析］若给每个盒子分别放入：，，，，发子弹，即相当于二进制数中的：，，，，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0．这样我们可以任意抽出：以内的任何发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前9个盒子中分别装：，，，，发子弹，相当于二进制数中的，，，，发子弹，最后一个盒子中只能放发子弹，即发子弹．即可凑出1000以内的任何数发子弹．所以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，，128，256，4．

［铺垫］（基础学案4）茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客．由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事．于是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高．现在我们的问题是：如果顾客要买中的任何整两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？

［分析］我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示．因为，所以用，，，，就可以表示中的所有整数．因为，，，，，所以茶叶店只要有包茶叶，分别重，，，，两，就可以满足一位顾客两茶叶的需要．

［拓展］（提高学案4）现有六个筹码，上面分别标有数值：.任意搭配这些筹码（也可以只选择一个筹码）可以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第个是多少？

［分析］由例题我们可以知道一共有个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中的39转化为2进制，应记为：．

所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，将其转化为10进制，有．即其中第39个数是256．

［拓展］（尖子学案4）我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边，物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体，那么最少需要几个砝码？

［分析］称量1克，需要1克的砝码；

称量2克，需要2克的砝码；

称量3克，需要1克和2克的砝码；

称量4克，需要4克的砝码；

……

有了这3个砝码，我们可以称量1克到7克的所有重量了，接下来还需要一个8克的砝码.

以此类推，共需要克10个不同的砝码.

接下来，我们可以验证，有了这10个砝码可以称量1克到1000克的全部重量.

10个砝码分别对应于二进制中的

.1到1023之间的任何一个十进制的自然数都可以用一个不超过10位的二进制数.如.那么对于其二进制表示的每一位，如果是1就代表需要这个砝码，如果是0就代表不需要这个砝码.如，代表我们可以用一个克和一个克砝码来称量513克.

因此最少需要克10个不同的砝码.

越玩越聪明：

超常挑战：

1.把下面的二进制数改写成十进制数．

⑴  ；⑵；

［分析］⑴

⑵  　

2.①；

②在八进制中， ________；

［分析］本题是进制的直接转化：；

②原式.

3.计算： 

［分析］

4.转化进位制

［分析］

5.在算式中，不同的汉字代表不同的数字，并且学、习、必、须、努、力按从大到小的顺序排列，那么，学、习、必、须、努、力应分别是多少？

［分析］通过观察题目给出的算式，我们很容易将题中的的乘方和二进制数联系到一起，所以我们只需将化成二进制数，再利用二进制定义即可．

， 

所以学、习、必、须、努、力分别代表的是、、、、、．