第十二章稳恒电流的磁场

§12-1、电流的磁场

【基本内容】

一、毕奥—萨伐尔定律

设有通电导线L，在L上以电流元，到场点P的矢径为，如图6.1，则在场点所产生的为：

大小：；方向：由与的右手定则确定。

真空中磁导率

二、磁场叠加原理：

在若干个电流或电流元产生的磁场中，某点的磁感应强度等于各个电流或电流元单独存在时在该点所产生的磁感应强度的矢量和。即

或

三、常见载流体的磁场分布

1、载流直导线的磁场分布

    半无限长直导线的磁场分布：

无限长直导线的磁场分布：

2、通电圆环轴线上的磁场

圆心处x=0：

对长为L的圆弧：

3、长直螺线管、密绕螺绕环内的磁场

【典型例题】

利用磁场叠加原理求磁场

毕萨定律是计算电流产生磁场的一般方法，应按矢量积分的方法计算。

磁场叠加原理：

    步骤：1、取电流元并求产生的，2、由磁场叠原理求：

（1）若各的方向相同，则直接积分；

（2）若各的方向不相同，则正交分解后积分

【例12-1】 闭合载流导线弯成如图例6-1所示的形状，载有电流I，试求：半圆圆心O处的磁感应强度。

【解】 闭合导线是由直导线和圆弧线组成，根据载流直导线和圆弧导线产生的磁场公式，可求得各段直线和圆弧线在O点产生的磁感应强度分别为：    

    方向：垂直纸面向外。

方向：垂直纸面向外。

方向：垂直纸面向里。

    方向：垂直纸面向里。

【例12-2】 在一半径R的无限长半圆柱形金属薄片中 ，自上而下地有电流I通过，如图例6-2所示，试求圆柱轴线上任一点P的磁感应强度。

    【解】 建立例6-2图解坐标系，取宽为ｄＬ的无限长直导线，其通有电流

该电流元在Ｏ处产生磁感应强度

大小： 

方向：各方向不同。

【例12-３】 一内半径为a，外半径为b的均匀带电圆环，绕过环心O且与环平面垂直的轴线以角速度ω逆时针方向旋转，如图例6-３。环上所带电量为＋Ｑ，求环心O处的磁感应强度。

【解】 该圆环的面电荷密度

    在圆环上取半径为ｒ，长为dr的小圆环，如图例6-3图解：

    其带电量： 

    当带电圆环旋转时，产生圆形电流：

    该圆形电流在O点处产生的磁感应强度

    大小： 

    方向：垂直纸面向外。

环心O处的磁感应强度

方向：垂直纸面向外。

【分类习题】

【12-1】 载有相等电流的四长直载流线均垂直于纸面，电流方向如图6-1。如其断面分布于边长为的正方形四顶角上，则正方形中心处磁场大小为                。

【12-2】 将半径为的无限长导体圆筒沿轴向割去一宽度为的狭缝后，再沿轴向均匀流有电流，电流面密度为,如图6-2，求轴上磁感强度的大小。

【12-3】 载有电流的无限长直导线折成形，顶角为，如图6-3。求轴上一点处的磁场。

【12-4】 宽为的无限长铜片，沿长度方向均匀流有电流，如图6-4，点与铜片共面且距铜片右边为，求处磁场。

【12-5】 一半径为的无限长圆柱形导体薄片，沿轴向均匀流有电流，如图6-5，求轴线上一点的磁场。并讨论当载流薄片为1/2圆周，其他条件不变时，处的磁场为多少？

【12-6】 真空中，边长为、电阻均匀分布的正三角形导体框架，电流由长直导线经点流入，由边的延长线流出，如图6-6，求三角形中心处的磁场。

【12-7】 两半无限长直导线和平行，并与半径为的均匀圆形电线共面相连形成回路，电流的方向如图6-7。求圆心处的磁场。

【12-8】 将相同的几根导线焊成立方体，如图6-8。在其对顶角接上电流，求立方体框架上的电流在其中心处的磁场。

【12-9】 载有电流的圆线圈，随着半径的增大，（1）圆心处的磁场将         。（2）轴线上各点的磁场将                  （填增大、减少、不变）。

【12-10】 半径为的塑料圆盘，其中半径为的部分均匀带面密度为的负电荷，其余部分带相同面密度的正电荷，如图6-10。当圆盘以角速度绕其心在纸平面内转动时，中心处的磁场为0，求与的关系。

【12-11】 一闭合回路由半径为和的同心共面半圆连接而成，如图6-11，其上均匀分布线密度为的电荷，当回路以角速度绕中心在纸平面内转动时，求处的磁场。

【12-12】 一载流为的细导线分别均匀密绕在半径为和的长直圆筒上，则两螺线管中的磁场                   。

【12-13】 载流长直圆筒（图6-13），沿圆周方向的电流面密度为。求圆周内的磁场。提示：可视为等效螺线管。

【12-14】 长直螺线管由直径为的漆包线密绕而成，当它通以的电流时，求管内磁场大小。

提示：密绕螺线管。

【习题答案】

【12-1】0【12-2】【12-3】以垂直于纸面向外为正【12-4】以垂直于纸面向里为正【12-5】【12-6】，垂直于纸面向里

【12-7】，以垂直于纸面向外为正【12-8】【12-9】减小。时，减小；时，增大【12-10】【12-11】【12-12】【12-13】，向右【12-14】

§12-2、磁场定理

【基本内容】

一、磁场的高斯定律

1、磁感应线

    磁感应线上每一点的切线方向表示该处磁感应强度的方向；磁感应线的疏密程度表示磁感应强度的大小；磁感应线是无头无尾的闭合曲线。

2、磁通量：垂直通过某一面积元dS的磁感应线的根数。

通过有限面积S的磁通量则为：

3、磁场的高斯定理

通过任意闭合曲面的磁通量为零：

意义：稳恒磁场是无源场，自然界中没有磁单极存在。

二、安培环路定理

1、定理的内容：

在稳恒磁场中，磁感应强度沿任意闭合路径的线积分等于通过该闭合环路所包围的的所有电流强度I的代数和的μ0倍。

：磁感应强度沿任意闭合回路的积分（环流）。

：闭合回路所包围的电流的代数和。

I的正负：由所取回路的方向按右手定则确定。

2、定理的意义

稳恒磁场是一非保守场，是有旋场。

【典型例题】

用安培环路定理可求解某些磁场的，这些磁场分布有对称性，即激发磁场的电流分布，要有一定的对称性。例如

（1）无限长均匀载流圆柱体，无限长均匀载流圆柱面和无限长载流直线产生的磁场在垂直于圆柱轴线的平面上，以轴线上的任一点为圆心，半径为r的圆周上各点的的大小相等，方向沿该点的切线。若安培环路取这样的圆周，且通过需求的点，则可用安培环路定理方便地求出该点的。

（2）载流长直螺线管，除去边缘效应管内是匀强磁场，方向沿螺线管的轴线，由于磁场分布的对称性，可方便地用安培环路定理求出这种情况中的。

（3）螺绕环，螺绕环内的磁力线是以环心为圆心的同心圆，这种情况也可用安培环路定理求出。

步骤：（1）选取积分回路，（2）求沿的环流，（3）求所包围电流强度的代数和，（4）由求。

【例12-4】如例6-4图所示，在半径为长直圆柱形导体内，开一个半径为圆柱形空洞，空洞的轴线与导体的轴线平行，相距为，在导体中沿轴线方向通有均匀分布的电流，其电流密度为。

（1）求、处的磁感强度；

（2）证明空腔内磁场均匀。

【解】 将此导体等效地看作一个半径为，电流均匀分布的大圆柱体，与另一个半径为、电流密度大小相等、方向相反的小圆柱体组合而成，而磁感应强度应为两圆柱体的磁感应强度叠加而成。

（1）轴上一点的磁感应强度为

和分别为大圆柱和小圆柱在轴上一点产生的磁感应强度，如图例6-4题解，由安培环路定理求得

故  ，方向：垂直于轴向上。

轴上一点的磁感应强度为

和分别为大圆柱和小圆柱在轴上一点产生的磁感应强度。

故   ，方向：垂直于轴向上。

（2）设空腔内任一点距为，距为，明显。大圆柱和小圆柱在点的磁场大小为

， 

方向垂直于和，可得

， 

点的合磁感强度为

+

大小   ，方向垂直于轴向上。

【讨论】这种设想用用反向电流填充空腔的方法称为补偿法，它使不对称的系统变成两个对称系统的组合，便于利用已知的结果。

【例12-5】 一根半径为的长直圆柱形导体载有电流，导体内电流均匀分布。如图例6-5所示。在圆柱半径和轴所确定的平面内有一假想的矩形平面，长为，宽为。求在何位置时，通过的磁通量最大。

【解】以为轴的圆环为安培环路，当圆环半径时，有 

可求得

同样，当时， 

设矩形平面的一边与轴线相距，则通过的磁通量为

故当时，磁通量有最大值。

【讨论】根据磁场的特征，随着的增加，磁通量逐渐增加，当达到某一值时，磁通量开始减少，直至为0。因此，本题求极大值时，不必求二阶导数。

【分类习题】

【12-15】 均匀磁场与半径为的圆形平面法向夹角为，今以圆周为边界作一半球面，与圆形平面构成如图6-15的封闭图形，求通过的磁通。

【12-16】 载流为的长直导线，平行于高为、半径为的圆柱面的轴，如图6-16。则通过此圆柱侧面的磁通为               。

【12-17】 有一无限长圆柱形导体和一无限长圆筒形导体，都沿轴向通有均匀分布的电流，它们的磁导率为，半径均为，今取长为、宽为的矩形平面和，及正好在圆柱的轴线上，如图6-17，问通过和的磁通量分别为多少？

【12-18】 在安培环路定理中，是指    ，是指            ，它是由                         决定的。

【12-19】 在磁场空间分别取两个闭合回路，如两回路各自包围的导线根数不同，但电流的代数和相同，则磁场沿闭合回路的线积分        ，两个回路磁场分布      （填相同、不同）。

【12-20】 两长直导线通有电流，图6-20三环路的线积分分别为                、                    和                  。

【12-21】 电荷均匀分布在半径为的球面上，如图6-21，若球面绕轴以匀角速旋转，求磁场沿轴由到的线积分。

提示：视积分线为闭合回路。

【12-22】 在半径为的长直导体圆柱体内，挖去一个半径为的长直圆柱体，两柱体的轴平行，轴间距为，如图6-22。今在此柱体上沿轴向通以电流，且电流在截面上均匀分布。求空心轴线上一点的磁场。

【12-23】 在宽为的导体薄片上，沿长度方向均匀流有电流，如图6-23，求导体薄片中线附近的磁场。

【12-24】 半径为的导体圆柱体，沿轴向流有电流，截面上电流均匀分布。求柱体内外磁场分布。

【习题答案】

【12-15】-【12-16】0【12-17】【12-18】穿过环路电流的代数和；环路上的磁场，环路内外电流共同【12-19】相同，不同【12-20】,,【12-21】【12-22】【12-23】【12-24】

§12-3、磁场对运动电荷和电流的作用

【基本内容】

一、磁场对载流导线的作用

1、安培定律

    大小：；    方向：由的方向决定。

    若导线上的处处相同，则

2、电流强度“安培”的定义：

设在真空中，两根无限长的平行直导线相距1米，通有大小相同的稳恒电流I，若导线每米长度上所受的力为2×10-7N，则每根导线中电流强度的大小规定为1“安培”。

二、磁场对载流线圈的作用

1、通过闭合线圈的磁矩：

I0为通过线圈的电流强度、ΔS为线圈的面积、为线圈的法向单位矢量，如图6.4。

2、匀强磁场中的载流线圈

磁矩为的线圈在均匀磁场中：（1），无平动加速度；（2），若，则产生转动。

讨论：

（1）当时，M最大。

（2）当时，M=0，线圈在稳定平衡位置；当时，M=0，线圈在不稳定平衡位置。如图6.5。

3、磁感应强度的定义：

磁场中某点处磁感应强度的方向与该点处实验线圈在平衡位置时的法线方向相同。磁感应强度的数值等于具有单位磁矩的线圈所受到的最大磁力矩。

4、非均匀磁场中的载流线圈

在非均匀磁场中的载流线圈：（1）若，则产生转动；（2），使线圈向强处移动。

三、磁场对运动电荷的作用

1、洛伦兹力

洛伦兹力公式： 

特点：。洛仑兹力不对运动电荷作功，不改变运动电荷的动能，只改变动量

2、霍耳效应

当电流垂直磁场方向通过导体（半导体）薄片时，出现横向电压UH，的现象。

式中，UH叫霍耳电压，RH是仅与载流导体材料有关的的系数，叫霍耳系数，b是导体（半导体）薄片的厚度。

3、带电粒子在均匀磁场中的运动

如图6.6，当时：    粒子在均匀磁场中作匀速圆周运动。

时：    粒子在磁场中作匀速直线运动。

与成角度θ时：    粒子在磁场中作螺旋运动。

    ：使粒子沿的方向作直线运动。

    ：使粒子垂直于的方向作圆周运动。

【典型例题】

【例12-6】 长直导线通有电流I1，长为b的载流导线I2，距长直导线的距离为a，与水平方向成θ角，如图例6-6所示，求载流导线I2所受的安培力。

【解】 在距O为处取电流元，受力如图例6-6题解所示，在处所产生的磁场为：

大小：；方向：垂直纸面向里。

电流元所受的安培力； 

大小：；方向：各所受的安培力方向相同。

【例12-7】如图例6-7所示，长直导线通有电流I1，通有电流为I2的半圆形载流导线圆心距长直导线I1的距离为a，求半圆形载流导线所受的安培力。

【解】 建立图示坐标系，在圆形导线上取电流元，在所产生的为：

大小：；方向：垂直纸面向里。

电流元所受的安培力

大小： 

方向：各所受的安培力方向不同，正交分解：

【例12-8】 如图例6-8所示，光滑钭面上放有一质量为M，长为L，半径为R的圆柱，其上绕有N匝导线，置于匀强磁场中，问线圈通有多少电流时，才能使圆柱平衡？

【解】 平衡条件，重力与磁力的力矩平衡，即

重力所产生的力矩：

    方向：垂直纸面向里。

磁力所产生的力矩：

方向：垂直纸面向外。

线圈应通有电流：

    方向：如图示。

【例12-9】 在例6-9图所示扇形区域中，电子从下边界点垂直射入，为使电子不从上边界跑出，其最大入射速度应为何值？

【解】 电子进入磁场中作圆周运动，圆心在底边上。

当电子轨迹与上边界相切时，入射电子速度为最大值。

由洛仑磁力公式

    所以， 

【例12-10】 电子以速度在磁场中运动，沿x轴正方向通过A点时，受力作用，沿y轴正方向通过A点时，受力沿z轴的分量为，求A点处的磁感应强度。

【解】 由洛仑兹力公式

而当沿x轴正方向时，沿y轴正方向

故磁场在平面内，如图例6-10题解所示即： 

而： 

【分类习题】

【12-25】 均匀导线框置于均匀磁场中，磁场沿竖直向上，如图6-25。线框可绕轴转动。通电后转过达到平衡。如导线改用密度为原来的1/2的材料，欲保持角不变，可采用下列第         的方式。

（1）将磁场减为原来的1/2或将电流减为原来的1/2。

（2）将段减为原来的1/2。

（3）将和减为原来的1/2。

（4）将磁场减为原来的3/4，电流减为原来的3/4。    

【12-26】 三平行共面的等间距长直载流线，已知间距，电流方向如图6-26，三导线每厘米受力大小为                      ，              ，                。

【12-27】 两水平磁场和分别向北和向东。如在该处放一载流直线，只有当这段载流线沿               放置时，它受合磁场力为0。如此载流线与的夹角为600时，要使它受合磁力为0，则两磁场的大小关系应为                  。

【12-28】 载有电流的无限长直导线旁，有一载流为的共面直角梯形，如图6-28。求梯形各边受长直载流线磁力的大小和方向。

【12-29】 磁场对载流为、半径为的圆环对称发射，如图6-29。圆环所在处磁场大小为，并与圆环平面成300，求圆环受合磁力的大小和方向。

【12-30】 一电子以通过磁场，求该电子受落仑兹力。

            【12-31】 均匀电场和均匀磁场同方向，如图6-31图（1）图（2）。一速度为的电子（质量为、电量为），方向分别如图6-31图（1）和图（2）。则其切向加速度和法向加速度分别为=        ，     图（1）；      ，      图（2）。

【12-32】 一铜条处于均匀磁场中，铜条中电子流方向如图6-32，则点与点电势          （填）。

【12-33】 通以电流的半导体，处于均匀磁场中，其上下表面积累电荷如图6-33，试标明两半导体分别为什么类型的半导体。

【12-34】 如地球（半径为）的磁场是由地球中心的小电流环产生，设地极处磁场为6.27，求小电流环磁矩的大小。

【12-35】 半径为的半圆，均匀带线密度为的正电荷，它以匀角速绕转动，如图6-35。求（1）点的磁场。（2）旋转半圆的磁矩。

【12-36】 两通有相同电流的无限长绝缘直导线，以交角相交于点，如图6-36。求单位长度导线受到的磁力对点的力矩大小。

【12-37】 长为，直径为，匝数为1000的螺线管，通以的电流，今将其放入匀强磁场中，则螺线管受到的作用力为        ，最大磁力矩为        。

【12-38】 将载流为的闭合回路置于均匀磁场中，回路的法向与磁场方向的夹角为，如通过此回路的磁通量为，求回路受磁力矩的大小。

【12-39】 一半径为的半圆形闭合线圈载有电流，置于均匀磁场中。如图6-39，开始时，磁场与线圈平面平行。求线圈受到的磁力矩。

    【12-40】 在磁性很强的条形磁铁附近，放一软载流线，如图6-40，试画出载流线在磁铁上的环绕图。

【12-41】 把轻质载流线圈（电流为）挂在磁铁的极附近，如图6-41。则线圈作下列         种运动。

(1）不动。

（2）发生转动，同时靠近磁铁。

（3）转动，同时远离磁铁。

（4）不转动，只靠近磁铁。

【12-42】 磁场中放一小的载流线圈可确定该处磁场，其大小等于此线圈受到的

               与线圈        的比值。

【12-43】 有一匝数为、面积为、电流为的载流线圈，在图6-43的均匀磁场作用下，线圈受到的磁力矩              ，线圈正法向将转向                。

【习题答案】

【12-25】（1）【12-26】【12-27】东北，【12-28】边：；边：；边：；边：【12-29】，向上【12-30】【12-31】【12-32】【12-33】【12-34】【12-35】【12-36】【12-37】，【12-38】【12-39】【12-40】略【12-41】（2）【12-42】最大磁力矩，磁矩【12-43】，轴。

§12-4磁介质与磁场

【基本内容】

一、磁介质中的磁场

1、磁化现象

磁化：在磁场作用下，原来不显磁性的物质呈现磁性的现象。

2、磁介质的磁场定理

高斯定理：

环路定理：

    称为磁场强度矢量，它与磁感强度的关系为：，——介质的磁导率。

二  磁介质的分类

磁介质分为三类，其相对磁导率如图所示。

抗磁质： 

顺磁质： 

铁磁质： 

说明： 由于顺磁质和抗磁质的磁导率都接近于真空的磁导率，如无特殊说明，它们磁导率均可认为等于真空的磁导率。

【典型例题】

【例12-11】 半径为R1的导线通有电流I，外面包有一层半径为R2的相对磁导率为μr的磁介质，如图例7-6所示，求：

（1）空间H、B分布；

（2）画出H（r）、B（r）曲线。

【解】：（1）求空间H、B分布

由安培环路定理： 

当或时， 

    磁场强度分布：

磁感应强度分布：当或时；当时，可得

（2）H（r）、B（r）曲线如图例7-6图解所示。

【分类习题】

    【12-44】 磁介质有三种，其相对磁导率，下列表述正确的是           ：

（1）顺磁质，抗磁质，铁磁质。

（2）顺磁质，抗磁质，铁磁质。

（3）顺磁质，抗磁质，铁磁质。

【12-45】 在国际单位制中，磁场强度的单位是              ；磁导率的单位是              ；磁感强度的单位是                  。

【12-46】 一半径为的无限长薄圆筒形导体，沿轴向通以电流，筒外包有一层厚为，磁导率为的磁介质，磁介质外是真空，设为一点到轴的距离，试画出和图。

【12-47】 对于稳恒磁场的磁场强度，下列说法正确的是        。

（1）仅与传导电流有关。

（2）若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的必为0。

（3）若闭合曲线上各点的均为0，则曲线包围的电流代数和必为0。

（4）以闭合曲线为边界的任意曲面的通量必相等。

【12-48】 一绕有匝导线的平均周长为的细铁环，载有电流，铁芯的相对磁导率为600，（1）铁芯中磁感强度大小为                    ；（2）铁芯中磁场强度的大小为                。

【12-49】 长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒导体组成，其间充满磁导率为的磁介质，两导体流有等值反向电流，求磁介质中磁场强度和磁感强度大小。

【12-50】一无限长的直圆柱形铜导线，外包一层相对磁导率为的圆筒型磁介质，导线的半径为，磁介质的外半径为，设导体内的磁导率，导线内有电流流过。求磁介质内外的磁场强度和磁感应强度分布。

【习题答案】

【12-44】3）【12-45】【12-46】略【12-47】（3）【12-48】【12-49】【12-50】；