数值分析实验报告 jacobi迭代和seidel迭代分析

一、实验目的

1、了解熟悉jacobi迭代法和seidel迭代法的解法

2、将原理与matlab语言结合起来，编程解决问题

3、分析实验结果

二、实验题目

设线性方程组为

考察用jacobi迭代法和seidel迭代法求解该线性方程组的收敛情况。如果收敛，给出误差满足的解。

三、实验原理

将A 作如下分解

这里

Jacobi迭代矩阵为

Seidel迭代矩阵为

它们的迭代格式都可化为

则迭代格式对任何初值都瘦脸的充要条件是迭代矩阵谱半径

Jacobi迭代矩阵的特征方程为

Seidel迭代矩阵的特征方程为

四、实验内容

用matlab编写计算jacobi迭代矩程序，建立m文件如下：

function[M]=BJ(A)

D=diag(diag(A));        

L=tril(-A)+D;           

U=triu(-A)+D;          

M=inv(D)*(L+U);       

输入：

>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];

>> [M]=BJ(A)

M:

M =

         0   -0.0500    0.1500    0.0500

   -0.1667         0         0   -0.38

    0.0250   -0.0500         0    0.0500

   -0.2000         0    0.2000         0

则jacobi迭代矩阵为：

用matlab求jacobi迭代矩阵的特征根的算法如下：

>> A=[0 -0.05 0.15 -0.05;-0.67 0 0 -0.39;0.025 -0.05 0 0.05;-0.2 0 0.2 0];[V,D]=eig(A)

V =

  -0.12 + 0.0450i  -0.12 - 0.0450i  -0.3812            -0.5005          

  -0.9467            -0.9467             0.8867             0.5461          

  -0.1528 - 0.1181i  -0.1528 + 0.1181i  -0.2099            -0.0466          

  -0.1056 + 0.1325i  -0.1056 - 0.1325i   0.1561             0.6701          

D =

  -0.1774 + 0.08i        0                  0                  0          

        0            -0.1774 - 0.08i        0                  0          

        0                  0             0.2194                  0          

        0                  0                  0             0.1355         

则最大特征根为：0.2194    则，所以jacobi迭代法收敛

用matlab编程jacobi迭代法求根的算法：

function [n,x]=jacobi(A,b,X,nm,w)

%用雅克比迭代法求解方程组Ax=b

%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为最大迭代次数，w为误差精度

%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数

n=1;

m=length(A);

D令A=D-L-U,计算矩阵D

L令A=D-L-U,计算矩阵L

U令A=D-L-U,计算矩阵U

M计算迭代矩阵

g计算迭代格式中的常数项

%下面是迭代过程

while n<=nm

    x=M*X+g;         %用迭代格式进行迭代

if norm(x-X,2)disp('迭代次数为');n

 方程组的解为');x

 上面：达到精度要求就结束程序，输出迭代次数和方程组的解

end

%下面：如果达到最大迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的最终结果（并不是方程组的解）

disp('在最大迭代次数内不收敛!');

输入数据：

>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];

b=[1;2;10;-1];

X=[0;0;0;0];

>> nm=100;

>> w=1e-4;

>> [n,x]=jacobi1(A,b,X,nm,w)

迭代次数为

n =

     6

方程组的解为

x =

    0.0687

    0.15

    0.2352

   -0.1667

n =

     6

x =

    0.0687

    0.15

    0.2352

   -0.1667

所以，满足精度的根为x = 0.0687  0.15  0.2352  -0.1667  迭代次数为6次

用matlab编程计算seidel迭代矩阵算法为：

function[M]=BS(A)

D=diag(diag(A));            

L=tril(-A)+D;               

U=triu(-A)+D;               

M=inv(D-L)*U; 

输入：

>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];

>> [M]=BS(A)

M =

         0   -0.0500    0.1500    0.0500

         0    0.0083   -0.0250   -0.3972

         0   -0.0017    0.0050    0.0711

         0    0.0097   -0.0290    0.0042

则seidel迭代矩阵为：

用matlab编程求得seidel矩阵的算法为：

>> A=[0 -0.05 0.15 0.05;0 0.0083 -0.025 -0.3972;0 -0.0017 0.005 0.0711;0 0.0097 -0.029 0.0042];[V,D]=eig(A)

V =

   1.0000            -0.1596 + 0.6750i  -0.1596 - 0.6750i  -0.9104          

        0             0.6965             0.6965             0.3924          

        0            -0.1250 + 0.0028i  -0.1250 - 0.0028i   0.1313          

        0             0.0070 - 0.1348i   0.0070 + 0.1348i   0.0000          

D =

        0                  0                  0                  0          

        0             0.0088 + 0.0768i        0                  0          

        0                  0             0.0088 - 0.0768i        0          

        0                  0                  0            -0.0001          

则特征根为  0.008+0.0768i  0.0088-0.0768i  -0.0001

则，所以seidel迭代法收敛

用seidel迭代法求根的算法为：

function [n,x]=gaussseidel(A,b,X,nm,w)

%用高斯-赛德尔迭代法求解方程组Ax=b

%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为最大迭代次数，w为误差精度

%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数

n=1;

m=length(A);

I生成m*m阶的单位矩阵

D令A=D-L-U,计算矩阵D

L令A=D-L-U,计算矩阵L

U令A=D-L-U,计算矩阵U

M计算迭代矩阵

g=inv(I-inv(D)*L)*(inv(D)*b);  %计算迭代格式中的常数项

%下面是迭代过程

while n<=nm

    x=M*X+g;              %用迭代格式进行迭代

 迭代次数为');n

 方程组的解为');x

 上面：达到精度要求就结束程序，输出迭代次数和方程组的解

end

%下面：如果达到最大迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的最终结果（并不是方程组的解）

disp('在最大迭代次数内不收敛!');

disp('最大迭代次数后的结果为');x

输入数据：

>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];

b=[1;2;10;-1];

X=[0;0;0;0];

nm=100;

w=1e-4;

[n,x]=gaussseidel(A,b,X,nm,w)

迭代次数为

n =

     5

方程组的解为

x =

    0.0687

    0.15

    0.2352

   -0.1667

n =

     5

x =

    0.0687

    0.15

    0.2352

   -0.166

满足精度的根为x =0.0687   0.15  0.2352  -0.1667  迭代次数为5次

五、实验分析

从实验过程可以看到求出满足精度的根，seidel迭代要比jacobi迭代快，这是因为在jacobi迭代计算中，计算向量时是按分量的角标由小到大依次计算的。如果随着k的增大不断靠近解，可以期盼分量，于是seidel迭代法的收敛速度比jacobi迭代法的收敛速度快，所以迭代次数少。