三角函数的图象与性质教案

1.3.1三角函数的周期性

 [教学目标]

一、知识与技能

了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。

二、过程与方法

从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。

三、情感、态度与价值观

培养数学来源与生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。

[教学重点]

周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。

[教学难点]

周期函数的概念

[设计思路]

创设情境，从自然界中的周期现象出发，通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念。

在研究P点的圆周运动时，给出了y=f(t)的图象；并在研究了三角函数的周期后，给出了y=sinx的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。

在讲解例2时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。

[教学过程]

一、创设情境

每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。

二、学生活动

（P点的圆周运动）如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是：

A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B ……

显然点P的运动是周期运动。

设圆的半径为2，每4分钟运动一周。设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t的函数，记为 y=f(t). 

则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= ……=0，（位置在A点）

f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= ……=4，（位置在C点）

一般地，点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：f(t+4)=f(t)

想一想：f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系？说明它们的实际意义。

[f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t)，运行时间不等，但最终位置相同]

可以用描点法画出这个函数的图象（如图）

它的特征是：在区间(0,4)(4,8)(8,12) …内重复。

我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。

三、建构数学

一般地，对于函数f（x），对定义域内的每一个x的值，每增加或减少一个不为零的定值T，函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数，即f(x+T)=    f(x)。

（一）、周期函数及周期的定义

周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=    f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、……

（二）、最小正周期的概念.

对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.

注意

今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.

(三)、三角函数的周期

思考：正弦函数y=sinx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使sin(T+x)= sinx成立？

[sin(2π+x)=sinx，sin(4π+x)=sinx，根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期T=2π（最小正值）]

用几何画板展示周期函数y=sinx的图象，使学生感知其特征。

讨论：余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数，并找出它们的周期。  [周期分别是2π、π]

四、数用

例1若钟摆的高度h（mm）与时间t(s)之间的函数关系如图所示。

（1）求该函数的周期；

（2）求t=10s时钟摆的高度。

分析：周期可由两顶点间距离确定，此函数周期T=1.5；

根据函数的周期性，f(10)=f(10－1.5)=f(10－2·1.5)= ……=f(10－1.5k)(其中k为整数)，直到10－1.5k=1或2.5为止，即f(10)=f(1)=20.

解：(略)

例2  求函数f(x)=cos3x的周期。

解：设周期为T.  f(x)=cos3x=cos(3x+2π)，f(x+T)=cos3(x+T)

由f(x)= f(x+T)得，3x+2π=3(x+T)，解得T=2π/3.

   ∴函数f(x)=cos3x的周期2π/3.

注意：①运用了换元方法，u=3x；②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π；即cosu=cos(u+2π)；③由于cos(3x+2π) =cos3(x+T)对任一x的值都成立，所以3x+2π=3(x+T)；④f(x)= cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。

例3．求下列函数的最小正周期T.

（1）

（2）

（3）

解：（1）

   （2）  

∴ 函数的最小正周期为π.

   （3）

       ∴ 函数的最小正周期为4π.

总结一般规律：的最小正周期是.

令        ，由的周期是，

则        

因而自变量只要并且至少要增加到，即。

例4．求证：（1）的周期为π；

          （2）

证明：（1）

    （2）

        ∴

总结：（1）一般函数周期的定义

     （2）周期求法

尝试练习

(1)求g(x)=2sin()的周期。

(2)证明函数（其中为常数，且）的周期.

结论:一般的，周期函数y=Asin(ωx+)及y=Acos(ωx+)(其中A，ω，为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T=      .

学生练习：

         课本P27页  练习1、2、3、4

五、回顾反思

通过这节课的学习，你有哪些收获？

1.周期函数、周期概念。

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x),那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π.

3.函数y=tanx是周期函数,且周期均为π.

4. 周期函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期的求法。 

六、课外作业：

    1、举例说明周期现象。.

2.、课本P45页  习题1.3  第1题

3、设m、p、q为自然数，m除以5所得的商是p且余数是q(q<5). 显然q是m的函数，记q=f(m).  (1)写出这函数的值域；(2)这函数是周期函数吗？若是，则写出周期；若不是，则说明理由。

七、设计说明：

1、由可感受、能理解的实例出发，感性的认识周期函数的概念。

比如创设情境，从自然界中的周期现象出发，建立P点的圆周运动这一模型 。本节课的难点在于周期函数概念的理解，因此在讲解概念之前，通过现实情境帮助理解周期运动，在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了。

   2、通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念，体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。

   3、新课程的一个重要理念就是“用教材教，而不是教教材”。在处理例2的过程中，由于课本的解法学生不太易理解，所以，我利用解方程的思想，根据周期函数的概念列出方程，解出周期T,从而降低了难度。

   4、在教学过程中，我设计一些思考与练习，变由老师讲解为学生思考、探究，发展了学生的思维能力。

1．3．2三角函数的图象和性质(一)

课型:新授课

课时计划:本课题共安排一课时

教学目标:

1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象

2、掌握五点法作正、余弦函数图象的方法，并会用此方法画出上的正弦曲线、余弦曲线

教学重点：

正、余弦函数的图象的画法

教学难点：

借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象

教学过程：

一、创设情境，引入新课

为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象，那么该怎样作出正、余弦函数的图象？

二、新课讲解

1、正弦函数图象的画法

先画正弦函数的图象。由于是以为周期的周期函数，故只要画出在上的图象，然后有周期性就可以得到整个图象。

（1）几何法：利用单位圆中的正弦线来作出正弦函数图象

（注：如何作出函数图象上的一个点，如点？

不妨设，如图所示，在单位圆中设弧的长为，则。所以点是以弧的长为横坐标，正弦线的数量为纵坐标的点。）

作法步骤：将单位圆十二等份，相应地把轴上从0到这一段分成12等份。把角的正弦线向右平移使它的起点与轴上表示的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数在区间上的图象。

最后只要将函数，的图象向左、右平移（每次个单位），就可以得到正弦函数的图象叫做正弦曲线。

（2）五点法：在函数的图象上，有5个关键点：，注意正弦曲线的走向，将这五点用光滑的曲线连接起来，可得函数的简图。

2、余弦函数图象的画法

（1）几何画法：利用余弦线来作出余弦函数的图象

（2）由正弦函数的图象依据诱导公式变换可得到

由可知将的图象向左平移个单位几得到的图象。

（3）五点法：在函数，的图象上，五个关键点为，利用此五点作出的简图。

三、例题剖析：

例1、用五点法画出下列函数的简图：

（1），             （2）， 

解：（1）先用“五点法”画一个周期的图象，列表：

（图略）

（2）列表：

（图略）

四、练习

1、画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系：

（1）                  （2）

2、画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系：

（1）                     （2）

五、课堂小结：

1、正弦函数的几何画法；

2、五点法作图

六、作业：

课本P46  2

1．3．2三角函数的图象与性质（二）

课型：新授课

课时计划：本课题共安排一课时

教学目标：

1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；

2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；

3、能正确求出正、余弦函数的单调区间

教学重点：

正、余弦函数的性质

教学难点：

正、余弦函数的单调性

教学过程：

一、创设情境，引入新课

我们已经知道正、余弦函数都是周期函数，那它们除此之外还有哪些性质呢？

二、新课讲解

㈠知识要点：

1、定义域：

函数及的定义域都是，即实数集

2、值域：

函数，及，的值域都是

理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以，

，即，。

（2）函数在时，取最大值1，当，时，取最小值-1；函数在，时，取最大值1，当，时，取最小值-1。

3、周期性

正弦函数，和余弦函数，是周期函数， 都是它们的周期，最小正周期是。

4、奇偶性

正弦函数，是奇函数，余弦函数，是偶函数。

理解：（1）由诱导公式，可知以上结论成立；

（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于轴对称。

5、单调性

（1）由正弦曲线可以看出：当由增大到时，曲线逐渐上升，由-1增大到1；当由增大到时，曲线逐渐下降，由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：

①正弦函数在每一个闭区间上，都从-1增大到1，是增函数；

②在每一个闭区间上，都从1减小到-1，是减函数。

（2）由余弦曲线可以知道：

①余弦函数在每一个区间上，都从-1增大到1，是增函数；

②在每一个闭区间上，都从1减小到-1，是减函数。

练习：不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：

（1）与；    （2）与

㈡例题剖析

例3、求下列函数的最大值及取得最大值时自变量的集合：

（1）；                     （2）

例4、求函数的单调增区间。

㈢练习：

1、（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域；

2、课本P33练习4、5、6

㈣作业：

P46   4、  5 （1）（2） 、6

（五）小结

第12课时§1.3.3函数的图象(1) 

一、教学目标:

用五点法画函数的图象.

二、重点难点:

重点是用五点法列表画函数画图;

难点是五点的确定.

三、教学过程:

【创设情境】

在物理学中，物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为

这里Ａ是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间

称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数

称为振动的频率；称为相位，t=0时的相位称为初相．

在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如的函数,今天我们来探究函数的图象与函数的图象关系.

【自主学习　探索研究】

1.作函数和的图象 (学生用五点法列表画图)

(函数的五点横坐标可以看作函数的图象上五点横坐标减去而得.纵坐标不变)

2.作函数的图象

(学生五点法列表画图)回答函数的图象与函数五点差异

思考：函数的图象与函数的图象有什么关系？

3.作函数和的图象

(学生五点法列表画图)回答上述两函数的图象关系? 图象上的五点与函数五点差异.

5.函数的图象并与函数的图象比较之间的关系？

6.思考函数的五点如何确定?

7.课堂练习

(1)用五点法画函数的图象

(2)课本p.42.练习5

【提炼总结】

1. 用五点法画三角函数图象时,要先确定周期,再将周期四等份,找出五个关键点:1, , , ,,然后再列表画图;

2.作图时,要注意坐标轴刻度,x轴是实数轴,角一律用弧度制.

四、布置作业

1.修改并保留本节课列表画图所得图象;

2.P.46. 1.3习题 7 9 10

第13课时§1.3.3函数的图象(2) 

一、教学目标:

正确理解函数与函数的图象关系

二、重点难点:

重点是理解由函数到函数图象的变换过程

难点是函数与的图象关系

三、教学过程:

【创设情境】

1.回顾函数中的各种图像变换;

（平移变换，对称变换）

2.观察上节课所画的几组图象，由学生口述每组图像中两个函数图像间的变换关系.

【自主学习　探索研究】

1.函数和的图象有何关系?

函数的图象可以看作由函数的图象上所有点向左平移个单位而得到.

一般地,函数的图象与函数的图象有何关系?

2．函数和的图象关系?

一般地, 函数的图象与函数的图象的关系?

3.函数和的图象有何关系?

一般地,函数的图象与函数的图象有何关系?

4.函数和的图象有何关系?

一般地,函数的图象与函数的图象有何关系?

上述函数间的关系都可以看成函数实施的平移、振幅、周期(伸缩)变换.

5.学生自学课本P36至P38. 

6.举例

例1  若函数表示一个振动量:

(1)求这个振动的振幅周期初相;

(2)不用计算机和图形计算器,画出该函数的简图.

分析:

方法一:用五点法列表画图

方法二: 周期变换平移变换    振幅变换

方法三: 平移变换周期变换振幅变换

7.学生完成练习课本P42   第1、2、3、4、6题

8.课堂练习评析

【提炼总结】

1.上述三角函数间的实施的平移、振幅、周期(伸缩)变换是函数变换的特例,是变换思想在三角中的体现；

2.注意周期变换 、平移变换次序互换地不同.

四、布置作业

课本习题P46   第8、11题

§1.3.4三角函数的应用

一、教学目标：

1.掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；

2.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；

3.能用计算机处理有关的近似计算问题.

二、重点难点：

重点是待定系数法求三角函数解析式;

难点是选择合理数学模型解决实际问题.

三、教学过程：

【创设情境】

三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用.

【自主学习 探索研究】

1．学生自学完成P42例1

点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.

（1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；

（2）求该物体在t=5s时的位置.

（教师进行适当的评析.并回答下列问题：据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求和初相位θ；第二问中的“t=5s时的位置”与函数式有何关系？）

2．讲解p43例2(题目加已改变)

3．讲析P44例3

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮是返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.

（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值.

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

问题：

（1）选择怎样的数学模型反映该实际问题？

（2）图表中的最大值与三角函数的哪个量有关？

（3）函数的周期为多少？

（4）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？

4．学生完成课本P45的练习1，3并评析.

【提炼总结】 

从以上问题可以发现三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，而待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数知识作为数学工具之一，在以后的学习中将经常有所涉及.学数学是为了用数学，通过学习我们逐步提高自己分析问题解决问题的能力.

四、布置作业：

P46   习题1.3第14、15题