福建石狮石光华侨联合中学2011届高考最后阶段冲刺模拟卷数学理科卷(三)

一、选择题（本题共有10小题，每小题5分, 共50分）

1．已知集合，，那么集合等于（    ）

A．               B．     

C．              D．

2．设或，或，则是的 （    ）

A．充分不必要条件              B．必要不充分条件  

C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

3．若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为（    ）

A．             B．                C．             D．

4．函数与函数的图象所围成的封闭图形的面积为 （    ）

    A．            B．2    C．            D．3

5．设为两两不重合的平面。为两两不重合的直线，给出下列4个命题

   （1）若（2）若

   （3）若（4）若

    其中真命题的是（    ）

    A．（1）（3）     B． （2）（4）    C．（1）（2）     D． （3）（4）

6． 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（    ）

    A．72种    B．96种    

    C．108种    D．120种 

7．平面上的点P（x，y），使关于t的二次方程的根都是绝对值不超

过1的实数，那么这样的点P的集合在平面内的区域的形状是（    ）

8．已知双曲线的左顶点、右焦点分别为A、F，点B（0，b），若，则该双曲线离心率e的值为（    ）

A．       B．          C．        D．

9．函数的图象的大致形状是 （    ）

A                  B                 C                   D 

10．若关于x的方程的所有根记作，关于x的方程的所有根记作则

    的值为（    ）

    A．    B．    C．1    D．2

二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）

11．的展开式中常数项是_________．（用数字作答）

12．若将一颗质地均匀的骰子，先后抛掷两次，出现向上的点数分别为，设复数 ，则使复数 为纯虚数的概率是           . 

13．若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A，B的任一点，且AM，BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有类似地，对于双曲线有=          。

14．已知函数的最大值为3,的图像与轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为,则____________. 

15．已知函数，关于的方程，给出下列四个命题： 

① 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

② 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③ 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④ 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.

其中真命题的序号为                      ．

三、解答题

16．(本小题满分13分)

已知数列中，a1=1，且满足递推关系

（1）当m=1时，求数列的通项

（2）当时，数列满足不等式恒成立，求m的取值范围。

17．（本小题满分13分）

一个口袋中有2个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

   （1）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率P；

   （2）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

   （3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，最大。

18．（本小题满分13分）

如图7所示，在边长为12的正方形中，，且AB=3，BC=4，分别交BB1，CC1于点P、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得与AA1重合，构成如图5所示的三棱柱ABC—A1B1C1，请在图5中解决下列问题：

   （1）求证：；

   （2）在底边AC上有一点M，满足AM：MC=3：4，求证：BM//平面APQ。

   （3）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值。

19．（本小题满分13分）

已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．

20．(本小题满分14分)

已知，（1）求函数的单调区间；

（2）若关于x的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围；

（3）已知数列，

若不等式时恒成立，求实数p的最小值.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分,请考生任选2题作答,满分14分

（1）已知矩阵M，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M100． 

（2）曲线C的极坐标方程是，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长.

（3）已知，求证：．

参 考 答 案

一、选择题（本题共有10小题，每小题5分, 共50分）

1-10  D A D C D   B D B D C 

二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）

11．15    12．    13．   14.4019    15．①②③④

三、解答题

16．(本小题满分13分)

解：（1）m=1，由，得：

是以2为首项，公比也是2的等比例数列。

于是                    

   （2）由

依题意，有恒成立。

，即满足题意的m的取值范围是。

17．（本小题满分13分）

解：（1）一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有种选法；一次摸球中奖的概率      

   （2）若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是      

   （3）设一次摸球中奖的概率是，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，，

    在是增函数，在是减函数，

    当时，取最大值           

     ，

    ，故时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。   

18．（本小题满分13分）

解：（1）证明：因为，，

    所以，从而，

    即．    2分

    又因为，而，

    所以平面,又平面

    所以；                 

   （2）过作交于,连接,

    因为

    ，，

    四边形为平行四边形

    ,所以平面      

   （3）由图1知，,分别以为轴，

    则

    设平面的法向量为，

    所以得，

    令，则，

    所以直线与平面所成角的正弦值为   

19．（本小题满分13分）

解：（1）设，则，

∵，

∴． 

即，即，

所以动点的轨迹的方程． 

 （2）设圆的圆心坐标为，则．           ①

圆的半径为． 

圆的方程为．

令，则，

整理得，．                          ②

由①、②解得，． 

不妨设，，

∴，．

∴ 

，                        ③

当时，由③得，． 

当且仅当时，等号成立．

当时，由③得，． 

故当时，的最大值为．

20．(本小题满分14分)

解：（1）当时，是常数，不是单调函数；

当时，，

∴函数的单调递增区间是：；单调递减区间是：

（2）由（1）知，

方程恰有一个实数解，等价于直线与曲线恰有一个交点，∴ 或

（3）∵，

∴成立

下面先证

求函数在处的切线方程

∵∴切线方程为

则有成立

∴当时，有

∴

设则且，

当时，，单调递减；

当时，，此时单调递增

∴。

要使不等式

，∴

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题,每题7分，请考生任选2题作答，满分14分

解：（1）（Ⅰ）M-1=. 

（Ⅱ）M的特征值满足： ∴    

对应的特征向量为：

（Ⅲ）令，将具体数据代入得：    ， 

（2）设是曲线C上的任意一点，则，由余弦定理，得

，当时，有最大值为，将点A（2，0）代入曲线C的极坐标方程，是满足的，知点A在曲线C上，所以曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形是以点A为圆心、为半径的圆，其周长为.

（3）证明：原不等式等价于： 

等价于： 

即：  上式等价于： 

即：

由基本不等式：,上式显然成立，∴原不等式成立．