江苏省常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题

数学Ⅰ试题

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）．本卷满分160分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．

2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．

4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．

               2013．1

参考公式： 

   样本数据，，… ，的方差，其中=．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．设集合，，若，则实数的值为   ▲   ． 

2．已知复数（为虚数单位），计算：    ▲   ． 

3．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为   ▲   ． 

4．根据右图所示的算法，可知输出的结果为   ▲   ． 

5．已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为   ▲   ．

6．函数的最小正周期为   ▲   ．

7．函数的值域为   ▲   ． 

8．已知点和点在曲线C：为常数上，若曲线在点和点处的切线互相平行，则   ▲   ． 

9．已知向量，满足，，则向量，的夹角的大小为   ▲   ． 

10．给出下列命题：

（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；

（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，所有真命题的序号为   ▲   ． 

11．已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是   ▲   ．  

12．已知数列满足，，则=   ▲   ． 

13．在平面直角坐标系中，圆：分别交轴正半轴及轴负半轴于，两点，点为圆上任意一点，则的最大值为   ▲   ． 

14．已知实数同时满足，，，则的取值范围是   ▲   ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知均为锐角，且，．

     （1）求的值；     （2）求的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．

（1）求证：MN∥平面PCD；

（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；

（3）求证：平面PCB ．

17．（本小题满分14分）

第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，，．a，b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（），如图．设，△的面积为．

（1）求关于的函数关系式；

（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地

块的面积最大，并求出的最大值．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且. 

（1）求椭圆E的离心率；

（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

19．（本小题满分16分）

   已知数列是等差数列，，数列是等比数列，． 

（1）若．求数列和的通项公式；

（2）若是正整数且成等比数列，求的最大值．

20．（本小题满分16分）

已知函数.

（1）若a=1，求函数在区间的最大值;

（2）求函数的单调区间；

（3）若恒成立，求的取值范围．

2013届高三教学期末调研测试

         数学Ⅱ（附加题）    

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.

2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．

4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．

  2013．1

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥，

过点作⊙的切线FD交的延长线于点．连结交

于点.

    求证：.

B．选修4—2：矩阵与变换 

   已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵的逆矩阵．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

    已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．

D．选修4—5：不等式选讲

设，求证：．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22． (本小题满分10分)

袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量X的概率分布及数学期望．

23．(本小题满分10分)

空间内有个平面，设这个平面最多将空间分成个部分. 

（1）求；

（2）写出关于的表达式并用数学归纳法证明.

2013届高三教学期末调研测试

数学Ⅰ试题参

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．0      2．      3.      4.       5．      6．2  

 7．   8．     9．   10．、、     

  11．   12．      13．              14． 

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解：（1）∵，从而． 

又∵，∴．         …………………………4分

∴．                          ………………………………6分

（2）由（1）可得，．

∵为锐角，，∴．      ……………………………………10分

∴      …………12分

．            …………………………14分

16．证明：

（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…………………2分

因为CD∥AB，所以MN∥CD．

又CD平面PCD， MN平面PCD，所以MN∥平面PCD. ……4分

（2）因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD，

又因为PD⊥底面ABCD，平面ABCD，

所以CD⊥PD，又，所以CD⊥平面PAD．……………6分

因为平面PAD，所以CD⊥MD，

所以四边形MNCD是直角梯形．……………………………………8分

（3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD=．                      …………………………9分

    在△中，，，，．

    在直角梯形MNCD中，，，，，

    从而，所以DN⊥CN．   …………………………11分

在△中，PD= DB=， N是PB的中点，则DN⊥PB．……13分

又因为，所以平面PCB ．     …………………14分

17．解：（1）设，则，整理，得．………3分

           ，．  …………………………………4分

（2）

当时，，在递增，故当时，；

当时，在上，，递增，在上，，递减，故当时，.

18．解：（1），.，化简得，

故椭圆E的离心率为.

（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，，从而，，左焦点，椭圆E的方程为.设，，，，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、、共线，，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，.

19．解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所以，从而，所以． ……………………3分

（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，，.

因为成等比数列，所以．

设，，，

则，整理得，.

解得（舍去负根）.

，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，，

当且仅当且时，及取最大值.

从而最大的， 

所以，最大的     ………16分

20．解：（1）若a=1, 则．

    当时, ,，

    所以在上单调增,.    ……………2分

  （2）由于，．

   （ⅰ）当时，则，，

   令，得（负根舍去），

    且当时，；当时，，

    所以在上单调减，在上单调增.……4分

（ⅱ）当时，

①当时，,

  令，得（舍），

若，即, 则，所以在上单调增；

若，即, 则当时，；当时，，所以在区间上是单调减，在上单调增.                         ………………………………………………………6分

②当时, ,

令，得，记，

若，即, 则，故在上单调减；

若，即, 

则由得，且，

当时，；当时，；当时，，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减.    …………………………………………8分

综上所述，当时,单调递减区间是，单调递增区间

是；

当时,单调递减区间是，单调的递增区间是

；

当时,单调递减区间是(0,)和，

单调的递增区间是和. ………………10分

（3）函数的定义域为．

  由，得．    *

（ⅰ）当时，，，不等式*恒成立，所以；

（ⅱ）当时，，，所以；         ………………12分

（ⅲ）当时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．

令，则．

因为，所以，从而．

因为恒成立等价于，所以．

令，则．

再令，则在上恒成立，在上无最大值．

综上所述，满足条件的的取值范围是．     …………………………16分

2013届高三教学调研测试（二）

数学Ⅱ（附加题） 参

21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．

 A．选修4—1：几何证明选讲

证明：连结OF．

因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．

所以∠OFC+∠CFD=90°．

因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．          

因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°． 

所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．

因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．

所以DE2=DB·DA．

B．选修4—2：矩阵与变换

解：由矩阵属于特征值6的一个特征向量为，可得＝6，

即；                                                   

由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得， ＝，

即， 

解得即＝，逆矩阵是.

C．选修4—4：坐标系与参数方程 

解：将曲线化为直角坐标方程得：

，

即，

圆心到直线的距离，

∴曲线相离．              

D．选修4—5：不等式选讲

证明：由

=

=．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22．解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，

    由题意知=，即，化简得．

解得或（舍去）    故袋中原有白球的个数为6.            

   （2）由题意，X的可能取值为1，2，3，4.

    ；    ；

    ；.                

    所以取球次数X的概率分布列为：

23．解：（1）；

（2）.证明如下：

        当时显然成立，

        设时结论成立，即，

则当时，再添上第个平面，因为它和前个平面都相交，所以可得条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了个，      ，

即当时，结论也成立.

综上，对，.