...市六校联合体高三数学第一学期期末考试试题含解析

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（    ）

A．    B．

C．    D．

2．已知向量，，若，则（    ）

A．    B．    C．-8    D．8

3．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（    ）

A．0    B．2    C．4    D．1

4．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

5．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．已知椭圆，直线与直线相交于点，且点在椭圆内恒成立，则椭圆的离心率取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数（），则函数的值域为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（    ）

A．    B．

C．    D．

9．已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

11．已知，则（    ）

A．    B．    C．    D．2

12．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）

A．    B．4    C．    D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.

14．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）

因为所以不是函数的周期；

对于定义在上的函数若则函数不是偶函数；

“”是“”成立的充分必要条件；

若实数满足则．

15．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为________人.

16．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18．（12分）椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点.为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.

19．（12分）已知函数.

（1）解不等式；

（2）若，，，求证：.

20．（12分）已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．

（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；

（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；

（3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立．

21．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，其短半轴长为1，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上，且．

（1）证明：直线与圆相切；

（2）设与椭圆的另一个交点为，当的面积最小时，求的长．

22．（10分）如图，在三棱柱中，平面，，且.

（1）求棱与所成的角的大小；

（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.

参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.

【详解】

由图像知，，，解得，

因为函数过点，所以，

，即，

解得，因为，所以，

.

故选：A

【点睛】

本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.

2、B

【解析】

先求出向量,的坐标，然后由可求出参数的值.

【详解】

由向量，，

则，

，

又，则，解得.

故选：B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.

3、C

【解析】

根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值.

【详解】

因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，

所以为上的奇函数.

由可得，故，

故是周期为4的周期函数.

因为，

所以.

因为，故，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题.

4、C

【解析】

根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项.

【详解】

由于数列是等比数列，所以，由于，所以

，故“”是“”的充分必要条件.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题.

5、B

【解析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.

【详解】

本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以，

，，故当输入，，则计算机输出的数

是57.

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.

6、A

【解析】

先求得椭圆焦点坐标，判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出，判断出点的轨迹方程，根据恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率的取值范围.

【详解】

设是椭圆的焦点，所以.直线过点，直线过点，由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于，即，所以，所以双曲线的离心率，所以.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.

7、B

【解析】

利用换元法化简解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得的取值范围，由此求得的值域.

【详解】

因为（），所以，令（），则（），函数的对称轴方程为，所以，，所以，所以的值域为.

故选：B

【点睛】

本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.

8、C

【解析】

由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.

【详解】

，，

由于，则，同理可知，，

函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，

，则，，则，

构造函数，其中，则.

当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.

所以，.

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.

9、D

【解析】

先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围.

【详解】

由题设有，故，故椭圆，

因为点为上的任意一点，故.

又，

因为，故，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.

10、D

【解析】

试题分析：，,故选D.

考点：点线面的位置关系.

11、B

【解析】

结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.

【详解】

由，以及，解得.

.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.

12、A

【解析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.

【详解】

程序运行过程如下：

，；，；，；

，；，；

，；，，退出循环，输出结果为，

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2.

【解析】

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.

【详解】

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，

，又，

得即；

又平面，为与平面所成角，

令，

当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.

14、

【解析】

对①,根据周期的定义判定即可.

对②,根据偶函数满足的性质判定即可.

对③,举出反例判定即可.

对④,求解不等式再判定即可.

【详解】

解：因为当时, 

所以由周期函数的定义知不是函数的周期,

故正确；

对于定义在上的函数,

若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,

故正确；

当时不满足

则“”不是“”成立的充分不必要条件,

故错误；

若实数满足

则

所以成立,

故正确．

正确命题的序号是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.

15、

【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

【详解】

设抽取的样本为，

则由题意得，解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.

16、

【解析】

三视图还原如下图：，由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以，，填。

【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）（2）

【解析】

（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；

（2）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.

【详解】

解：（1）设公比为正数的等比数列的前项和为，且，，

可得时，，不成立；

当时，，即，

解得（舍去），

则；

（2），

前项和，

，

两式相减可得

，

化简可得.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

18、（1）（2）最大值.

【解析】

（1）根据通径和即可求

（2）设直线方程为，联立椭圆，利用，用含的式子表示出，用换元，

可得，最后用均值不等式求解.

【详解】

解：（1）依题意有，，，所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，联立，得.

所以，.

所以

.

令，则，

所以，因，则，所以，当且仅当，即时取得等号，

即四边形面积的最大值.

【点睛】

考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.

19、（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）分、、三种情况解不等式，即可得出该不等式的解集；

（2）利用分析法可知，要证，即证，只需证明即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.

【详解】

（1）.

当时，由，解得，此时；

当时，不成立；

当时，由，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为；

（2）要证，即证，

因为，，所以，，，

.

所以，.故所证不等式成立.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.

20、（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可.

(2)取,并结合通项与前项和的关系可求得再根据化简可得,代入化简即可知,再证明也成立即可.

(3)由(2) 当时,,代入所给的条件化简可得,进而证明可得,即数列是等比数列.继而求得,再根据作商法证明即可.

【详解】

解：

．

是各项不为零的常数列,

则,

则由,

及得,

当时,,

两式作差,可得．

当时,满足上式,

则；

证明：,

当时,,

两式相减得：

即．

即．

又,

,

即．

当时,,

两式相减得：．

数列从第二项起是公差为的等差数列．

又当时,由得,

当时,由,得．

故数列是公差为的等差数列；

证明：由,当时,

,即,

,

,即,

即

,

当时,即．

故从第二项起数列是等比数列,

当时,．

．

另外,由已知条件可得,

又,

,

因而．

令,

则．

故对任意的恒成立．

【点睛】

本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.

21、（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设的方程为，可求解得到，，可得到的距离为1，即得证；

（2）表示的面积为，利用均值不等式，即得解.

【详解】

（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且，所以．

所以椭圆的方程为．

由点在直线上，且知的斜率必定存在，

当的斜率为0时，，，

于是，到的距离为1，直线与圆相切．

当的斜率不为0时，设的方程为，与联立得，

所以，，从而．

而，故的方程为，而在上，故，

从而，于是．

此时，到的距离为1，直线与圆相切．

综上，直线与圆相切．

（2）由（1）知，的面积为

，

上式中，当且仅当等号成立，所以面积的最小值为1．

此时，点在椭圆的长轴端点，为．

不妨设为长轴左端点，则直线的方程为，

代入椭圆的方程解得，

即，，所以．

【点睛】

本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数算能力，属于较难题.

22、（1） （2）

【解析】

试题分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；

（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．

试题解析：

解（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，

.

，

故与棱所成的角是.

（2）为棱中点，

设，则.

设平面的法向量为，，

则，

故

而平面的法向量是，则，

解得，即为棱中点，其坐标为.

点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.