无锡市南长区2014届九年级(上)期末数学试题及答案

注意事项：

1．本卷考试时间为120分钟，满分130分； 2．所有答案请一律写在答题卡上．

一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）

1．使x －2有意义的x 的取值范围是…………………………………………………（ ▲ ） A ．x ＞2

B ．x ＜－2

C ．x ≤2

D ．x ≥2

2．已知一个样本1，2，3，5，这个样本的极差是………………………………… （ ▲ ） A ． 5

B ．4

C ．3

D ．1

3．下面计算正确的是………………………………………………………………… （ ▲ ）

A ．4+3=4 3

B ．27÷3=3

C ．2·3= 5

D ．4=±2

4．已知两圆的半径分别为2和4，圆心距为6，则两圆的位置关系是……………（ ▲ ）

A ．相交

B ．内切

C ．外切

D ．内含

5．把拋物线y =3x 2沿y 轴向上平移8个单位，所得拋物线的函数关系式为………… （ ▲ ）

A ．y =3x 2+8

B ．y =3x 2－8

C ．y =3(x +8) 2

D ．y =3(x －8) 2

6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，下列结论正确的是… （ ▲ ）

A ．sinA ＝32

B ．tanA ＝12

C ．cosB ＝3

2 D ．tanB ＝ 3

7．二次函数y =x 2－(m －1)x +4的图像与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为……（ ▲ ）

A ．1或－3

B ．5或－3

C ．－5或3

D ．以上都不对

8．半径为2的圆中，弦AB 、AC 的长分别2和22，则∠BAC 的度数是…………（ ▲ ） A ．15° B ． 15°或45° C ．15°或75°

D ．15°或105°

9．如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图像的一部分，其对称轴是直线x =－1，且过点(－3,0)，下列说法：①abc ＞0；②2a －b =0；③4a +2b +c ＜0；④若(－5,y 1)，(2.5,y 2)是拋物线上两点，

B

C

A

第6題圖

x

y

O

－1

－3 第9題圖

第10題圖

A

B

C

D

E F

O

·

则y 1＞y 2，其中正确的是………………………………………………………………（ ▲ ） A ．② B ．②③ C ．②④ D ．①②

10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点

F 在AC 的延长线上，且∠CBF ＝12∠A ，tan ∠CBF ＝13

，则CF 的长为……………（ ▲ ）

A ．5

2

B ．12 3

C ．12

5

D ． 5

二、填空题（本大题共8空，每空2分，共16分．）

11．已知一元二次方程x 2 －5x －1＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2= ． 12．若圆锥的母线为10，底面半径为6，则圆锥的侧面积为 ． 13．二次函数y =－1

2

(x －2)2+9的图像的顶点坐标为 ．

14．某小区今年2月份绿化面积为00m 2，到了今年4月份增长到8100m 2 ，假设绿化面

积月平均增长率都相同，则增长率为___________．

15．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝4米，迎水坡AB 坡比为1: 3，则AB 长为____米． 16．已知数据x 1，x 2，x 3的方差为5，则资料2x 1－1，2x 2－1，2x 3－1的方差为 ． 17．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为30cm 2，则正八边形的面积

为__________ cm 2． 18．如图，等腰△AOB 中，∠AOB =120°，AO =BO =2，点C 为平面内一点，满足∠ACB =60°，

且OC 的长度为整数，则所有满足题意的OC 长度的可能值为 ． 三、解答题：（本大题共10小题，共84分．解答时需有证明过程或演算步骤．） 19．（本题满分8分）计算：

(1) 12－(3－π)0－(2－3)2 (2) tan 60º－(1＋2)(1－2)+1

3

▲ ▲ ▲ ▲ ▲

▲

第15題圖 A B

C

▲

第17題A B C D E F

G H

第18題圖 A O

B

20．（本题满分6分）解方程：

(1) x 2＋10＝7x (2) 2x 2+4x －5＝0

21．（本题满分8分）

如图，从热气球P 上测得两建筑物A 、B 的底部的俯角分别为45°和30°，如果A 、B 两建筑物的距离为60米，P 点在地面上的正投影恰好落在线段AB 上，求热气球P 的高度．（结果保留根号）

22．（本题满分6分）

李大爷几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，现已结果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量数如折线统计图所示. (1)分别计算甲、乙两片山上杨梅产量数样本的平均数；

(2)试通过计算说明，哪片山上的杨梅产量较稳定？

A B

45° 30°

E F

杨梅树编号36

383430

40

50

4

32

1

3236

40444852乙山

甲山产量（千克）

23．（本题满分8分）

如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点.BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连接CF . (1)求证：四边形BCFE 是菱形；

(2)若CE =4，∠BCF =120°，求菱形BCFE 的面积.

24．（本题满分8分）

如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 为BC 上一点，以CE 为直径作⊙O ，AB 与⊙O 相切于点D ，连接CD ，若BE ＝OE ＝2． (1)求证：∠A ＝2∠DCB ；

(2)求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号）．

A

B

C

D E

F

A B C

O •

D

E

A

B

C D E

O

某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1(元)与国内销

售数量x (千件)的关系为：y 1=⎩⎨⎧15x +90 (0＜x ≤3)；

－5x +150 (3≤x ＜6)．若在国外销售，平均每件产品的利润

y 2(元)与国外的销售数量t (千件)的关系为： y 2=⎩⎨⎧100 (0＜t ≤3)；

－5t +115 (3≤t ＜6)．

(1)用x 的代数式表示t ，则t ＝__________；当0＜x ≤3时， y 2与x 的函数关系式为：

y 2＝__________________；当3≤x ＜________时，y 2＝100；

(2)当3≤x ＜6时，求每年该公司销售这种健身产品的总利润w (千元)与国内的销售数量x (千件)的函数关系式，并求此时的最大利润．

▲ ▲ ▲

(1)请直接写出点D的坐标：__________；

(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)

上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出

这个最大值；

(3)是否存在这样的点P，使得PD=PE？若

存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．A B

C

D

E

O

P x

y

▲

如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =5

4x +m (m 为常数)的图像与x 轴交于点

A (－3,0)，与y 轴交于点C ．以直线x =1为对称轴的拋物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)经过A 、C 两点，并与x 轴的正半轴交于点

B ． (1)求m 的值及拋物线的函数表达式；

(2)若P 是拋物线对称轴上一动点，△ACP 周长最小时， 求出P 的坐标；

(3)是否存在拋物线上一动点Q ，使得△ACQ 是以AC 为直 角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在， 请说明理由；

(4)在(2)的条件下过点P 任意作一条与y 轴不平行．．．

的直线 交拋物线于M 1(x 1,y 1)，M 2(x 2,y 2)两点，试问M 1P ·M 2P M I M 2 是否为定值，如果是，请直接写出结果，

如果不是请说明理由．

A B

C O

x

y

x =1

合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线

．．BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．

(1)如图(2)，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则

∠EMC= 度；

(2)如图(3)，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

(3)在三角板DEF运动过程中，当D在BA

．．的延长线上时

．．．．．．，设BF=x，两块三角板重迭部分的面积为y．求y与x的函数关系式，并求出对应的x取值范围．

A (B) F C

D

E

圖(1)

A

B

F

C

D E

圖(3) A

(D)

B

C

F

E

圖(2)

M

▲

评分标准

说明：解答题按分步给分；如有不同解答方法，可根据具体情况给分. 一、选择题(每题3分) 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案

D

B

B

C

A

D

B

D

C

A

二、填空题（每题2分）

11． 5 12．60π 13．（2，9 ） 14．12.5％ (或1

8) 15． 8 16．20

17．60 18．2、3、4(少写1个得1分，少写2个或写错不得分) 三、 解答题

19．①12－(3－π)0－(2－3)2 ②tan 60º－(1＋2)(1－2)+

1

3

=23－1－|2－3|………3分 =3－(－1)+3

3

…………3分 =33－3…………………4分 =

43

3

+1…………………4分 20．①解方程：x 2＋10＝7x ② 解方程：2x 2+4x －5＝0 x 2－7x ＋10＝0 …………1分 x =－4±56

2×2

…………2分

(x －2)(x －5)＝0…………2分 x 1=－1+

142 x 2=－1－14

2

…3分 x 1=2，x 2=5 …………3分 如有不同解答方法，可根据具体情况给分.

21．

解：过点P 作PG ⊥AB 与点G ，………………1分

设PG =x ，则AG=PG=x ，BG =3x …………2分

∴x +3x =60 …………………………………5分

∴x =303－30……………………………… 7分 答：P 的高度是(303－30)米 ……………8分

22．（1）甲山上4棵树的产量分别为：50千克、36千克、40千克、34千克，

A B

45° 30°

E F G

所以甲山产量的样本平均数为：503034

404

x +++=

=千克； ……1分

乙山上4棵树的产量分别为：36千克、40千克、48千克、36千克， 所以乙山产量的样本平均数为：304836

404

x +++=

=千克. ……2分

S 2甲=38（千克2）……3分； S 2乙=24（千克2）……4分

所以S 2甲 ＞S 2乙 ……5分 答：乙山上的杨梅产量较稳定. ……6分

23．（1）证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，

∴DE ∥BC ，BC =2DE ，……………（1分） 又BE =2DE ，EF =BE ，

∴BC =BE =EF ，EF ∥BC ， ……………（2分） ∴四边形BCFE 是菱形； ……………(4分) （2）解：连接BF 交CE 于点O .

∵在菱形BCFE 中，∠BCF =120°，CE =4，

∴BF ⊥CE ，∠BCO =12∠BCF =60°，OC =12CE =2． ……………（6分）

在Rt △BOC 中，tan 60°=OB

OC ,∴OB =2tan 60° ，BF =4tan 60° ……………（7分）

∴菱形BCFE 的面积=12CE ·BF =1

2×4×4tan 60°=83． ……………（8分）

24．（1）证明：连接OD ．…（1分）∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴ OD ⊥AB ，…（2分）

∴∠B ＋∠DOB ＝90°．∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠DOB ．…（3分） ∵OC ＝OD ，∴∠DOB ＝2∠DCB ．∴∠A ＝2∠DCB ．………（4分）

（2）在Rt △ODB 中，∵OD ＝OE ，OE ＝BE ，

∴sin ∠B ＝错误！未找到引用源。，∴∠B ＝30°，∠DOB

＝60°．

∵BD ＝OB ·sin 60°＝错误！未找到引用源。， ∴S △DOB ＝错误！未找到引用源。OD ·DB ＝

1

2

×2×错误！

O

A

B

C

O

• D E

未找到引用源。＝错误！未找到引用源。．…（6分）

S 扇形ODE ＝260360OD π⋅＝2

3π．…（7分）S 阴影＝S △DOB －S 扇形ODE ＝错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。．…（8分）

如有不同解答方法，可根据具体情况给分.

25．解：（1）6－x ……（1分），5x ＋85 ……（2分） 6，………（3分） （2）当3≤x<6时，w ＝(－5x ＋150)x ＋100(6－x )＝－5x 2＋50x ＋600；………（6分） w ＝－5x 2＋50x ＋600＝－5(x －5)2＋725．……………………………………（7分）

∴x ＝5时，w 最大＝725．

国内5千件，国外1千件，最大利润为725万元（或7250千元）．…（9分）

26． （1）(－3,4)……(1分)

（2）设PA =t ,OE =l .由∠DAP =∠POE =∠DPE =90°，得△DAP ∽△POE ……(2分) ∴43－t =t l ∴l =－14t 2+34t =－14(t －32)2+916 ∴当AP =t =32时，OE 最大为9

16．…（5分）

(3)当点P 在y 轴的左侧时，P (－4,0) ……………………………… (6分)

由△PAD ≌△EOP 得OP =AD =4 ∴P (－4，0)…………………(7分) 同理当点P 在y 轴的右侧时，P (4，0)……………………………（9分）

27． (1)∵一次函数y =54x +m 经过点A (－3,0)，∴m =15

4

………………………（1分）

则C 的坐标为(0,154) ∵拋物线经过点A (－3,0)、C (0,15

4

)，且以直线x =1为对称轴，

则点B 的坐标为(5,0) ∴二次函数为y =－14(x +3)(x －5)或y =－14x 2+12x +15

4

…（3分）

（2）直线BC ：y =－34x +15

4

………（5分）易知点P 的坐标为(1,3) ……………（6分）

（3）存在……………（7分） 设Q (x ,－14x 2+12x +15

4

)

①若C 为直角顶点, 则由△ACO 相似于△CQE ， 得x =5.2………………（8分）

②若A 为直角顶点，则由△ACO 相似于△AQE ， 得x =8.2………………（9分）

∴Q 的横坐标为5.2 ，7.2……………（10分）

（4）是定值……（11分） 定值为1 ……………（12分） 28. 解：（1）15°…………（2分）

（2）由平移可知，∠ACF =∠E =30°，在Rt △ACF 中，cos ∠ACF =AC CF

∵AC =6， ∠ACF =30° ∴FC =

6

32

=4 3 ……………（4分） （3）如图，分二种情况讨论： 设过点M 作MN ⊥AB 于点N ，则 MN ∥DE ，∠NMB =∠B =45°, ∴NB =NM ，NF =NB －FB =MN －x ∵MN ∥DE ∴△FMN ∽FED , ∴MN DE =FN FD ，即MN 43=MN －x 4， ∴MN =3+32

x ……………（5分）

①当2＜x ≤6－23时，如图(1) ……………（6分）

y =S △ABC －S △BMF =12AC 2－12BF ·MN =12×36－12x ·3+32x 即y =－3+34x 2

+18……（7分）

②当6－23＜x ≤6时，如图(2)， 设AC 与EF 交于点H ， ……………（8分） ∵AF =6－x ，∠AHF =∠E =30°，∴AH =3AF =3(6－x ) y =S △FHA =12(6－x )·3(6－x )=3

2(6－x )2……………（9分）

综上所述，当2＜x ≤6－23时，y =－3+34x 2

+18

当6－23＜x ≤6时，y =

3

2

(6－x )2 ……………（10分） Q E Q 1

E 1

A B

C O

x

y x =1

图1

图2