人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称 综合培优训练(含答案)

一、选择题（本大题共12道小题）

1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是(　　)

A．1，1，2                      B．1，1，3

C．2，2，1                      D．2，2，5 

2. 如图，线段AB与A′B′(AB＝A′B′)不关于直线l成轴对称的是(　　)

3. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为(　　)

A．42°                          B．69°

C．69°或84°                      D．42°或69° 

4. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是(　　)

A．70°                          B．55°

C．70°或55°                      D．70°或55°或40° 

5. 若点A(2m，2－m)和点B(3＋n，n)关于y轴对称，则m，n的值分别为(　　)

A．1，－1                          B.，

C．－5，7                          D．－，－ 

6. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　)

A．4              B．12              C．18              D．30 

7. 一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上.则海岛B到灯塔C的距离是（    ）

A.15海里        B.20海里          C. 30海里           D.60海里

8. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是(　　)

9. 对于△ABC，嘉淇用尺规进行如下操作：

如图，(1)分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点D；

(2)作直线AD交BC边于点E.

根据嘉淇的操作方法，可知线段AE是(　　)

A．△ABC的高线                  

B．△ABC的中线

C．边BC的垂直平分线              

D．△ABC的角平分线 

10. 如图，以C为圆心，大于点C到AB的距离为半径作弧，交AB于点D，E，再以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线CF，则(　　)

A．CF平分∠ACB                  B．CF⊥AB

C．CF平分AB                      D．CF垂直平分AB 

11. (2019•广西)如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为

A．    B．        C．        D．

12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形(　　)

A．0个                          B．1个

C．2个                          D．3个 

二、填空题（本大题共12道小题）

13. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有________条．

14. 如图，∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝________．

15. 如图，在△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长为________．

16. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.

17. 如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，连接MN交OA于点E，交OB于点F.若△PEF的周长是20 cm，则MN的长是________cm.

18. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________.

19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．

20. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为　　　　cm. 

21. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．

22. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图　　　　(填“②”或“③”). 

23. 规律探究如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3……

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．

24. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.

三、作图题（本大题共2道小题）

25. 如图，在公路l附近有两个小区A，B，某商家计划在公路l旁修建一个大型超市M，要求超市M到A，B两个小区的距离相等，请你借助尺规在图上找出超市M的位置．(不写作法，保留作图痕迹)

26. 分析与操作如图，有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．(保留作图痕迹，不写作法)

四、解答题（本大题共6道小题）

27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，求∠ABD的度数.

28. （2020·广东）如题20图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

29. 如图①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.

探究一：猜想图①中线段EF与BE，CF间的数量关系，并证明．

探究二：设AB＝8，AC＝6，求△AEF的周长．

探究三：如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.猜想这时EF与BE，CF间又是什么数量关系，并证明．

30. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

(1)求证：BE＝CF；

(2)若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周长．

31. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．

32. 如图，在直角坐标系中，△ABO的各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(2a，0)，B(0，-a)，线段EF两端点的坐标分别为E(-m，a+1)，F(-m，1)(其中2a>m>a>0)，直线l∥y轴交x轴于点P(a，0)，且线段EF与CD关于y轴对称，线段CD与MN关于直线l对称.

(1)求点M，N的坐标(用含m，a的式子表示);

(2)△ABO与△MFE能通过平移互相重合吗?若能通过平移互相重合，请你说出一种平移方案(平移的距离用含m，a的式子表示).

人教版 八年级数学下册 第13章 轴对称 综合培优训练-答案

一、选择题（本大题共12道小题）

1. 【答案】C 

2. 【答案】A　 

3. 【答案】D　[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．

①42°的角为等腰三角形的底角；

②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°. 

4. 【答案】D　[解析] 由题意得，∠A＝70°，当∠B＝∠A＝70°时，△ABC为等腰三角形；

当∠B＝55°时，可得∠C＝55°，∠B＝∠C，△ABC为等腰三角形；

当∠B＝40°时，可得∠C＝70°＝∠A，△ABC为等腰三角形． 

5. 【答案】C　[解析] ∵点A(2m，2－m)和点B(3＋n，n)关于y轴对称，∴2m＋3＋n＝0，2－m＝n，解得m＝－5，n＝7. 

6. 【答案】B　[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12. 

7. 【答案】C

【解析】根据题意画图，如图，∠A=42°，∠DBC=84°，AB=15×2=30(海里),

∴∠C=∠DBC-∠A=42°,∴BC=BA=30(海里).

8. 【答案】D　

9. 【答案】A 

10. 【答案】B　 

11. 【答案】C

【解析】由作法得，∵，∴平分，，

∵，∴．故选C．

12. 【答案】D　[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，

∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.

∴CA＝CB.

∴△ABC是等腰三角形．

∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，

∴∠DAB＝∠CAD＝36°.

∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，

∴△ACD是等腰三角形．

∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.

∴△ADB是等腰三角形． 

二、填空题（本大题共12道小题）

13. 【答案】5　[解析] 如图，五角星的对称轴共有5条．

14. 【答案】2　[解析] 如图，连接OQ.

∵点P关于直线OB的对称点是Q，

∴OB垂直平分PQ.

∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ.∴∠POQ＝60°.

∴△POQ为等边三角形．∴PQ＝OP＝2. 

15. 【答案】4　[解析] ∵∠B＝∠C＝60°，∴∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形．∵AB＝8，∴BC＝AB＝8.∵AD为角平分线，∴BD＝CD.∴CD＝4. 

16. 【答案】120　[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.

所以∠ADE＋∠AED＝120°.

因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.

所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.

所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°. 

17. 【答案】20 

18. 【答案】2　[解析] 过点P作PE⊥OB于点E.

∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PE＝PD.

∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°.

∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°.

∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2.

∴PD＝PE＝2.故答案是2. 

19. 【答案】3　[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1.

∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.

∴∠B＝∠DAB.

∵∠DAB＝∠CAD，

∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.

∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.

∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.

∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3. 

20. 【答案】10　[解析] ∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴AE=BE，AF=CF.

∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm.

21. 【答案】30　[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.

∵∠OBM＝∠OBC，

∴∠MOB＝∠OBM.

∴MO＝MB.同理NO＝NC.

∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30. 

22. 【答案】③

23. 【答案】9 

24. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.

三、作图题（本大题共2道小题）

25. 【答案】

解：如图，点M为所作．

26. 【答案】

如图所示，①作两条公路夹角的平分线OD，OE；

②作线段AB的垂直平分线FG，则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2即为所求的位置．

四、解答题（本大题共6道小题）

27. 【答案】

解：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°.

∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝72°.

∴∠DBC＝36°.

∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝36°. 

28. 【答案】

证明：在△BFD和△CFE中，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE，BD=CE，

∴△BFD≌△CFE（AAS）.∴∠DBF=∠ECF.∵∠ABE=∠ACD∴∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD.

∴∠ABC=∠ACB.∴ AB=AC.∴ △ ABC是等腰三角形.

 【解析】先利用三角形边边角的判定方法证明∠DBF=∠ECF，再根据等式的性质，加上相等角得到∠ABC=∠ACB，等角对等边，得到AB=AC.根据等腰三角形定义得到△ ABC是等腰三角形.

29. 【答案】

解：探究一：

猜想：EF＝BE＋CF.证明如下：

∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.

∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.

∴∠ABO＝∠EOB.∴BE＝OE.

同理：OF＝CF，∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.

探究二：C△AEF＝AE＋EF＋AF＝AE＋(OE＋OF)＋AF＝(AE＋BE)＋(AF＋CF)＝AB＋AC＝8＋6＝14.

探究三：

猜想：EF＝BE－CF.

证明如下：∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO＝∠CBO.

∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.

∴∠EBO＝∠EOB.∴BE＝OE.

同理：OF＝CF，

∴EF＝OE－OF＝BE－CF. 

30. 【答案】

(1)证明：如图，连接CD.

∵点D在BC的垂直平分线上，∴BD＝CD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，

∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴BE＝CF.

(2)在Rt△ADE和Rt△ADF中，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF.

∴AE＝AF＝6.

∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝(AE＋BE)＋BC＋(AF－CF)＝6＋7＋6＝19.

31. 【答案】

证明：∵∠ACB＝90°，

∴∠B＋∠BAC＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.

∴∠ACD＝∠B.

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAE＝∠EAB.

∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF.

∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形． 

32. 【答案】

解:(1)∵线段EF与CD关于y轴对称，EF两端点的坐标分别为E(-m，a+1)，F(-m，1)，

∴C(m，a+1)，D(m，1).

∴CD与直线l之间的距离为m-a.

∵线段CD与MN关于直线l对称，l与y轴之间的距离为a，

∴MN与y轴之间的距离为a-(m-a)=2a-m.

∴M(2a-m，a+1)，N(2a-m，1).

(2)能.

平移方案(不唯一):将△ABO向上平移(a+1)个单位长度后，再向左平移m个单位长度，即可与△MFE重合.