2000年北京市东城中考数学试卷

数  学  试  题

第I卷（选择题 共56分）

一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 

1．-4的相反数是[    ]

A.-.   B..   C.-4.   D.4.

2．点P（-2，1）关于x轴对称的点的坐标是[    ] 

A．（-2，-1）．    B．（2，-1）．C．（1，-2）．    D．（2，1）．

3．太阳的半径大约是696000千米，用科学记数法表示为[    ]

A．69.6×104千米．    B．6.96×10-5千米．C．6.96×105千米．    D．6.96×103千米．

4．下列计算正确的是[    ]

A.π0=1.    B..    C.tan300=.  C..

5．如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1、x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为[    ]

A．3，2．    B．-3，-2．C．3，-2．    D．-3，2．

6．已知：如图1，DE是△ABC的中位线，若AD=4，AE=5，BC=12，则△ADE的周长为[    ]

A．7.5．    B．15．C．30．    D．24．

7．如果两圆有且只有三条公切线，那么这两个圆的位置关系是    [    ] 

A．相交．    B．外切．C．内切．    D．相离．

8．下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是[    ]

A．平行四边形．    B．菱形．C．正方形．    D．等腰梯形．

9．已知：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，则DC的长是[    ]

A..   B..   C..   D..

10．已知：如图3，⊙O中直径AB垂直于弦CD，

垂足为E，若AB=10，CD=6，则BE的长是[    ]

A．1．    B．2．C．3．    D．4．

象必在[    ] 

A．第一、二象限．    B．第三、四象限．C．第一、三象限，    D．第二、四象限．

12．已知：如图4，AB是半圆O的直径，P是AB延长线上的一[    ]

A．60°．    B．45°．C．30°．    D．15°．

[    ]

A..  B..   C..    D..

14．如果α是一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，-α是一元二次方程x2+3x-m=0的一个根，那么α的值等于[     ]

A．1或2．    B．0或-3．C．-1或-2．    D．0或3．

第Ⅱ卷（填空题16分，解答题48分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

16．分解因式：x2-2xy+y2-4=______．

17．如果圆锥的底面半径为5，母线长为10，那么圆锥的侧面展开图的面积是______．

18．已知正数a和b，有下列命题：

根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a+b=9,则

三、解答题（本大题共7小题，共48分）

19．（本小题满分5分）

3xy）的值．

20．（本小题满分5分）

已知：如图5，矩形ABCD中，E、F是AB上的两点，且AF=BE．求证：∠ADE=∠BCF．

21．（本小题满分6分）

22．（本小题满分7分）

为保护环境，某校环保小组成员小明收集废电池．第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总重量为460克；第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总重量为240克．

（1）求1号和5号电池每节分别重多少克？

（2）学校环保小组为估算四月份收集废电池的总重量，他们随意抽取了该月某5天每天收集废电池的数量，如下表：

分别计算两种废电池的样本平均数；并由此估算该月（30天）环保小组收集废电池的总重量是多少千克？

23．（本小题满分8分）

已知关于x的一元二次方程x2-2mx-3m2+8m-4=0．

（1）求证：当m＞2时，原方程永远有两个实数根；

（2）若原方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围．

24．（本小题满分8分）

已知：如图6，AB、AC、ED分别切⊙O于点B、C、D，且AC⊥DE于E，BC的延长线交直线DE于点F．若BC=24，sin∠F=.（1）求EF的长；（2）试判断直线AB与CD是否平行．若平行，给出证明；若不平行，说明理由．

25．（本小题满分9分）

如图7，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3）．

（1）一次函数图象上的两点P、Q在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3，若△PAB与△QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式；

（2）二次函数的图象经过点A、B，其顶点C在x轴的上方且在直线PQ上，求这个二次函数的解析式；

（3）若使（2）中所确定的抛物线的开口方向不变，顶点C在直线PQ上运动，当点C运动到点C′时，抛物线在x轴上截得的线段长为6，求点C′的坐标．

参及评分标准

第Ⅰ卷

一、1．D；2．A；3．C；4．A；5．B；6．B；7．B；

8．D；9．D；10．A；11．D；12．C；13．C；14．D．

第Ⅱ卷

二、15．x≥1；16．(x-y+2)(x-y-2)；17．50π；

三、19．(x+y)(x-y)+(x-y)2-(x2-3xy)

＝x2-y2+x2-2xy+y2-x2+3xy   3分

=x2+xy   4分

5分

20．∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠A=∠B=90°．

∵AF＝BE，

∴AF-EF=BE-EF．即AE=BF．2分

在△ADE和△BCF中，

∴△ADE-≌△BCF．  4分  ∴∠ADE=∠BCF．5分

21．原方程化为设2x2-3=y．1分

于是原方程变形为方程的两边都乘以y，约去分母，得l-4y2=0．

解这个方程，得2分

3分

4分

  5分

∴原方程的根是6分

22．(1)设1号电池每节重x克，5号电池每节重y克.  1分

根据题意．得解这个方程组，得

答：l号电池每节重90克，5号电池每节重20克．4分

(2)1号废电池的样本平均数是5分

5号废电池的样本平均数是6分

废电池的总重量=（90×30+20×50）×30=3700×30=111000（克）=111（千克）

答：l号废电池的样本平均数是30节，5号废电池的样本平均数是50节，估计四月份环保小组收集废电池的总重量约为111千克.    7分

23．(1)△=(-2m)2-4(-3m2+8m-4)=4m2+12m2-32m+16=16(m-1)2．l分

∵无论m取任何实数，都有16(m-l)2≥0，

∴m取任意实数时，原方程都有两个实数根．2分

自然，当m＞2时，原方程也永远有两个实数根．3分

(2)解关于x的一元二次方程x2-2mx-3m2+8m-4＝0，得

∴x1=3m-2，x2=2-m．4分

解已知不等式组    6分

8分

24．(1)在Rt△CEF中，∠CEF＝90°．

由勾股定理得EF=4x．

∵ED、EC分别切⊙O于点D、C，∴ED＝EC＝3x．

由切割线定理得FD2=FC·FB．即(7x)2=5x·(5x+24)．∴x2-5x=0．

∴x1=5，x2=0(不合题意，舍去)．∴EF=4x=20．  4分

(2)AB与CD不平行．5分

连结BD．∵ED切⊙O于点D，∴∠CBD＝∠CDF．又∵∠F=∠F，

∴△BDF～△DCF．∵CF＝5x＝25，DF=7x=35，

7分

BC＝24，∴BD≠BC．∴∠BDC≠∠BCD．又∵AB切⊙O于点B，

∴∠ABC=∠BDC．∴∠ABC≠∠BCD．∴AB与CD不平行8分

25．(l)由已知不妨设直线PQ与x轴、y轴的交点分别P、Q．

∵S△OAB＝3，而AO=3，可求得BQ＝2．

∵直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3，∴点Q的坐标为(0，5)．

同样可求得PA=2．

由于P、Q两点在直线AB的同侧，所以点P的坐标为(-5，0)．

设直线PQ的解析式为y=kx+b，则

因此所求一次函数的解析式为y=x+5．3分

(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．

∵二次函数的图象过A(-3，0)、B(0，3)两点，

将②代入①，解得b＝3a+l．

于是二次函数的解析式为y=ax2+(3a+1)x+3．4分

∵点C在直线y=x+5上，

整理，得9a2+8a-1＝0．解这个方程，得

5分

但抛物线的顶点C在x轴的上方，且过A、B两点，所以抛物线开

∴所求的二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.    6分

(3)解法一：设点C′的横坐标为m．

由于点C′在直线y＝x+5上，可求出点C′的纵坐标为m+5．

即点C′的坐标为(m，m+5)．则运动后以C′为顶点的抛物线的解析式为

y= -(x-m)2+m+5．7分

设运动后的抛物线在对称轴右侧与x轴交点的横坐标为x0．由已知，有x0=m+3．

即抛物线与x轴一个交点的坐标为(m+3，0)

∴0＝-(m+3-m)2+m+5．解得m=4．8分

∴m+5＝9．于是点C′的坐标为(4，9)．9分

解法二：

同解法一求得以C′为顶点的抛物线的解析式为y=-(x-m)2+m+5．7分

即y=-x2+2mx-m2+m+5．设这条抛物线与x轴的交点为(xl，0)、(x2，0)

∴x1+x2＝2m，x1·x2=m2-m-5．由已知|x1-x2|=6，

则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=36．即(2m)2-4(m2-m-5)=36．解得m=4．8分

∴m+5=9．于是点C′的坐标为(4，9)．9分