2014高考复习：导数及其应用——第1节_导数及其应用(学生版)

一、复习指导

本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导

二、知识清单

1、导数的概念

（1）函数的导数

一般地，函数处的瞬时变化率是，称其为函数

（2）导函数

当

2、基本初等函数的导数公式

3、导数运算法则

4、复合函数的导数

5、导数的几何意义

函数处的导数的几何意义，就是曲线处的切线的斜率，过点P的切线方程为： 

6．导数的物理意义

若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．

7．函数的单调性

在(a，b)内可导函数f(x)，f ′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f ′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；

f ′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．

求函数单调区间的步骤：

(1) 确定函数f(x)的定义域；

(2) 求导数f ′(x)；

(3) 由f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)解出相应的x的范围．

当f ′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f ′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．

8．函数的极值

(1) 判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

① 如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

② 如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧 f ′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．

(2) 求可导函数极值的步骤

① 求f ′(x)；

② 求方程f ′(x)＝0的根；

③ 检查f ′(x)在方程f ′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．

2．函数的最值

(1) 在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2) 若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3) 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

① 求f(x)在(a，b)内的极值；

② 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

三、方法解读

三个防范

(1) 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．

(2)  f ′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取极值的既不充分也不必要条件．

如①y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导；②f(x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．

(3) 若y＝f(x)可导，则f ′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取极值的必要条件．

四、双基自测

1、函数的导数为（     ）

A.      B.      C.      D. 

2、若的解集为（      ）

A.        B.       C.        D. 

3. 曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)．

A．－9      B．－3

C．9      D．15

4.  f (x)＝x2－2ln x的递减区间是(　　)．

A．(0,1]      B．[1，＋∞)

C．(－∞，－1)，(0,1)      D．[－1,0)，(0,1]

5．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　)．

A．1      B. 

C.      D. 

6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)．

A．2             B．3             C．6             D．9

7．已知函数f(x)＝x4－x3＋2x2，则f(x)(　　)．

A．有极大值，无极小值            B．有极大值，有极小值

C．有极小值，无极大值            D．无极小值，无极大值

8．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)．

A．13万件      B．11万件  

C．9万件      D．7万件

9．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

10．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.

五、考点导析

考点一　求曲线切线的方程

【例1】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.

(1) 求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；

(2) 求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

[审题视点] 由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．

 首先要分清是求曲线y＝f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线．(1)求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程可先求f ′(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；

(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程．

【变式1】 若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．

考点二　函数的单调性与导数

【例2】已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.

(1) 若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2) 若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．

[审题视点] 函数单调的充要条件是f ′(x)≥0或f ′(x)≤0且不恒等于0.

 函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f′(x)＞0(或f′(x)＜0)即可．

【变式2】 已知函数f(x)＝ex－ax－1.

(1) 求f(x)的单调增区间；

(2) 是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

考点三　函数的极值与导数

【例3】设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f ′(x)，若函数y＝f ′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f ′(1)＝0.

(1) 求实数a，b的值；

(2) 求函数f(x)的极值．

[审题视点] 由条件x＝－为y＝f′(x)图象的对称轴及f′(1)＝0求得a，b的值，再由f′(x)的符号求其极值．

 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：

(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

【变式3】设f(x)＝，其中a为正实数．

(1) 当a＝时，求f(x)的极值点；

(2) 若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

考点四　函数的最值与导数

【例4】已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．

(1) 求导函数f ′(x)；

(2) 若f ′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．

[审题视点] 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值．

 一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上单调递增，则f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，则f(a)是最大值，f(b)是最小值．

【变式2】 函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x＋y＝0平行

(1) 求a，b；

(2) 求函数f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值．