2015年河南省中招考试数学试卷

数 学

注意事项：

1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。

2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。

一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1. 下列各数中最大的数是（     ）

  A. 5    　　　　 B.    　　　　C. π    　　　　D. －8

2. 如图所示的几何体的俯视图是（      ）

3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（    ）

     A. 4.0570×109   B. 0.40570×1010    C. 40.570×1011    D. 4.0570×1012HHH

4. 如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（     ）

    A. 55°     　　B. 60°  　　　　　 C.70°   　　　　 D. 75°

5. 不等式组的解集在数轴上表示为（      ）

6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（      ）

A. 255分       B. 84分  　　　   C. 84.5分   　　  D.86分

7. 如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（    ）

    A. 4      　　 B. 6   　　   C. 8     　　   D. 10  

8. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，… 组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（      ）

    A.（2014,0）     B.（2015，－1）   C. （2015,1）    D. （2016,0）

二、填空题（每小题3分，共21分）

9. 计算：(－3)0+3－1=         .

10. 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，

若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=          .

11. 如图，直线y=kx与双曲线交于点

A（1，a）,则k=          .

12. 已知点A（4，y1），B（，y2），C（－2，y3）都在二次函数

y=(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是          .

13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完

全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再

背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数

字不同的概率是         .

14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，

CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径

作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为   

           .

15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，

点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿

EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为              .

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（8分）先化简，再求值：，其中，.

17.（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO.

（1）求证：△CDP≌△POB；

（2）填空：

① 若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为           ；

② 连接OD，当∠PBA的度数为       时，四边形BPDO是菱形

18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。

 根据以上信息解答下列问题：

（1）这次接受调查的市民总人数是           ；

（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是           ；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.

19.（9分）已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)=|m|.

（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.

20.（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向走6米到达坡底A处，在坡底A处测得大树顶端B的仰角为48°.若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）

21.（10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：

    ① 金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；

    ② 银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.

       暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设游泳x次时，所需总费用为y元.

    （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；

    （2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A、B、C的坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.

22.（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

   （1）问题发现

        ① 当时，；② 当时， 

（2）拓展探究

        试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.

（3）问题解决

     当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD，PE，DE.

   （1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值. 进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.

     请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.

2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题

参

一、选择题：

16. 原式=，原式=2.    

原式=÷    ································································4分

=·

=    ···········································································6分

当a=+1，b=-1，原式===2   ··································8分

17. (1)∵D是AC的中点，且PC=PB，

      ∴DP∥AB，DP=AB，∴∠CPD=∠PBO   ·········································3分

      ∵OB=AB，∴OB=DP，∴△CDP≌△POB   ·······································5分

（2）①4   ············································································7分     

     ② 60°（注：若填60，不扣分）   ···················································9分

18. (1)1000   ··········································································2分   

(2)54°   ···········································································4分

(3)（按人数为100正确补全统计图）   ················································6分

(4)80×(26％+40％)=80×66％=52.8（万人）

  所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数大约为52.8万人

 ··················································································9分

19. (1)原方程可化为x2-5x+6-|m|=0   ······················································1分

   ∴Δ=(-5)2-4×(6-|m|)=1+4|m|   ························································3分

   ∵|m|≥0，∴1+4|m|≥0   

   ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根   ·····································4分

（2）把x=1代入原方程，得|m|=2，∴m=±2   ··············································6分

     |m|=2代入原方程，得x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4

     ∴m的值为±2，方程的另一个根是4   ················································9分

20. 延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H

   由题意得：∠DAE=∠BGA=30°，DA=6，∴GD=DA=6

   ∴GH=AH=DA·cos30°=6×=，∴GA=   ··································2分

   设BC的长为x米，在Rt△GBC中，GC===x   ···················4分

   在Rt△ABC中，AC==   ···········································6分

   ∵GC-AC=GA，∴ x-=   ···············································8分

   ∴x=13，即大树的高度约为13米   ····················································9分

21. （1）银卡消费：y=10x+150   ·························································1分 

        普通消费：y=20x   ······························································2分

(2)把x=0代入y=10x+150，得y=150，∴A(0，150)   ········································3分

  由题意得：，∴，∴B(15，300)   ································4分

(3)当0＜x＜15时，选择普通票消费更划算；（注：若写成0≤x＜15，不扣分）

  当x=15时，选择购买普通票和银卡消费的总费用相同，均比金卡划算；

  当15＜x＜45时，选择购买银卡消费更划算；

  当x=45时，选择购买银卡和金卡消费的总费用相同，均比普通票划算；

  当x＞45时，选择购买金卡消费更划算.   ···············································10分

22.  (1)①,   ·······································································1分

       ②;   ·······································································2分

(2)无变化（注：若无判断，后续证明正确，不扣分）   ·····························3分

      在图1中，∵DE是△ABC的中位线，

      ∴DE∥AB，∴ =，∠EDC=∠B=90°，

如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变

∴=仍然成立   ·····························································4分

又∵∠ACE=∠BCD=α，

∴△ACE∽△BCD，∴ =   ···················································6分

在Rt△ABC中，AC===，

∴==， =，

∴的大小不变   ································································8分

   （3）或.   ······························································10分

 【提示】当△EDC在BC上方，且A、D、E三点共线时，四边形ABCD是矩形，

         ∴BD=AC=；当△EDC在BC下方，且A、D、E三点共线时，△ADC是直角三角形，

         由勾股定理得AD=8，∴AE=6，根据=，得BD=

23.（1）抛物线解析式为；   ················································3分

  （2）正确，理由：

       设P（x,）,则PF=8-(）=   ·································4分

       过点P作PM⊥y轴于点M，则

       PD2=PM2+DM2=(-x)2+[6-(）]2==,

       ∴PD=   ·······························································6分

       ∴PD-PF=-=2，∴猜想正确   ········································7分

  （3）好点共有11个，   ·······························································9分

       在点P运动时，DE的大小不变，∴PD与PE的和最小时，△PDE的周长最小

       ∵PD-PF=2，∴PD=PF+2，∴PD+PE=PE+PF+2，

       当P、E、F三点共线，PE+PF的值最小，

       此时点P、E的横坐标都为-4

       将x=-4代入，得y=6

       ∴P(-4，6)，此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”

       ∴当△PDE的周长最小的“好点”的坐标为(-4，6)   ································11分

   【提示】△PDE的面积是S，由-8≤x≤0，知4≤S≤13，

           所以S的整数的整数值有10个，由函数图像得，当S=12时，“好点”有两个.

           所以“好点”有11个.