高中数学高考专题汇编：专题12 概率和统计(理)(含答案解析)

1.【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o

C ）数据的茎叶图如下：

012

58

200338312

则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23

【答案】B .

【命题立意】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念. 考查学生的数据处理能力. 【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B ..

2.【2015高考广东，理4】袋有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．1 B. 2111 C. 2110 D. 21

5

【答案】B ．

【解析】从袋中任取2个球共有215105C =种，其中恰好1个白球1个红球共有11

10550C C =种，

所以从袋中任取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为

5010

=10521

，故选B ． 【命题立意】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力，属于容易题．

3.【2015高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互，则该同学通过测试的概率为( )

（A ）0.8 （B ）0.432 （C ）0.36

（D ）0.312

【答案】A

【命题立意】本题主要考查重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式，是基础题 【解析】根据重复试验公式得，该同学通过测试的概率为2

2

3

30.60.40.6C ⨯+=0.8，故选A.

【方法技巧】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，

而这两个事件又是实验3次恰好分别发生3次和2次的重复试验，本题很好考查了学生对重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键.

4.【2015高考陕西，理11】设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）

A ．3142π+

B ．1142π-

C ．11

2π- D ．112π

+

【答案】B

【命题立意】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题．

【方法技巧】解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A 构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若z a bi =+（a 、R b ∈），则

z =()P A =

()()

A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积．

5.【2015高考陕西，理2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 （ ） A ．167

B ．137

C ．123

D ．93

【答案】B

【解析】该校女老师的人数是()11070%150160%137⨯+⨯-=，故选B ． 【命题立意】本题主要考查的是扇形图，属于容易题．

【易错警示】解题时一定要抓住重要字眼“女教师”，否则很容易出现错误．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系．

6.【2015高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）

A ．134石

B ．169石

C ．338石

D ．1365石 【答案】B

【解析】依题意，这批米内夹谷约为

1691534254

28

=⨯石，选B. 【命题立意】本题考查用样本估计总体.

【举一反三】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的用样本估计总体问题.

7.【2015高考安徽，理6】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准 差为（ ）

（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32

【答案】C

【命题立意】本题考查.样本的方差与标准差的应用.

【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 8=，即方差DX =，

而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差2

2

(21)22D X DX -==⨯，所以其

16=.故选C.

【方法技巧】已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差和

标准差，可直接用X 的均值、方差的性质求解.若随机变量X 的均值EX 、方差DX 、

，则数Y aX b =+的均值aEX b +、方差2

a DX 、标准差8.【2015高考湖北，理4】设211(,)X N μσ ，2

22(,)Y N μσ ，这两个正态分布密度曲线如

图所示．下列结论中正确的是（ ）

A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥

B ．21()()P X P X σσ≤≤≤

C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤

D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥

【答案】C

【命题立意】本题考查正态分布密度曲线.

【方法技巧】正态曲线的性质

①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称． ③曲线在μ=x 处达到峰值

π

σ21

.

④曲线与x 轴之间的面积为1.

⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示

⑥μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲

线越“瘦高”．总体分布越集中．如图乙所示．

9.【2015高考福建，理4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy

bx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元

C ．12.0万元

D ．12.2万元

【答案】B

【命题立意】本题考查线性回归方程，要注意计算的准确性，属于基础题． 【解析】由已知得

8.28.610.011.311.9

105

x ++++=

=（万元），

6.2

7.5

8.08.5

9.885

y ++++=

=（万元），故 80.76100.4a

=-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为ˆ0.76150.411.8y

=⨯+=（万元），故选B ．

【易错警示】要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意义．

10.【2015高考湖北，理7】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1

2

x y +≥”的概率，2p 为事件“1

||2

x y -≤

”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ）

A ．123p p p <<

B ．231p p p <<

C ．312p p p <<

D ．321p p p <<

【答案】B

【命题立意】本题考查几何概型. 【解析】因为,[0,1]x y ∈，对事件“1

2

x y +≥”，如图（1）阴影部分1S ， 对事件“1

||2

x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ， 对为事件“1

2

xy ≤

”，如图（3）阴影部分3S ，

由图知，阴影部分的面积从下到大依次是132S S S <<，正方形的面积为111=⨯， 根据几何概型公式可得231p p p <<.

（1） （2） （3）

【易错警示】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．

11.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()

2

0,3N ，

从中随机取

一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）

（附：若随机变量ξ服从正态分布()

2

,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，

()2295.44%P μσξμσ-<<+=。

） （A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% 【答案】B

【命题立意】本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.

12.【2015高考新课标2，理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )

A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现

C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D

【命题立意】本题考查回归分析中的正、负相关，属于基础题．

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．

【2015高考湖南，理7】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772

附：若2

(,)X N μσ ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，

9544.0)22(=+≤<-σμσμX P

【答案】C.

【命题立意】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题

.

2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年

【解析】根据正态分布的性质，34.0)11(2

1

)10(≈<<-=

<【答案】4.

【命题立意】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题.

【解析】由茎叶图可知，在区间]151

,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435

7

20=⨯

人. 【举一反三】高考对统计相关知识的考查，重点在于其相关的基本概念，如中位数，方差，

极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方面的理解与记忆. 【2015高考上海，理12】有陷阱．某种每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，

4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，

再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）． 【答案】0.2

【命题立意】本题考查数学期望

【方法技巧】一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：

则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，均值E (X )是一个实数，由x 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．

13.【2015江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6

【命题立意】本题考查平均数 【解析】465876

66

x +++++=

=

【方法技巧】样本数据的算术平均数，即12n 1

(x +x +...+x )x n

=．解答此类问题关键为概念清晰，类似概念有样本方差2

222121

[()()...()]n s x x x x x x n

=

-+-++-，标准差

s =

其中x n 是样本数据的第n 项，

n 是样本容量，x 是平均数．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

14.【2015高考广东，理13】已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，

()20D X =，则p = .

【答案】

13

． 【本题考查】本题主要考查二项分布的均值和方差应用及运算求解能力，属于容易题． 【解析】依题可得()30E X np ==且()()120D X np p =-=，解得13p =

，故应填入13

． 【易错警示】解答此题关键在于理解熟记二项分布的均值和方差公式()E X np =，

()()1D X np p =-并运用其解答实际问题．

15.【2015高考福建，理13】如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函

数()2

f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等

于 ． 【答案】

512

【解析】由已知得阴影部分面积为22

1

75

4433

x dx -=-

=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于5

5

3412

=．

【命题立意】本题考查几何概型，属于中档题．

【方法技巧】当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求．

16.【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.

【答案】5.6

【解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，

不同的共有5种，所以其概率为5

.6

【命题立意】本题考查古典概型概率

【易错警示】求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互

斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准

确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率． 17.【2015高考新课标2，理18】（本题满分12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.48．

【命题立意】本题考查茎叶图和特征数；互斥事件和事件．

A 地区

B 地区

4 5 6 7 8 9

【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．

【方法技巧】本题考查茎叶图、互斥事件和事件，根据茎叶的密集程度比较平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大．读懂所求概率事件包含的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率． 18.【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.

A 地区

B 地区

4

5 6 7 8 9

6 8

1 3 6 4 3

2 4 5 5 6 4 2

3 3

4 6 9 6 8 8 6 4 3 3 2 1 9 2 8 6

5 1

1 3

7 5 5 2

若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.

(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

【答案】(Ⅰ)1

2

；(Ⅱ)分布列见解析，期望为

5

2

．

【命题立意】本题考查古典概型和随机变量的期望．

【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，

则

5431 (A)=

6542 P=创

（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3

又

1511542 (X=1),(X=2),(X=3)1=.

6656653 P P P

==?=创

所以X的分布列为

所以

1125

E(X)123

6632

=?．学科网

【方法技巧】第一问，将事件转化为所选的三个密码都不是该银行卡密码，共有3

5

A种，而

基本事件总数为3

6

A，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量所有可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可．确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，做到不重不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为1，以便及时矫正。

19.【2015高考山东，理19】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1

分；若能被10整除，得1分.

（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；

（II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.

【答案】（I）有：125，135，145，235，245，345；

（II）X的分布列为

21

EX =

【命题立意】本题考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型.

【解析】（I ）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；

（II ）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为3984C =

随机变量X 的取值为：0，-1，1，因此

()3839203C P X C === ()2

4391

114

C P X C =-== ,()12111114342P X ==--=

, 所以X 的分布列为

因此0(1)13144221

EX =⨯+-⨯

+⨯= 20.【2015高考安徽，理17】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）. 【答案】（Ⅰ）

3

10

；（Ⅱ）350. 【命题立意】本题考查互斥事件、对立事件、相互事件、重复试验的概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，同时也考查二项分布、超几何分布等特殊的概率模型.

故X的分布列为

200300400350

101010

EX=⨯+⨯+⨯=.

【方法技巧】解读此类问题时要注意分清类型，运用相应的知识进行解答.本题易犯的错误是事件之间的关系混乱，没有理解题中给定的实际意义.

21.【2015高考天津，理16】（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】(I) 6 35

;

(II) 随机变量X的分布列为

()5

2

E X=

【命题立意】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.

【解析】(I)由已知，有

222223334

86

()35

C C C C P A C +== 所以事件A 发生的概率为

635

. (II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4

()453

4

8

(1,2,3,4)k k C C P X k k C -=== 所以随机变量X 的分布列为

所以随机变量X 的数学期望()1512341477142

E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 22.【2015高考重庆，理17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。 （1）求三种粽子各取到1个的概率；

（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望 【答案】（1）

14；（2）分布列见解析，期望为3

5

． 【命题立意】本题考查古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力．

【解析】（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典型的概率计算公式有

111

1

235().3410

C C C

P A C ==

（Ⅱ）X 的所有可能值为0，1,2，且

378(0),31510C

P X C ===12

7

28(1),31510

C C

P X C ===

211

28(2),31510

C C

P X C ===

综上知，X 的分布列为

故7713E(X)012151515

5

=?

． 【方法技巧】在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数n ，其次所求概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m

P n

=

求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.

23.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队

（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.

【答案】（1）A 中学至少1名学生入选的概率为99

100

p =. （2）X 的分布列为：

X 的期望为()2E X =.

【命题立意】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.

【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.

参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为33

3433

661

100

C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为199

1100100

-=. （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.

1333461

(1)5

C C P X C ===，

22334

63

(2)5

C C P X C ===， 3133461

(3)5

C C P X C ===，

所以X 的分布列为：

因此，X 的期望为131

()1232555

E X =⨯

+⨯+⨯=. 【方法技巧】应用问题一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词.在本题中，就要分清楚集训队与代表队的区别.求概率时，如果直接求比较复杂，就应该先求其对立事件的概率.超几何分布和二项分布是中学中的两个重要概率分布，考生必须牢固掌握.本题的概率分布就是一个超几何分布问题.

24.【2015高考湖北，理20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量． （Ⅰ）求Z 的分布列和均值；

（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互，求3天中至少有1天的最大获利超过10000

元的概率．

【答案】（Ⅰ）Z 的分布列为：

()E Z =【命题立意】本题考查线性规划的实际运用，随机变量的性，分布列与均值，二项分布. 【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有

2 1.5,

1.512, 20,0, 0.

x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪

⎨

-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 1000

1200z x y =+．

当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．

将10001200z x y =+变形为561200

z

y x =-+，

当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200z

y x =-+在y 轴上的截距最大，

最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．

当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．

将10001200z x y =+变形为561200

z

y x =-+，

当3, 6x y ==时，直线l ：561200z

y x =-+在y 轴上的截距最大，

最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .

第20题解答图1 第20题解答图2

第20题解答图3

3311(1)10.30.973.

p p =--=-=将10001200z x y =+变形为561200

z

y x =-+，

当6,4x y ==时，直线l ：561200z

y x =-+在y 轴上的截距最大，

最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．

故最大获利Z 的分布列为

因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，

由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为

【易错警示】重复试验是相互事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．

25.【2015高考陕西，理19】（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其 容量为100的样本进行统计，结果如下：

（I ）求T 的分布列与数学期望ET ；

（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授

从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，32；（II ）0.91．

【命题立意】本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望和事件的概率，属于中档题．

【解析】（I ）由统计结果可得T 的频率分步为

以频率估计概率得T 的分布列为

从而 250.2300.3350.4400ET =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）

(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.

解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤

1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.

解法二：

121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T =+>===+==12P(40,40)T T +==

0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=

故(A)1P(A)0.91P =-=.

【易错警示】解题时一定要抓住重要字眼“不超过”，否则很容易出现错误．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．

26.【2015高考新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中i w =，w =

1

8

8

1

i

i w

=∑

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +

y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

1

2

1

()()

=()

n

i

i

i n

i

i u u v v u u β

==---∑∑， =v u α

β- 【答案】

（Ⅰ）y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）

100.6y =+46.24

【命题立意】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用．

【解析】（I

）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型。 ……2分

（II

）令w y 关于w 的线性回归方程。由于

1

2

1

()()

108.8

ˆ681.6

()

n

i

i

i n

i

i w w y y d

w w ==--==

=-∑∑ ˆˆ56368 6.8100.6c

y dw =-=-⨯=。 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668y

w =+，因此y 关于x

的回归方程为ˆ100.6y

=+ ……6分 （III ）（i ）由（II ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值

ˆ100.6576.6y

=+=

ˆ576.60.24966.32

z=⨯-=。……9分（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值

ˆ0.2(100.620.12

z x x

=+-=-+

13.6

6.8

2

==，即x=46.24时，ˆz取得最大值

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。……12分

【方法技巧】解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.

27.【2015高考北京，理16】A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

A组：10，11，12，13，14，15，16

B组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．

(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；

(Ⅱ) 如果25

a=，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

【答案】（1）

3

7

，（2）

10

49

，（3）11

a=或18

【命题立意】本题考查古典概型和样本的方差，本题属于基础题.

【解析】(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率

3

7

P=；

(Ⅱ) 如果25

a=，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)

有10种取法，所以概率1049

P =

. (Ⅲ)把B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，可见当11a =或18a =时，与A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)

28.【2015高考广东，理17】某工厂36名工人的年龄数据如下表：

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的平均值x 和方差2

s ；

（3）36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？

【答案】（1）44，40，36，43，36，37，44，43，37；（2）40x =，2100

9

s =

；（3）23，约占63.%．

【命题立意】本题主要考查系统抽样、样本的均值与方差、样本数据统计等基础知识和运算求解能力，属于中档题．

∴ 年龄在x s -与x s +之间共有23人，所占百分比为23

63.%36≈．

【方法技巧】解答本题关键在于第（1）问要准确由系统抽样的定义得出对应的样本数据，第（2）（3）问则直接准确运用公式即可解答，但需注意运算过程和运算方法的应用．

18. 【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.

【答案】（1）107

；（2）详见解析.

【命题立意】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实

际应用

【解析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个

球是红球｝ 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，

∵142()105

P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525P B P A A P A P A

===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-

21211(1)(1)52522

=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=

；（2）顾

.