测量不确定度初学者指南如何表述测量答案举例说明不确定度的基本算法(六)

8．如何表述测量答案

表述测量答案是重要的，以便阅读者可以使用这个信息。要注意的主要事项有： 

●测量结果要与不确定度值一起表述，例如"棍子长度为20cm±1cm"。 

●对包含因子和置信概率作说明。推荐的说法为："报告的不确定度是根据标准不确定度乘以包含因子k=2，提供的置信概率约为95%"。 

●不确定度是如何估计的（你可以参考有阐述此法的出版物，如UKAS出版物M3003）。

9． 举例--不确定度的基本算法

以下举的是一个简单的不确定度分析例子。例子太详细并不显示，不过这意思是说简单有清晰的例子足以说明方法了。首先是阐述测量和不确定度分析。其次吧不确定度分析表示在一张表格上（"填表模省?"或"不确定度汇总表"）

9． 1测量--一根绳子有多长？

假定你要仔细估计一根绳子的长度，按照6.2节所列步骤，过程如下。 

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例3计算一根绳子长度的不确定度

步骤一：确定你从你的测量中需要得到的是什么，为产生最终结果，要决定需要什么样

的实际测量和计算。你要测量长度而使卷尺。除了在卷尺上的实际长度读数外，你也许有必要考虑：

● 卷尺的可能误差 

◇ 卷尺是否需要修正或者是否有了表明其正确读数的校准 

◇ 那么校准的不确定度是多少？ 

◇ 卷尺易于拉长吗？

◇ 可能因弯曲而使其缩短吗？从它校准以来，它会改变多少？ 

◇ 分辨力是多少？即卷尺上得分度值是多少？（如mm） 

● 由于被测对象的可能误差 

◇ 绳子伸直了吗？欠直还是过直？ 

◇ 通常的温度或湿度（或任何其它因素）会影响其实际长度吗？ 

◇ 绳的两端是界限清晰的，还是两端是破损的？ 

● 由于测量过程和测量人员的可能误差 

◇ 绳的起始端玉娟尺的起始端你能对的有多齐？ 

◇ 卷尺能放的与绳子完全平行吗？ 

◇ 测量如何能重复？ 

◇ 你还能想到其它问题吗？ 

步骤2：实施所需要的测量。你实施并纪录你的长度测量。为了格外充分，你进行重复测量总计10次，每一次都重新对准卷尺（实际上也许并不十分合理）。让我们假设你计算的平均值为5.017米，估计的标准不确定度为0.0021m（即2.1mm）。

对于仔细测量你还可以记录：

◇ 你在什么时间测量的 

◇ 你是如何测的，如沿着地面还是竖直的，卷尺反向测量与否，以及你如何使卷尺对准绳子的其它详细情况 

◇ 你使用的是哪一个卷尺 

◇ 环境条件（如果你认为会影响你测量结果的那些条件） 

◇ 其它可能相关的事项 

步骤3：估计供给最终结果的各输入量的不确定度。以同类项（标准不确定度）表述所有的不确定度。你要检查所有的不确定度可能来源，并估计其每一项大小。假定是这样的情况：

◇ 卷尺已校准过。虽然它没有修正必要，但校准不确定度是读数的0.1%，包含因子k=2（对正态分布）。在此情况下，5.017m的0.1%接近5mm。再除以2就给出标准不确定度(k=2)为u=2.55mm。 

◇ 卷尺上得分度值为毫米。靠近分度线的读数给出的误差不大于±0.5mm。我们可以取其为均匀分布的不确定度（真值读数可能处在1mm间隔内的任何地方--即±0.5mm）。为求的标准不确定度u，我们将半宽（0.5mm）除以根号3，得到近似值u=0.3mm。 

◇ 卷尺处于伸直状态，假定绳子不可避免地有一点点弯。所以测量很可能偏低估计绳子的长度。假定偏低估计约为0.2%。这就是说，我们应该用加上0.2%（即10mm）来修正测量结果。由于缺少更合适的信息，就假设不确定度是均匀分布。用不确定的半宽（10mm）除以根号3，得出标准不确定度u=5.8mm(取到最接近的0.1mm)。 

以上是全部B类评定，下面是A类评定。 

◇ 标准偏差告诉我们的是卷尺位置可重复到什么程度，及其对平均值的不确定度贡献了多少。10次读数平均值的估计的标准偏差用3.6节的公式来求： 

让我们假定在本例中不需要考虑其它不确定度了。（实际上，很可能需要计入其它一些问题）。

步骤4：确定各输入量的误差是否彼此不相关。（如果你认为有相关的，那么就需要某些额外的计算和信息）按本例情况，我们就说输入量都不相关。

步骤5：计算你的测量结果（包括对校准等事项的已知修正值）。改测量结构取自平均读数值，加上卷尺放的稍歪的必要修正值，即

5.017m+0.010m=5.027m

步骤6：根据所有各个方面情况求合成标准不确定度。求测量结果所用的唯一计算是加修正值，所以能以最简单的方式采用平房和法（7.2.1节所采用的公式）。标准不确定度被合成如下： 合成标准不确定度= 

步骤7：用包含因子（参见7.4节），与不确定度范围的大小一起，表述不确定度。并说明置信概率。对包含因子k=2，就用2乘以合成标准不确定度，则给出扩展不确定度为12.8mm（即0.0128m）。这赋予的置信概率约为95%。

步骤8：记下测量结果和不确定度，并说明你是如何得到它们的。你可以记述如下：

"绳子的长度为5.027m±0.013m。报告的扩展不确定度是根据标准不确定度乘以包含因子k=2得出的，提供的置信概率约为95%。"

"报告的长度是对水平放置的绳子做10次重复测量的平均值。估计了测量时绳子放置不完全直的影响，而对测量结果作了修正。不确定度是按《测量不确定度初学者指南》的方法估算的?

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9．2不确定度的分析--数据表格模式

为了有助于计算过程，按下表1填表方式总结不确定度分析或称"不确定度汇总表"。

表1表示成"不确定度汇总表"的数据表格模式

不确定度来源 数值 概率分布 除数 标准不确定度 

校准不确定度 5.0mm 正态 2 2.5mm 

分辨力（分度大小） 0.5mm* 矩形 根号3 0.3mm 

绳子放置不完全值 10.0mm* 矩形 根号3 5.8mm 

10次重复读数平均

值的标准不确定度 0.7mm 正态 1 0.7mm 

合成标准不确定度 假设的正态 6.4mm 

扩展不确定度 假设的正态（k=2） 12.8mm 

测量不确定度初学者指南其它说明（例如对技术规范的符合性）（七） 

10． 其它说明（例如对技术规范的符合性）

在根据测量结果做出结论时，一定不要忘记测量不确定度。这在用测量结果检验是否符

合技术规范时是很重要的。

有时测量结果虽然清楚地落在技术规范限值的范围内或外，但不确定度会交叠在限值上。图7种的例解说明了四种结果。 

图7测量结果及其不确定度相对于规定的技术规范限值所处位置的四种情况。（同样，不确定度还可能与规定的下限交叠） 

情况（a），测量结果和不确定度都落在规定的上下限内，这归为"合格"类。

情况（b），无论测量结果还是不确定度范围的任何部分都没有落在规定的限值内，这就归为"不合格"类。

情况（b）和（c）即不完全在限值内，也非完全显现之外，对符合与否不能做出明确结论。

在说明是否符合技术规范以前，总要核对一下技术规范。有是规范还包含多种性能，诸如外观、电接头、互换性等等，这些与已测的内容毫无关系。

测量不确定度初学者指南如何降低测量中的不确定度和一些良好的测量习惯（八） 

11． 如何降低测量中的不确定度

始终要记住，使不确定度降至最低与队不确定度定量通常都一样重要。由一些好的做法能有助于在一般做测量中降低不确定度，现推荐如下几点： 

●校准测量仪器（或者你已有校准过的仪器）并使用证书上给出的校准的修正值。 

●对你知道的任何（其它）误差做修正来补偿。 

●使你的测量溯源到国家标准--采用校准方法，这可以通过不间断地测量链溯源到国家标准。如果通过测量认可（英国由UKAS负责）对测量做了质量保证，你对测量的溯源性就可特别信任。 

●选择最好的测量仪器，并使用具有最小不确定度的校准设备。 

●通过重复测量或不时地请他人做重复测量来检查测量，也可用其它检查方法。用不同方法进行检查可能是最好的方法。 

●审核计算，并将数据另外抄录下来，再对其审核。 

●用不确定度汇总表识别出最差的不确定度，并将它们提出来。 

●要注意，在逐级的校准链中，不确定度是逐级增大的。 

12． 其它的一些良好的测量习惯

总的说来，要养成测量中公认的好习惯。

●要按照生产厂的说明书来使用和保养仪器。 

●要用有经验的人员，并为测量提供培训。 

●要对软件做核查或证实其有效，以确信其工作无误。 

●在你的计算中要采用正确的修约方法。（参见13.4节） 

●对你的测量和计算要保有良好纪录。测量中随时记下读书。要保持对可能有关系的任意额外信息的记载。如果在什么时候产生对过去测量的怀疑。这种记载就会非常有用。

在别处还详述了许多其它的测良好习惯。例如国际标准ISO/IEC17025《检测和校准实验室能力的通用要求》。参见16节"进一步读物"

测量不确定度初学者指南计算器的使用（九） 

13． 计算器的使用

在用计算器和计算机计算不确定度时，你必须了解如何在使用中避免出错。

13．1计算器的按键 

（x杠）键给的是你输入计算器储存的数值的平均值（算术平均值）

（西格玛n减一）键（有时用符号s）给的是在你有限样本基础上的"总体"估计的标准偏差。（实际上，任何一组读数都是可能读数的"无限总体"中的一个小样本。），或者s，是标准偏差的估计值，这对本指南7.11节的"A类评定"在计算不确定度时是你应当采取的。

你的计算器可能还会有标有的键。对不确定度的估算你通常不会使用：给出的是样本本身的标准偏差，并不给出对你想要表征的较大"总体"的"估计值"。对非常多的读数。就非常接近。但是对只有适度次数读数的实际测量情况，你就用不着。

13．2计算器和软件的误差

计算器能出错？！实际上，在处理非常长的数字时，它们有时会给出意想不到的结果。例如有的计算器给出如下结果：

0.0 0002X0.000 0002=0（确实如此）

而正确答案是0.000 000 000 0004。（当然，这最好表述成。）甚

至计算机也会由这种修约误差的缺点。为了识别这个问题，就应通过典型的"手"算来检查数据表格软件已正式这两种方法是否相吻合。要避免这些修约方面的问题，在你的计算中采用"变换"数字是切实可行的（这种换算有时也叫比例换算或数字编码）。

13．3比例换算例4所示是如何做比例换算来避免软件和计算器的误差，而且在你计算中如果没有计算器，如何使你运算更容易。 

例4对1.000 000 03，1.000 000 06和1.000 000 12求平均值和估计的标准偏差。

对全部数值的计算，你可以求3、6、12的平均值（平均值为7），然后再导出原数值的平均值为1.000 000 07。

逐步过程：你从1.000 000 03、1.000 000 06、1.000 000 12都减去整数1，得到

0.000 000 03 0.000 000 06 0.000 000 12 

然后乘以100 000 000()把整个计算成为整数运算，即

3 6 12

去平均值 接着反过来，把该平均值除以，即

7/100 000 000=0.000 000 07

再加上1，既有1.000 000 07

按类似的方法用"比例运算"来计算估计的标准偏差。换算数据如前：

3 6 12

去平均值

接着反过来，把该平均值除以，即

7/100 000 000=0.000 000 07

再加上1，既有1.000 000 07

按类似的方法用"比例运算"来计算估计的标准偏差。换算数据如前：

3 6 12

并有换算的平均值7。

用计算器或按如下的前述公式（见3.6节）来求估计的标准偏差：

求每一个数与平均值之差，既有

-4 -1 5

对每一个差值求平方，既有

16 1 25

求合并除以n-1，即

取平方根，既有

=4.6（取到一位小数）

然后将此结果（4.6）换算回原比例，得到估计的标准偏差为0.000 000 046。（注意，这不是1.000 000 046，因为移位数字组的标准偏差是不变的。）

13．4数字修约

计算器和数据表格软件都能对答案给到许多位小树。对结果的修约有一些推荐的做法：

对计算值采用修约到有意义位次。测量结果的不确定度可能规定你应报告到多少数位。例如，假设你的测量结果的不确定度是到小数点第一位，那么测量结果也应该表述到小数点一位，例如：20.1cm±0.2cm

使你的计算至少到比你最重要求得有效数字多一位。在你在做乘或除，或者更复杂的计算时，要意识到你需要用多少位有效数。 

对数值的修约应在计算的最终进行，以避免有修约误差。举例来说，如果对2.346在计算中早一步就修约到2.35，那么后来就可能修约到2.4。但如果在整个运算中都用2.346，那么在最终就会正确的修约到2.3。 

虽然计算结果最终修约乘或进或舍，这取决于最接近的数字*，但对不确定度修约的规则是与此不同的。对最终不确定度的修约都是尾数进位，而不是舍去。

测量不确定度初学者指南再学习并付诸实践（十） 

14．再学习并付诸实践

现在你知道了不确定度评定的基础知识。但是在你能将这些知识用于实践以前，你还会需要进一步的指导。

在16节"进一步的读物"所列的文本中可以找到更多的信息。在UKAS（英国认可机构）出版的文件M3003"The Expression of Uncertainty and Confidence in Measurement"（《测量的不确定度与置信度的表述》）中，给出了关于如何正确而又充分的分析测量不确定度的细则。在EA-4102"Expression of Uncertainty of Measurement in Calibration"（《校准中测量不确定度的表述》）中也给出了类似的导则。这些文件的目标是对那些需求认可其校准或检测的实验室的。这些文件对估算测量不确定度做了全面说明，用多种不同类型测量的运算实例以完善这种说明。这些文件给出了关于不确定度方面术语的专业定义，并列出了相应的常用符号。它们还处理了一些特殊情况，以及为了对不确定度作全面正确的计算而必须考虑到的一些特别问题。

15． 提醒话

不确定度分析是一个推进中的课题。这些年来已有了一些细微的变化。尤其，在本初学者指南中所给出的规则并不是"绝对的"，有大量的特殊情况要应用一些略有不同规则。对如何说明特定不确定度的一些更细致观点甚至还有讨论的余地，不过本指南所提出的建议仍是常规实践中可行的。

本文介绍的并不是全面情况，文中并没有对一些特殊情况做处理。下列情况要用一些额外的规则： 

●如果你对非常少量的数据（少于10个）要用统计方法； 

●如果不确定度中的一个分量要比所有其它涉及的分量要大的多； 

●如果有些要计算的输入量是相关的； 

●如果数据散步或分布的形状不是常见的； 

●如果不确定度不是对单一结果，而是对若干点拟和成一根曲线或直线。 

这些特殊情况在下一节"进一步的读物"中所列的某些文本已经都涉及到了。

测量不确定度初学者指南进一步的读物（十一） 

16． 进一步的读物

1． BIPM,IECIFCC,ISO,IUPAC,OIML.Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. International Organization for Standardization,Geneva.ISBN92-67-10188-9,First Edition 1993, corrected and reprinted 1995,(BSI Equivalent:BSI PD 61:1995, Vocabulary of Metrology, Part 3. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. British Standards Institution, London.)

2． BIPM,IECIFCC,ISO,IUPAC,OIML.International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology Second Edition 1993.International Organization for Standardization, Geneva.

3． Chatfield, C.(1983) Statistics for Technology. Third Edition.(New York: Chapman and Hall.)

4． Dietrich, C.F. (1991), Uncertainty, calibration and probability. Second Edition. (Bristol: Adam Hilger.)

5． EA-4/02 Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration, 1999, European co-operation for accreditation.

6． International Standard ISO 3534-1 Statistics - vocabulary and symbols - Part I: Probability and general Statistical Terms, First Edition 1993, International Organization for Standardization, Geneva.

7． PD 61: Part I: 1995 Vocabulary of Metrology, Part 1. Basic and general terms (international), British Standards Institution, London.

8． EURACHEM/CITAC Guide: Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement, Second Edition 2000.

9． UKAS publication M 3003 The Expression of Uncertainty and Confidence in Measurement Edition 1, December 1997.

10． International Standard ISO/IECA 17025 GeneralRequirements for the competence of testing and calibration laboratories, First Edition 1999, International Organization for Standardization, Geneva 

测量不确定度初学者指南附录A 理解专用名词（十二） 

附录A 理解专用名词

在以下的"名词汇编"中解释了少量重要词汇，这里并未做出精确的或严格的定义。这些都可在别处找到，例如《国际通用计量学基本术语》（International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology）。也可以在UKAS的出版物M3003《测量的不确定度与置信概率得表述》（The Expression of Uncertainty and Confidence in Measurement参见16节书目）中找到有效、正确的定义。 

准确度

测量结果与真值之间的一致程度。

（测量仪器的）偏移

测量仪器示值的系统误差。 置信概率

表示对测量结果可信程度的数值（如95%）。

修正值（校准修正值）

为了修正误差、剩余偏差或偏移而加到仪器读数上的数值。（同样，读数还可以乘以或除以修正因子来修正读数值。）

相关性

数据之间或被测量之间的关系或相互关联。

包含因子

为了给出特定置信概率下的扩展不确定度而乘以标准不确定度的数。

误差

对正确量值的剩余偏差值或偏差值（非正即负）。

估计的标准偏差*

根据有限样本对"总体"的标准偏差的估计值。

扩展不确定度

给定置信概率的包含因子乘以标准不确定度（或合成标准不确定度）。 

高斯分布

（参见正态分布）

区间（置信区间）

可以认为被测"真值"以给定置信概率处于其间的范围。

平均值（算术平均值）

一组数值的平均数值

被测量

作为测量对象的特定量

正态分布

以量值落在接均值比离开平均值可能性要大为分散特征图形（高斯曲线）的量值分布。

操作误差

操作出错

精度

一个表示"辨别精细程度"意思的名词，但常误用为"准确度"或"不确定度"的意思，应该尽可能避免用此词。

随机误差

观测其影响是无规则变化的误差。

范围

一组量值的最大值和最小值之差。

读数

在测量时观测到的或纪录到的值。

矩形分布

量值以相同可能性落在它们范围内任一处的分布。

（仪器或者测量结果的）重复性

在相同条件下，对同一特性重复测量值之间的一致性。

（仪器或者测量结果的）复现性

在改变测量条件下（如不同操作人员，或不同方法，或在不同时间等等），对同一特性进行测量，其结果之间的一致性。

分辨力

能够有效辨别的最小差值（如数字显示最后一位中1个字的变化）

（测量）结果

根据测量得到的值，该值或测量前修正，或测量后修正，或求其平均。

灵敏度

（仪器的）响应变化除以相应的激励变化。

标准偏差

对测量结果数集分散性的一种度量，代表性地描述了这些值与其数集的平均值的差异情况。这里，要得到测量结果的无穷数集是不可能的（实际上决不会有），所以我们用估计的标准偏差来代替。

标准不确定度

用区间等于正负一倍标准偏差表示的测量不确定度。

系统误差

对正确值的偏移值或剩余偏差值（非正即负）。

真值

由理想测量得到的值。

A类不确定度评定

用统计方法的不确定度评定。

B类不确定度评定

用非统计方法的不确定度评定。

不确定度汇总表

不确定度计算的一览表

测量不确定度

对测量结果怀疑程度的定量表示。

均匀分布

即矩形分布。

Why is it important? 不确定度之所以重要的原因? 

The uncertainty is a quantitative indication of the quality of the result. It gives an answer to the question, how well does the result represent the value of the quantity being measured?

不确定度是结果质量的定量性指标，它回答了以下问题，即结果如何恰当地代表测量的量值？

It allows users of the result to assess its reliability, for example for the purposes of companson of results from different sources or with reference values. Confidence in the comparability of results can help to reduce barriers to trade.

它允许结果的用户评定其可靠性，比如为了比对来源不同的结果或者与参考值进行比对。对结果相似性的置信水平能够降低贸易壁垒。

Often, a result is compared with a limiting value defined in a specification or regulation. In this case, knowledge of the uncertainty shows whether the result is well within the acceptable limits or only just makes it. 

通常，一个结果要与标准或者规定中的一个设定限值相比较。这种情况下，不确定度就能显示出结果是否正好落在可接受范围内或者仅为临界值。 

Occasionally a result is so close to the limit that the risk associated with the possibility that the property that was measured may not fall within the limit, once the uncertainty has been allowed for, must be considered.

有时候一个结果如此之接近限值，以至于与被测量性质的可能性有关的风险不会落在限值内。一旦不确定度被认可，则必须予以考虑。

Suppose that a customer has the same test done in more than one laboratory, perhaps on the same sample, more likely on what they may regard as an identical sample of the same product. Would we expect the laboratories to get identical results? Only within limits, we may answer, but when the results are close to the specification limit it may be that one laboratory indicates failure whereas another indicates a pass. From time to time accreditation bodies have to investigate complaints concerning such differences. This can involve much time and effort for all parties, which in many cases could have been avoided if the uncertainty of the result had been known by the customer.

假设一个客户在一个以上的实验室内做完同样的检测，可能检测一个样品，更可能是检测相同产品的相同样品。我们会期待实验室获得同一个结果吗？只有在限值内我们才能这么回答，但是当结果与标准值接近时，也许一个实验室指示出错，而另一个则显示通过检测。有时，认证机构必须调查与这些差别有关的错误。对各方来说这会牵涉许多时间和精力，如果客户已经了解结果的不确定度，大多数情况下就可以避免时间和精力的浪费。