人教版八年级上册数学 全等三角形综合测试卷(word含答案)

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．

【答案】AD的中点

【解析】

【分析】

【详解】

分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出

AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.

详解：如图，过AD作C点的对称点C′，

根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D

∵四边形ABCD是矩形

∴AB=CD

∴△ABP≌△DC′P

∴AP=PD

即P为AD的中点.

故答案为P为AB的中点.

点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．

2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．

【答案】5

【解析】

【分析】

作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值，再根据AD 是∠BAC 的平分线可知MH=MN ，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．

【详解】

如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值．

∵AD 是∠BAC 的平分线，∴MH=MN ，∴BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5．

∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．

故答案为5．

【点睛】

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．

3．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．

【答案】①③④

【解析】

【分析】

①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C，则

∠C=1

2

∠ABC，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°，故②错误；③

由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，得到∠ABF=∠EBD．由于

∠AFE=∠BAD+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEB，可得③正确；④连接EG，先证明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，证出△ANE≌△GNF，得∠NAE=∠NGF，进而得到GF∥AE，故④正确；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，得到EF不一定等于AE，于是EF不一定等于FG，故⑤错误．

【详解】

∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，

∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，

故①正确；

若∠EBC=∠C，则∠C=1

2

∠ABC，

∵∠BAC=90°，

那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°，

故②错误；

∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，

∴∠ABF=∠EBD，

∵∠AFE=∠BAD+∠ABF，∠AEB=∠C+∠EBD，又∵∠BAD=∠C，

∴∠AFE=∠AEF，

∴AF=AE，

故③正确；

∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，

∴AN⊥BE，FN=EN，

在△ABN与△GBN中，

∵

90

ABN GBN

BN BN

ANB GNB

∠=∠

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠=︒

⎩

，

∴△ABN≌△GBN（ASA），

∴AN=GN，

又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，

∴△ANE≌△GNF（SAS），

∴∠NAE=∠NGF，

∴GF∥AE，即GF∥AC，

故④正确；

∵AE=AF，AE=FG，

而△AEF不一定是等边三角形，

∴EF不一定等于AE，

∴EF不一定等于FG，

故⑤错误．

故答案为：①③④．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．

4．如图，在等边ABC

∆中取点P使得PA，PB，PC的长分别为3， 4， 5，则APC APB

S S

∆∆

+=_________．

【答案】

93

6

【解析】

【分析】

把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知

△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90︒，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边

3

S

△ADP

＋S△BPD＝3 4×32＋

1

2

×3×4＝

93

6

4

+．

【详解】

将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD，连接PD ∴AD＝AP，∠DAP＝60︒，

又∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC＝60︒，AB＝AC，

∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP，

∴∠DAB＝∠PAC，

又AB=AC,AD=AP

∴△ADB≌△APC

∵DA＝PA，∠DAP＝60︒，

∴△ADP为等边三角形，

在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5，

∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2，

∴△PBD为直角三角形，∠BPD＝90︒，

∵△ADB≌△APC，

∴S△ADB＝S△APC，

∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3

×32＋

1

2

×3×4＝

93

6+．

故答案为：

93

6+．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．

【答案】4

【解析】

【分析】

以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．

【详解】

解：如图，使△AOP 是等腰三角形的点P 有4个．

故答案为4．

【点睛】

本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．

6．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若AQ PQ =，PR PS =，那么下面四个结论：①AS AR =；②QP //AR ；③△BRP ≌△QSP ；④BR

QS ，其中一定正确的是（填写编号）

_____________.

【答案】①，②

【解析】

【分析】

连接AP ，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS ，根据等腰三角

形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS．【详解】

解：连接AP

①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，

∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，

∴∠SAP=∠RAP，

在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，

∵AP=AP，PR=PS，

∴AR=AS，

∴①正确；

②∵AQ=QP，

∴∠QAP=∠QPA，

∵∠QAP=∠BAP，

∴∠QPA=∠BAP，

∴QP∥AR，

∴②正确；

③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，

不满足三角形全等的条件，故③④错误；

故答案为：①②.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．

【答案】2

【解析】

【分析】

连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.

【详解】

解：如图：连接BE

∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，

∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠F+∠CEF＝90°，

∵∠AED＝∠FEC，

∴∠A＝∠F＝30°，

∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，

∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，

∴∠CBE＝∠F，

∴BE＝EF，

在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2，

∴EF＝2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.

8．如图，已知，点E是线段AB的中点，点C在线段BD上，8

BD=，2

DC=，线段AC交线段DE于点F，若AF BD

=，则AC=__________.

【答案】10.

【解析】

【分析】

延长DE至G，使

EG=DE，连接AG，证明BDE AGE

∆≅∆，而后证明AFG

∆、CDF

∆是等腰三角形，即可求出CF的长，于是可求AC的长.

【详解】

解：如图，延长DE至G，使EG=DE，连接AG，

∵点E是线段AB的中点，

∴AE=BE,

∴在BDE

∆和AGE

∆中，

BE AE

BED AEG

DE EG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

,

∴BDE AGE

∆≅∆,

∴AG=BD, BDE AGE

∠=∠,

∵AF=BD=8,

∴AG=AF,

∴AFG AGE

∠=∠

∵AFG DFC

∠=∠,

∴BDE DFC

∠=∠,

∴FC=2,

∴AC=AF+FC=8+2=10.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

9．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_____________

【答案】2.25或3

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，BP=CP=

1

2

BC=

1

2

×9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若

△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出

96

3

vt

vt t

⎨

⎩

-

⎧＝

＝

，解得：v=3．

【详解】

解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，

∴BD=6厘米，

若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=

1

2

BC=

1

2

×9=4.5（厘米），

∵点Q的运动速度为3厘米/秒，

∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），

∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；

若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，

则有

96

3

vt

vt t

⎨

⎩

-

⎧＝

＝

，

解得：v=3

∴v的值为：2.25或3厘米/秒

故答案为：2.25或3.本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

10．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．

【答案】60°

【解析】

【分析】

此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时

∠ECF的值.

【详解】

分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：

在AD、AB上任意取E1、F1两点

根据对称性：

∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1

∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2

而△CE1F1的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1

根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2

∴△CEF的周长的最小为：C1C2.

∵∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°

∴∠DCB=360°－∠A －∠ADC －∠ABC=120°

∴∠C C 1C 2＋∠C C 2C 1=180°－∠DCB=60°

根据对称性：∠C C 1C 2=∠E CD ，∠C C 2C 1=∠F CB

∴∠E CD ＋∠F CB=∠C C 1C 2＋∠C C 2C 1=60°

∴∠ECF =∠DCB －（∠E CD ＋∠F CB ）=60°

故答案为：60°

【点睛】

此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难） 11．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．

A ．PA P

B =

B ．PO 平分APB ∠

C ．OA OB =

D ．AB 垂直平分OP

【答案】D

【解析】

【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．

【详解】

解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥

∴PA PB =，选项A 正确；

在△AOP 和△BOP 中，

PO PO PA PB =⎧⎨=⎩

， ∴AOP BOP ≅

∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；

由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．

【点睛】

本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．

12．已知40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当PAB ∆的周长取最小值时，APB ∠的度数是( )

A ．40︒

B ．50︒

C ．100︒

D ．140︒

【答案】C

【解析】

【分析】 设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P '、P ''，当点A 、B 在P P '''上时，PAB ∆周长为PA AB BP P P ++='''，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出APB ∠的度数．

【详解】

分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ，连接PA 、PB ，此时PAB ∆周长的最小值等于P P '''．

由轴对称性质可得，OP OP OP '=''=，P OA POA ∠'=∠，P OB POB ∠''=∠，

224080P OP MON ∴∠'''=∠=⨯︒=︒， (18080)250OP P OP P ∴∠'''=∠'''=︒-︒÷=︒，

又50BPO OP B ∠=∠''=︒，50APO AP O ∠=∠'=︒，

100APB APO BPO ∴∠=∠+∠=︒．

故选：C ．

【点睛】

此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.

13．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线）l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）.

C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据轴对称分析即可得到答案.

【详解】

根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，

故选：C.

【点睛】

此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题.

14．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，则△BOD与△AOE的面积之差为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】

【分析】

首先证明△DOB≌△COA（SAS），推出S△DOB﹣S△AOE=S△EOC，再证明△OEC是等腰直角三角形即可解决问题．

【详解】

∵A（a，0），B（0，a），∴OA=OB．

∵△ODC是等腰直角三角形，∴OD=OC，∠D=∠DCO=45°．

∵∠DOC=∠BOA=90°，∴∠DOB=∠COA．在△DOB和△COA中，∵OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA（SAS），∴∠D=∠OCA=45°，S△DOB﹣S△AOE=S△EOC．

∵OE⊥AC，∴∠OEC=90°，∴△CEO是等腰直角三角形，∴OE=EC=2，∴S△DOB﹣

S△AOE=S△EOC

1

2

=⨯2×2=2．

故选A．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OEC是等腰直角三角形．

15．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；

②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120º；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是

（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意易证：△ACE≅△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE≅△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ≅△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，

即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120º；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．

【详解】

∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，

∴AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB=120°，

∴△ACE≅△DCB(SAS)

∴AE＝BD，

∴①正确；

∵△ACE≅△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，

∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，

∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC，

在△ACM 和△DCN中，

∵60CAE CDB AC DC

ACD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩

∴△ACM ≅△DCN （ASA ）,

∴CM ＝CN ，

∴②正确；

∵CM ＝CN ，∠DCE=60°，

∴△MCN 是等边三角形，

∴∠MNC=60°，

∴∠MNC=∠BCE ，

∴MN ∥AB ，

∴③正确；

∵△ACE ≅△DCB ，

∴∠CAE=∠CDB ，

∵∠AMC=∠DMO ，

∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ，

即：∠ACM=∠DOM=60°，

∴∠AOB ＝120º，

∴④正确；

作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，垂足分别为点G ，点H ，如图，

在△ACG 和△DCH 中，

∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ACG ≅△DCH （AAS ），

∴CG =CH ，

∴OC 平分∠AOB ，

∴⑤正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.

故选B.

点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.

17．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G，∠3=∠H，△AGH的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．

故选D．

考点：轴对称的应用；路径最短问题．

18．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结

论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第4

3

秒或第

8

3

秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．

②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；

③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；

④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．

【详解】

①在等边△ABC中，AB=BC．

∵点P、Q的速度都为1cm/s，

∴AP=BQ，

∴BP=CQ．

只有当CM=CQ时，BP=CM．

故①错误；

②∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ=∠CAP ，AB=CA ，

又∵点P 、Q 运动速度相同，

∴AP=BQ ，

在△ABQ 与△CAP 中，

∵AB CA ABQ CAP AP BQ ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

＝＝＝， ∴△ABQ ≌△CAP （SAS ）．

故②正确；

③点P 、Q 在运动的过程中，∠QMC 不变．

理由：∵△ABQ ≌△CAP ，

∴∠BAQ=∠ACP ，

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC ，

∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．

故③正确；

④设时间为t 秒，则AP=BQ=tcm ，PB=（4-t ）cm ，

当∠PQB=90°时，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ ，即4-t=2t ，t=

43

， 当∠BPQ=90°时，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP ，得t=2（4-t ），t=83， ∴当第43秒或第83秒时，△PBQ 为直角三角形． 故④正确．

正确的是②③④，

故选C ．

【点睛】

此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．

19．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（ ）

A ．132︒

B ．130︒

C ．112︒

D ．110︒

【答案】C

【解析】

【分析】 连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.

【详解】

如图，连接OB 、OC ，

∵56BAC ︒∠=，AO 为BAC ∠的平分线 ∴11562822

BAO BAC ︒︒∠=∠=⨯= 又∵AB AC =， ∴()()

11180180566222ABC BAC ︒︒︒︒∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线，

∴OA OB =．

∴28ABO BAO ︒∠=∠=，

∴622834OBC ABC ABO ︒︒︒∠=∠-∠=-=

∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线

∴点О是ABC △的外心，

∴OB OC =，

∴34OCB OBC ︒∠=∠=，

∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合

∴OE CE =，

∴34COE OCB ︒∠=∠=，

在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.

20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB ，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为

( )

A ．(1，0)，224+

B ．(3，0)，224+

C ．(2,0), 25

D ．(2,0),252+

【答案】D

【解析】 作A 关于x 轴的对称点N （1，-2），连接BN 与x 轴的交点即为点P 的位置，此时△ABP 的周长最小.

设直线BN 的解析式为y kx b =+，

∵N (1，-2)，B (3，2)，

∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩

， 解得24k b =⎧⎨=-⎩

， ∴24y x =-，

当0y =时，240x -=，

解得，2

∴点P的坐标为（2，0）；

∵A(1，2)，B(3，2)，

∴AB//x轴，

∵AN⊥x轴，

∴AB⊥x轴，

在Rt△ABC中，AB＝2，AN＝4，

由勾股定理得，

BN==

∵AP=NP,

∴△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP=AB+BP+PN=AB+BN

故选D.

点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P的位置是解题的关键.