西电研究生数值分析试题A答案

一．填空题

1、①        

2、②   ③       

3、④ n     ⑤ 0

4、⑥     ⑦ 1     ⑧ n+1 

5、⑨   

6、⑩

二．解：问题等价于求在上关于权函数的二次最佳平方逼近多项式。故选取切比雪夫基函数.  

的二次最佳平方逼近多项式为

由此得到参数.

而最小值即是平方误差.即

三．证明：(1)  若函数充分光滑，则有

        式中

       当时，有

(2)  如果求积公式至少具有n次代数精度，则它对于n次多项式

精确成立，即有

注意到，故

即       .

解：(3) 插值节点为步长 

     由三点公式

另解（3）

    当时， 

三点的插值基函数为：

将代入，得：，，  

四．解：(1) 令，则，，

    ，

当时，，所以

  在[0,1]上为单调函数，因此

  由于复化梯形公式的离散误差为

  因此     

  要使  ，则只要 

   即      

 因此，故可取步长，由于，因此得，

故节点数至少取1001.

(2)将分别代入求积公式，使得

      ；.

由此的.

对应的求积公式为，

将代入等式恒成立，

将代入等式不成立，

故该求积公式的代数精度为2.

五．(1) 解：

由算式

得

     →

     →

   (2) 因为，

    所以有

→

    →

六．(1) 解：雅可比迭代矩阵为

因为，所以，从而，故雅可比迭代收敛。

高斯-赛德尔迭代矩阵为

因为，所以，从而，故高斯-赛德尔迭代不收敛。

 (2)  矩阵显然对称.当时，由

  ，    

    故是对称正定的.

       雅克比法迭代矩阵为：

        故，当时，雅克比迭代法收敛.