2018-2019学年四川省成都市高一上学期期末调研考试数学试题(解析版)

一、单选题

1．设集合，，则（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】由补集的定义可得答案.

【详解】

集合，，则

故选：B

【点睛】

本题考查集合的补集的运算，属于简单题.

2．已知向量，，则（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由向量坐标的减法运算即可得结果.

【详解】

向量，，

则2

故选：D

【点睛】

本题考查向量坐标的加减法运算，属于简单题.

3．半径为，圆心角为的扇形的弧长为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】由扇形的弧长公式直接计算即可得结果.

【详解】

扇形的弧长,

又半径为，圆心角为，

则

故选：C

【点睛】

本题考查扇形弧长公式的应用.

4．下列四组函数中，与相等的是（   ）

A．，    B．，

C．，    D．，

【答案】D

【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．

【详解】

选项A,f(x)定义域为R,g(x)定义域为,故两个函数不相等；

选项B,f(x)定义域为g(x)定义域为,故两个函数不相等；

选项C,f(x)定义域为Rg(x)定义域为,故两个函数不相等；

选项D,化简函数g(x)=x与函数f(x)相同，故两个函数相等；

故选：D

【点睛】

本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．

5．若函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】由对数的性质知，当真数为1时，对数值一定为0，由此性质求函数图象所过的定点即可.

【详解】

当x+3=1时，即x=-2时此时y=0,

则函数（，且）的图象恒过定点（-2,0）

故选：A

【点睛】

本题考查有关对数型函数图象所过的定点问题，涉及到的知识点是1的对数等于零，从而求得结果，属于简单题.

6．已知，则的值是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】将所求式子的分子分母同时除以，得到关于的式子，将代入即可得到结果.

【详解】

将分子分母同时除以，

故选：C

【点睛】

本题考查三角函数的化简求值，常用方法：(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=; 形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；（2）“1”的灵活代(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.

7．已知关于的方程有一根大于，另一根小于，则实数的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】利用二次函数图像的性质，只需满足x=1处的函数值小于0即可.

【详解】

∵关于x的方程的一根大于1，另一根小于1，

令f（x）＝，开口向上，

只需f（1）＝1-a+3=4-a＜0，得a>4，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．

8．设，，，则，，的大小关系是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由对数函数的图像可知c<0,由指数函数图像可判断出a,b与1的关系，从而得到a,b,c的大小关系.

【详解】

由指数函数图像可知<1,

由对数函数图像可知c<0,

即可得到c故选：D

【点睛】

本题考查指数函数图像和对数函数图像的应用，属于简单题.

9．若函数唯一的一个零点同时在区间，，，内，则下列命题中正确的是（   ）

A．函数在区间内有零点    B．函数在区间上无零点

C．函数在区间内无零点    D．函数在区间或内有零点

【答案】B

【解析】由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．其他不能确定．

【详解】

由题意函数唯一的一个零点同时在区间，，，内,

可确定零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．

其中A和C不能确定，由题意零点可能为1，故D不正确，

故选：B．

【点睛】

本题考查对函数零点的判定定理的理解，属基础知识的考查．属基础题．

10．如图，在正方形中，是边上靠近点的三等分点，连接交于点，若 ，则的值是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】由题意知，B,E,F三点共线，则用表示出根据E,C,A三点共线，可得到值，整理化简即可得到m和n值，从而可得答案.

【详解】

由题意知，B,E,F三点共线，是边上靠近点的三等分点，

则

又E,C,A三点共线则，即，

则

所以m=-1,n=,故m+n=

故选：C

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的简单应用，考查三点共线的应用，考查分析推理能力.

11．已知，，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当时，函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】令F（x）＝﹣＝0求出零点，利用相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为得值，然后根据当时，f(x)>0恒成立即可得到的取值范围.

【详解】

由题意，函数，的图象中相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为．

令F（x）＝﹣＝0，可得sin（）＝0，

即＝kπ，k∈Z．

当k＝0时，可得一个零点x1＝

当k＝1时，可得二个零点x2＝, ω＞0，

那么|x1﹣x2|＝|，可得,则，

又当时，函数的图象恒在轴的上方，

当f(x)>0时解得,

只需即

又，则当k=0时，的取值范围是

故选：D．

【点睛】

本题考查三角函数图像的性质，考查恒成立问题，属于中档题.

12．已知函数和（且为常数）.有以下结论：①当时，存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根；②存在，使得关于的方程有三个不同的实数根；③当时，若函数恰有个不同的零点，，，则；④当时，关于的方程有四个不同的实数根，，，，且，若在上的最大值为，则.其中正确结论的个数是（   ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【答案】C

【解析】根据不同的条件画出不同的函数图像，由图像结合函数的性质逐个检验即可得到答案.

【详解】

对①，当y=的对称轴小于0即m<0且最大值大于4时可知g(x)=4与函数f(x)有四个不同的交点，满足题意；

对②，由图像可知，f(x)=a不可能有三个实数根，故错误；

对③，函数恰有个不同零点，，，令t=f(x),

则有两个不等的实数根，其中

当时对应的根当时，对应的根为，，当|ln|=|ln|时，

有-ln=ln即满足=1，则，故正确；

当④，当m=-4时图像如图，由图像可知则<,即在上的最大值为则,,由对称性可知，

则)=sin=1,故正确；

故选：C

【点睛】

本题考查方程与函数问题，考查数形结合的思想，考查对数函数图像和二次函数图像性质的综合应用，属于中档题.

二、填空题

13．的值是__________．

【答案】

【解析】利用诱导公式和的余弦值即可得到答案.

【详解】

=,

故答案为：

【点睛】

本题考查诱导公式和特殊角的三角函数值，属于简单题.

14．已知幂函数（为常数）的图象经过点，则的值是__________．

【答案】

【解析】将点代入函数解析式，即可得到的值.

【详解】

已知幂函数（为常数）的图象经过点,

则，则，

故答案为：

【点睛】

本题考查幂函数定义的应用，属于简单题.

15．若将函数 的图象向右平移个单位后恰与的图象重合，则的值是__________．

【答案】6

【解析】将函数图象向右平移个单位得y＝sin（ωx﹣+）的图象，由已知条件只需满足＝2kπ，从而得到值.

【详解】

将函数（ω＞0，x∈R）的图象向右平移个单位长度后，

可得y＝sin（ωx﹣+）的图象．

根据所得的图象与原函数图象重合，

∴＝2kπ，k∈Z，即ω＝6k，k∈Z，

又0＜ω＜7

则ω为6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查三角函数图像变换和终边相同的角的意义，属于基础题.

16．已知是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】利用函数奇偶性画出函数f(x)的图像，然后将题中的恒成立问题转为函数f(x)的图像始终在函数的图像的上方，观察图像即可得到答案.

【详解】

由已知条件画出函数f(x)的图像(图中实线)，若对任意的，不等式恒成立，即函数f(x)的图像始终在函数的图像的上方，

当a<0时，将函数f(x)图像向左平移，不能满足题意，故a>0，

将函数f(x)图像向右平移时的临界情况是当D点与B点重合，且临界情况不满足题意，由图可知向右平移的个单位应大于6即可，即解得a>,

故答案为：

 【点睛】

本题考查函数恒成立问题的解决方法，考查函数图像即数形结合的应用，属于中档题.

三、解答题

17．计算：（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）4

【解析】由指数幂的运算和对数运算即可得到答案.

【详解】

（1）原式 

（2）原式  .

【点睛】

本题考查指数幂和对数的运算性质的应用，属于简单题.

18．已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】(1)先判断函数定义域关于原点对称，然后利用奇偶性定义即可判断；（2）

任取，且，利用函数单调性的定义作差分析即可得到证明.

【详解】

（1）函数的定义域为.

对于定义域内的每一个，都有，

.

函数为偶函数

（2）设任意，且，则

 .

由，得，，

于是，即.

函数在上是减函数.

【点睛】

本题考查函数奇偶性和函数单调性定义的应用，属于基础题.

19．某公司在2018年承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润与月份近似的满足某一函数关系.其中2月到5月所获利润统计如下表：

（2）对（1）中选择的函数模型，若该公司在2018年承包项目的月成本符合函数模型（单位：亿元），求该公司2018年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份.

【答案】（1）8月份所获利润约为亿元；（2）月成本的最大值约为亿元，相应的月份为2月

【解析】（1）由表中的数据知利润有增有减不单调可知模型①适合，然后将表中数据代入可得函数解析式，再将x=8代入可得结果；（2）由二次函数图像的性质可得最值.

【详解】

（1）易知.

因为，为单调函数，由所给数据知，满足条件的函数不单调，所以选取进行描述.

将表中三组数据代入，得到.

解方程组，得.

所以该公司月利润与月份近似满足的函数为，

，.

当时，得（亿元）.

所以估计8月份所获利润约为亿元.

（2） .

所以月成本的最大值约为亿元，相应的月份为2月.

【点睛】

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，考查求函数最值问题.

20．已知函数 的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象.求当时，函数的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】(1)由函数最值求得A,由周期得到，再将特殊点代入解析式可求，即可得到函数解析式；（2）由图像变换得到函数g(x)解析式，然后利用正弦函数图像的性质可得函数g(x)在R上的单调增区间，对k取值即可得当时的单调递增区间.

【详解】

（1）由图可知，.

由图知，当时，有f()=0,则

即，..

.

（2）由题意，知.

由  ，.

解得，，.

，

当时，；当时，.

当时，函数的单调递增区间为，.

【点睛】

本题考查的部分图像求函数的解析式，考查正弦函数图像的单调性和函数的图像变换，属于基础题.

21．已知点，，，其中，.

（1）若，求的值；

（2）若函数的最小值为，求的表达式.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】(1)由向量的模的公式和同角三角函数关系式化简即可得到x值；（2）由向量的数量积坐标公式得到函数f(x)，通过换元，将三角函数式转为求二次函数在区间上的最小值问题.

【详解】

（1），

.

，

（2）.

令，

则 .

（1）当时，.

.

（2）当时，

（i），即或时，对称轴.

.

（ii）.

①当，即时，

 .

②当，即或时，

.

综上所述，.

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的计算，考查化归转化思想，属于中档题.

22．已知定义在上的偶函数和奇函数，且.

（1）求函数，的解析式；

（2）设函数，记 .探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】(1)已知，结合函数的奇偶性可得，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知为奇函数，图象关于对称，则的图象关于点中心对称，利用对称性可得，然后利用恒成立问题解即可.

【详解】

（1），

函数为偶函数，为奇函数，

 ，

，.

（2）易知为奇函数，其函数图象关于中心对称，

函数的图象关于点中心对称，

即对任意的，成立.

 ，

 .

两式相加，得

.

即.

.

，即.

.

，

恒成立.

令，.

则在上单调递增.

在上单调递增.

.

又已知，.

【点睛】

本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数的对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题.