高等数学笔记

§1.1  函数

一、主要内容

㈠ 函数的概念

 1. 函数的定义:   y=f(x),   x∈D

定义域: D(f),     值域: Z(f).

2.分段函数: 

3.隐函数:   F(x,y)= 0

4.反函数:   y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)

            y=f-1 (x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y

     是严格单调增加(或减少)的；

     则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。    

㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D

  当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加(  )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少(  )；

    若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加(  )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D内严格单调减少(  )。

 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称

   偶函数：f(-x)=f(x)

   奇函数：f(-x)=-f(x)

 3.函数的周期性：

   周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞)

   周期：T——最小的正数

 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)

㈢ 基本初等函数

1.常数函数： y=c ，  (c为常数)

2.幂函数：   y=xn ,   (n为实数)

3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1)

4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1)

5.三角函数： y=sin x , y=con x 

y=tan x , y=cot x 

y=sec x , y=csc x 

6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x

              y=arctan x, y=arccot x

㈣ 复合函数和初等函数

1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)

y=f[φ(x)] ,  x∈X

2.初等函数:

  由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数

§1.2 极 限

一、主要内容

㈠极限的概念

1.数列的极限:称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.

定理: 若的极限存在必定有界.

2.函数的极限：

 ⑴当时，的极限： 

⑵当时，的极限： 

  左极限： 右极限： 

⑶函数极限存的充要条件：

定理： 

㈡无穷大量和无穷小量

1．无穷大量： 

  称在该变化过程中为无穷大量。

  X再某个变化过程是指：

2．无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量。

3．无穷大量与无穷小量的关系：

 定理： 

4．无穷小量的比较： 

 ⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；

 ⑵若（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；

 ⑶若，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；

 ⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量

定理：若：则： 

㈢两面夹定理

1．数列极限存在的判定准则：

 设： （n=1、2、3…）

 且：    则： 

2．函数极限存在的判定准则：

 设：对于点x0的某个邻域内的一切点

   （点x0除外）有：

且： 则： 

㈣极限的运算规则

  若： 

  则：①

②

③ 

 推论：①

②③

㈤两个重要极限

 1． 或 

 2． 

§1.3 连续

一、主要内容

㈠ 函数的连续性

1.函数在处连续：在的邻域内有定义，

 o o

 左连续：  右连续： 

2.函数在处连续的必要条件：

 定理：在处连续在处极限存在

3.函数在处连续的充要条件：

 定理： 

4.函数在上连续：

 在上每一点都连续。

 在端点和连续是指：

   左端点右连续；

  右端点左连续。

 +   0    b-

5.函数的间断点：

若在处不连续，则为的间断点。

间断点有三种情况：

 1o在处无定义； 2o不存在；

3o在处有定义，且存在，

 但。

  两类间断点的判断：

  1o第一类间断点：

特点：和都存在。

可去间断点：存在，但

，或在处无定义。

  2o第二类间断点：

特点：和至少有一个为∞，

 或振荡不存在。

无穷间断点：和至少有一个为∞

㈡函数在处连续的性质

1.连续函数的四则运算：

  设， 

  1o 

  2o 

  3o  

2.复合函数的连续性：

 则： 

3.反函数的连续性：

㈢函数在上连续的性质

 1.最大值与最小值定理：

在上连续在上一定存在最大值与最小值。

   y                                                  y

                              f(x)                                             f(x) 

   0  a                              b      x

  -M

                                                        0     a                          b          x

2.有界定理：

 在上连续在上一定有界。

 3.介值定理：

  在上连续在内至少存在一点

 ，使得：，  

其中： 

   y                                                    y          

   M     

   C                                                                    f(x)

                                                        0    a        ξ              b           x

   0    a    ξ1 ξ2    b       x

 推论：

   在上连续，且与异号

    在内至少存在一点，使得：。

 4.初等函数的连续性：

 初等函数在其定域区间内都是连续的。

第二章 一元函数微分学

 §2.1 导数与微分

一、主要内容

㈠导数的概念

 1．导数：在的某个邻域内有定义，

 2．左导数：      右导数： 

  定理：在的左（或右）邻域上连续在

其内可导，且极限存在；

 则： 

 （或：）

3.函数可导的必要条件：

  定理：在处可导在处连续

 4. 函数可导的充要条件：

  定理：存在，

 且存在。

 5.导函数：  

在内处处可导。 y   

 6.导数的几何性质： 

  是曲线上点 

处切线的斜率。 0 

㈡求导法则

 1.基本求导公式：

 2.导数的四则运算： 

  1o 

  2o 

  3o  

 3.复合函数的导数：

 ，或

☆注意与的区别：

  表示复合函数对自变量求导；

  表示复合函数对中间变量求导。

4.高阶导数： 

  函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。

㈢微分的概念

 1.微分：在的某个邻域内有定义，

 其中：与无关，是比较高

 阶的无穷小量，即： 

 则称在处可微，记作：

 2.导数与微分的等价关系：

 定理： 在处可微在处可导，

且： 

 3.微分形式不变性：

 不论u是自变量，还是中间变量，函数的

微分都具有相同的形式。

§2.2 中值定理及导数的应用

一、主要内容

㈠中值定理

 1.罗尔定理:满足条件:

         y              

     a  o     ξ            b    x           a      o    ξ          b    x

 2.拉格朗日定理：满足条件:

㈡罗必塔法则：（型未定式）

定理：和满足条件：

1o；

2o在点a的某个邻域内可导，且；

3o

 则： 

☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。

        2o若不满足法则的条件，不能使用法则。

          即不是型或型时，不可求导。

        3o应用法则时，要分别对分子、分母

          求导，而不是对整个分式求导。

        4o若和还满足法则的条件，

          可以继续使用法则，即：

        5o若函数是型可采用代数变

        形，化成或型；若是型可

        采用对数或指数变形，化成或型。

㈢导数的应用

1．切线方程和法线方程：

设： 

切线方程： 

法线方程： 

2．曲线的单调性：

⑴

⑵

 3.函数的极值：

⑴极值的定义：

设在内有定义，是内的一点；

若对于的某个邻域内的任意点，都有：

则称是的一个极大值（或极小值），

称为的极大值点（或极小值点）。

  ⑵极值存在的必要条件：

定理： 

称为的驻点

 ⑶极值存在的充分条件：

 定理一：

当渐增通过时，由（+）变（-）；

则为极大值；

 当渐增通过时，由（-）变（+）；则为极小值。

定理二： 

 若，则为极大值；

 若，则为极小值。

☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。

 4．曲线的凹向及拐点：

⑴若；则在内是上凹的（或凹的），（∪）；

⑵若；则在内是下凹的（或凸的），（∩）；

⑶

 5。曲线的渐近线：

 ⑴水平渐近线：

 ⑵铅直渐近线：

第三章 一元函数积分学

 §3.1  不定积分

一、主要内容

㈠重要的概念及性质：

1．原函数：设： 

 若： 

 则称是的一个原函数，

 并称是的所有原函数,

 其中C是任意常数。

2．不定积分：

 函数的所有原函数的全体，

  称为函数的不定积分；记作：

  其中：称为被积函数；

 称为被积表达式；

  称为积分变量。

 3. 不定积分的性质：

  ⑴ 

 或： 

  ⑵ 

 或： 

  ⑶ 

 分项积分法

  ⑷   (k为非零常数)

 4.基本积分公式：

㈡换元积分法：

 ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）

  常用的凑微元函数有：

 1o  

 2o 

 3o 

 4o 

 5o 

 6o 

 2.第二换元法：

  第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，

  其作用是将根式有理化。

  一般有以下几种代换：

 1o 

 当被积函数中有时)

 2o 

 当被积函数中有时)

 3o 

 当被积函数中有时)

 4o 

 当被积函数中有时)

㈢分部积分法：

 1. 分部积分公式：

 2.分部积分法主要针对的类型：

 ⑴

 ⑵

 ⑶

 ⑷

 ⑸

 其中： （多项式）

 3.选u规律：

 ⑴在三角函数乘多项式中，令，

 其余记作dv;简称“三多选多”。

 ⑵在指数函数乘多项式中，令，

 其余记作dv;简称“指多选多”。

 ⑶在多项式乘对数函数中，令，

 其余记作dv;简称“多对选对”。

 ⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数

 为u，其余记作dv;简称“多反选反”。

 ⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数

 为u，其余记作dv;简称“指三任选”。

㈣简单有理函数积分：

 1. 有理函数： 

 其中是多项式。

 2. 简单有理函数：

 ⑴

 ⑵

 ⑶

§3.2定积分

一．主要内容

（一）.重要概念与性质

1.定积分的定义： 1 x2 xi-1 ξi xi  xn-1 b x

定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。

定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x),

直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。

x轴上方的面积取正号，

x 轴下方的面积取负号。         +       +     

                                         a 0       -  b   x

2.定积分存在定理：  

若：f(x)满足下列条件之一:

若积分存在，则积分值与以下因素无关：

3.牛顿——莱布尼兹公式：

*牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。

4.原函数存在定理：

5.定积分的性质：

 y                      y                y

       f(x)                                       g(x)

                        1       

  0  a     c     b  x    0   a      b  x  0  a         b  x

  M       f(x)                        f(x) 

  m

  0    a            b    x     0     a  ξ        b    x

（二）定积分的计算：

1.换元积分

2.分部积分

3.广义积分

4.定积分的导数公式

  (三)定积分的应用

1.平面图形的面积:

  与x轴所围成的图形的面积

1.求出曲线的交点，画出草图； 

2.确定积分变量，由交点确定积分上下限；

3.应用公式写出积分式，并进行计算。

2.旋转体的体积

及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积：

                            0      a             b       x

及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积：

第四章 多元函数微积分初步

§4.1  偏导数与全微分

一.主要内容：

1.多元函数的概念

3.二元函数的定义：

4.二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）

2.二元函数的极限和连续：

1.极限定义：设z=f(x,y)满足条件：

2.连续定义：设z=f(x,y)满足条件：

㈢.偏导数：

㈣.全微分：

1.定义：z=f(x,y)

 在点(x,y)处的全微分。

3.全微分与偏导数的关系

㈤.复全函数的偏导数：

1. 

2. 

㈥.隐含数的偏导数：

1. 

2. 

㈦.二阶偏导数：

㈧.二元函数的无条件极值

1.二元函数极值定义：

☆极大值和极小值统称为极值，

极大值点和极小值点统称为极值点。 

2.极值的必要条件：

两个一阶偏导数存在，则：

★

 而非充分条件。

例： 

  ∴驻点不一定是极值点。

5.极值的充分条件：

求二元极值的方法：

  极值点。

二倍角公式：(含万能公式)