2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小高组)

一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）

1．（10分）两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（　　）种可能的取值．

A．16    B．17    C．18    D．19

2．（10分）小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（　　）分钟．

A．6    B．8    C．10    D．12

3．（10分）将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（　　）平方厘米．

A．14    B．16    C．18    D．20

4．（10分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（　　）

A．2986    B．2858    C．2672    D．2754

5．（10分）在序列 20170…中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（　　）

A．8615    B．2016    C．4023    D．2017

6．（10分）从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（　　）种填法使得方框中话是正确的．

二、填空题（每小题10分，共40分）

7．（10分） 若[﹣]×÷+2.25=4，那么 A 的值是　   　．

8．（10分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有　   　种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．

9．（10分）如图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，则ABCD的面积是　   　平方厘米．

10．（10分）若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是　   　．

2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）

参与试题解析

一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）

1．（10分）两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（　　）种可能的取值．

A．16    B．17    C．18    D．19

【分析】两个小数的整数部分分别是7和10，那么这两个小数的积的整数部分最小是7×10=70；这两个小数的积的整数部分最大不超过8×11=88，所以，这两个小数的积的整数部分在70与88之间，包括70，单不包括88，共有18种可能，据此解答．

【解答】解：根据题意与分析：

这两个小数的积的整数部分最小是7×10=70；

这两个小数的积的整数部分最大不超过8×11=88；

所以，这两个小数的积的整数部分在70与88之间，包括70，但不包括88，

共有：88﹣70=18种可能；

答：这两个有限小数的积的整数部分有18种可能的取值．

故选：C．

【点评】本题关键是求出这两个小数的积的整数部分的取值范围，然后再进一步解答．

2．（10分）小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（　　）分钟．

A．6    B．8    C．10    D．12

【分析】总共用时是40，去掉换乘6分钟．40﹣6=34分钟．地铁是30分钟，客车是50分钟，实际是34分钟，根据时间差，比例份数法即可．

【解答】解：乘车时间是40﹣6=34分，

假设全是地铁是30分钟，时间差是34﹣30=4分钟，

需要调整到公交推迟4分钟，

地铁和公交的时间比是3：5，

设地铁时间是3份，公交是5份时间，

4÷（5﹣3）=2，

公交时间为5×2=10分钟．

故选：C．

【点评】工程问题结合比例关系是常见的典型问题，份数法是奥数中常见的思想，很多题型都可以用．求出单位份数量即可解决问题．

3．（10分）将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（　　）平方厘米．

A．14    B．16    C．18    D．20

【分析】设把中间最小的空白长方形的面积看作单位1=ab，那么与它相邻的阴影部分的面积就是2a×2b﹣ab=3ab=3，同理，相邻的空白部分的面积就是5ab=5，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是1+5+9=15，而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是10÷15=（平方厘米）；同理，那么阴影部分面积总和是：3+7+11=21，然后进一步解答即可．

【解答】解：设把中间最小的空白长方形的面积看作单位1=ab，

那么与它相邻的阴影部分的面积就是2a×2b﹣ab=3ab=3，

同理，相邻的空白部分的面积就是5ab=5，

依此规律，面积依次下去为7，9，11，

则空白部分的面积总和是1+5+9=15，

而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是10÷15=（平方厘米）；

那么阴影部分面积总和是：3+7+11=21，

则实际面积是：21×=14（平方厘米）；

答：阴影部分面积总和是14平方厘米．

故选：A．

【点评】本题考查了矩形的性质，关键是通过方程思想，确定一个标准，然后把要求的量统一到这个标准下再解答．

4．（10分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（　　）

A．2986    B．2858    C．2672    D．2754

【分析】根据特殊情况入手，结果中的数字2如果有进位那么0上边只能是9，根据910多除以7得130多，7前面只能是1，与数字0矛盾，那么就是没有进位．根据已知数字进行分析没有矛盾的就是符合题意的．

【解答】解：首先根据结果中的首位数字是2，如果有进位那么0上边只能是9，根据910多除以7得130多，7前面只能是1，与数字0矛盾那么乘数中的三位数的首位只能是1或者2，因为乘数中有7而且结果是三位数，那么乘数中三位数首位只能是1．

那么已知数字7前面只能是2，根据已知数字0再推出乘数三位数中的十位数字是0．

再根据乘数中的数字7与三位数相乘有1的进位，尾数只能是2．

所以是102×27=2754．

故选：D．

【点评】根据特殊情况来分析，竖式的问题多用于排除法，有多种情况的枚举出来根据已知数字进行推理，同时不要忘记有进位的情况，问题解决．

5．（10分）在序列 20170…中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（　　）

A．8615    B．2016    C．4023    D．2017

【分析】分析结果中的奇数偶数的性质，如果四个数字中出现一个奇数，那么下一个数字的结果一定是奇数，则2个奇数加两个偶数结果就是偶数．分析枚举找到规律即可．

【解答】解：枚举法

0170的数字和是8下一个数字就是8．

1708的数字和是16下一个数字就是6．

7086的数字和是21下一个数字就是1．

0861的数字和是15下一个数字是5．

8615的数字和是20下一个数字是0．

6150的数字和为12下一个数字就是2．

20170861502…

规律总结：查看数字中奇数的个数，奇数一出现就是2个．

故选：B

【点评】本题的考点也是数字问题中的奇数偶数连接的问题，数字中有一个奇数那么数字和一定是奇数，所以数字和一定是两个奇数连在一起的，B选项中只有1个奇数两边都是偶数不符合题意．C选项中奇数在后可以再接一个奇数．问题解决．

6．（10分）从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（　　）种填法使得方框中话是正确的．

【分析】首先考虑共4个空的数字不相同而且还有1，2，3，4一共是8个数字，如果有0和1，那么至少大于1的数字还有5个，大于4的数字最多是4个，最少是1个，根据这些条件进行枚举筛选．

【解答】解：依题意可知：

设有a个数是大于1的，有b个数是大于2的，有c个数是大于3的，有d个数是大于4的．

因为1，2，3，4各有一个，还有4个空，那么有a＞b＞c＞d．且a≥5，1≤d≤4

①若d=4，那么在这8个数字中需要有4个数字大于4，目前只有a，b，c是大于4的不满足条件．

②若d=3时，那么在这8个数中需要有3个数是大于4的，a，b，c都是大于4的满足条件．则大于3的数字共个4．与c＞4矛盾                                                                         

③若d=2时，则a，b大于4，c不大于4，c则是取3或者4，分析a，b，c，d依次是7，5，3，2或者7，5，4，2

④若d=1时，则a是大于4的，b，c是不大于4的，由3，4，a都是大于2的，所以b≥3，则大于2的数共4个，所以b=4，此时大于3的数有a，b，4此时c≥3，那么大于2的数字共5个，矛盾

故选：B

【点评】本题的突破口首先是a，d的范围，缩小了枚举的范围，根据题意枚举出来进行筛选，找出矛盾的即可排除，问题解决．

二、填空题（每小题10分，共40分）

7．（10分） 若[﹣]×÷+2.25=4，那么 A 的值是　4　．

【分析】先把繁分数化简，求出关于未知数A的方程，然后根据等式的性质解方程即可．

【解答】解：[﹣]×÷+2.25=4

[﹣]×÷+2.25=4

[﹣]×÷=

[﹣]×=

                                    ﹣=×

                                     ﹣=

                                          =+

                                           =

                                                24=6A

                                                    A=4

故答案为：4．

【点评】本题考查了繁分数的化简和解方程的综合应用，注意计算要准确，否则容易出错．

8．（10分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有　10　种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．

【分析】根据“每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数”可以看出这5个和比原来1、2、3、4、5要大些；五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；然后结合最小和最大的自然数即可确定每个顶点处有几种选值，再确定共有几种情况．

【解答】解：五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，

原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，

新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，

平均每个多15÷5=3，

则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；

观察这新的5个连续自然数，最小的自然数4只能是4=1+3，最大的自然数8只能是5+3，并且2与1，4与5不能组合，这样就有如下组合：

因为每个顶点有2种不同的选值，所以共有2×5=10种；

答：共有 10种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．

故答案为：10．

【点评】此题重点考查学生的数字分析与组合能力，关键是确定一个顶点有几种选值．

9．（10分）如图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，则ABCD的面积是　180　平方厘米．

【分析】如图，连接EG，，根据三角形的面积和底的正比关系，判断出S△BDE、S△DEF、S△BGH与S四边形ABCD的关系，推出S四边形EHGF与S四边形ABCD的关系，再根据四边形EHGF的面积是15平方厘米，求出ABCD的面积是多少即可．

【解答】解：如图，连接EG，，

因为E为CD的中点，

所以DE=CD，

所以S△BDE=S△ADE=S四边形ABCD；

因为AC和BD的交点为G，

所以G为AC的中点，

因为E为CD的中点，

所以EG∥AD，且=，

所以==，

所以S△DEF=S△ADE=S四边形ABCD；

因为EG∥AD，且AD∥BC，

所以EG∥BC，=，

所以==，

所以S△BGH=S△BCG=S四边形ABCD；

所以S四边形EHGF=S△BDE﹣S△DEF﹣S△BGH=S四边形ABCD，

所以S四边形ABCD=S四边形EHGF×12=15×12=180（平方厘米）

答：ABCD的面积是180平方厘米．

故答案为：180．

【点评】此题主要考查了三角形的面积和底的正比关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出S△BDE、S△DEF、S△BGH与S四边形ABCD的关系．

10．（10分）若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是　35　．

【分析】根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除，不难得出，三个数的最大公因数是76，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0）；然后分别用725除以d的可能值，求出d﹣r的值，选取d﹣r的最大值即可．

【解答】解：根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，

则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除，

988=2×2×19×13

1292=2×2×19×17

304=2×2×2×2×19

所以三个数的最大公因数是：2×2×19=76，

d为76的因数，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0），

当d=76时，此时：725÷76=9…41，即r=41，即此时d﹣r=76﹣41=35；

当d=38时，此时：725÷38=19…3，即r=3，即此时d﹣r=38﹣3=35；

当d=19时，此时：725÷19=38…3，即r=3，即此时d﹣r=19﹣3=16；

当d=4时，此时：725÷4=182…1，即r=1，即此时d﹣r=4﹣1=3；

当d=2时，此时：725÷2=362…1，即r=1，即此时d﹣r=2﹣1=1；

当d=1时，此时：725÷1=725，即r=0，即此时d﹣r=1﹣0=1；

则，d﹣r的最大值是35．

故答案为：35．

【点评】本题考查了同余定理的灵活应用，关键是求出除数d的取值范围．