圆锥曲线(二)经典复习

椭圆

知识要点

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。

椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或1

22

22=+b

x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。

注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222

b a

c =-；

②在22221x y a b +=和22

221y x a b

+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的

位置，只要看2

x 和2y 的分母的大小。例如椭圆

221x y m n

+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程22

221x y a b

+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，

y b =±所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对

称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，

a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，

2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c

e a

=叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴01e <<，

且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，

两焦点重合，图形变为圆，方程为2

2

2

x y a +=

典例分析

1．与椭圆22

14924y x +=有公共焦点，且离心率54

e =的双曲线的方程是

(A)221916x y -= (B)22

1169

x y -=

(C)221916y x -= (D)22

1169

y x -=

2．已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22

143

x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △ 的重心G 的轨迹方程为（ ）

A ．

22

1(0)3627x y y +=≠ B ．2

241(0)9x y y +=≠ C ．2

2931(0)4

x y y +=≠ D ．2

2

41(0)3

y x y +=≠ 3．已知点P 是椭圆)0,0(18

162

2≠≠=+y x y x 上的动点，12,F F 为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是（ ）

A ．(0,3)

B ．(0,22)

C ．(22,3)

D ．(0,4)

4．将曲线C 按伸缩变换公式⎪⎩⎪⎨⎧==y

y x

x 32''变换得曲线方程为12'2'=+y x ，则曲线C 的方程

为________

5．椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。

若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________

基础强化

6． 设，，

（其中）的离心率分别为，则（ ）． A 、

B 、

C 、

D 、大小不确定

7．在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若

2212||||b MF MF =⋅，则椭圆离心率的范围是（ ）

321e e e 与3

21e e e =321e e e <321e e e >321,,e e e 0>>n m x n m y )(22+=12222=-n y m x 122

2

2

=+

n

y m x

A ．]22,

0( B ．)1,22[ C ．)1,2

3[ D ．)1,2[

8．设21,F F 是椭圆

116

252

2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的动点（不能重合于长轴的两端点），I 是21F PF ∆的内心，直线PI 交x 轴于点D ，则

=ID

PI

9．已知是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上的一点，且

.若的面积为9，则

.

能力提高

10．如图，已知F 1、F 2是椭圆（

）的左、右焦点，点P 在椭圆C

上，线段PF 2与圆相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心

率为________．

11．如图，椭圆E ：

的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=0.5.

过F1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF2的周长为8

（Ⅰ）求椭圆E 的方程。

（Ⅱ）设动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x=4相较于点Q 。试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由

12．如图，21F F 分别是椭圆C ：22a x +22

b

y =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆

12F 、F 22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>C 12PF PF ⊥12PF F ∆b =

C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°.

（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求,a b 的值.

13．已知为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于(2,1). （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过左焦点的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程.

14．已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为

，离心率e=

．

(Ⅰ) 求椭圆E 的方程；

(Ⅱ) 过点（1,0）作直线交E 于P 、Q 两点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

15．已知椭圆的两焦点是F 1(0，-1)，F 2(0,1)，离心率e=2

1

(1)求椭圆方程；

(2)若P 在椭圆上，且|PF 1|-|PF 2|=1，求cos ∠F 1PF 2。

真题演练

12,F F 22

22:1x y C a b

+=()0a b >>2

F x 2MF M C 1F l C A B 0⋅=OA OB l 21-2

2

l MP MQ ⋅

16．已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A 、B.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的值（O 点为坐标原点）

；

（3）若坐标原点O 到直线的距离为，求面积的最大值.

17．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的离

18．心率2

2

e =，点F 为椭圆的右焦点，点A 、

19．B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭圆的 20．上顶点，且满足2 1.MF FB ⋅=-

（1）求椭圆C 的方程；

（2）是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为PQM ∆的垂心（三角形三条高的交点）？若存在，求出直线l 方程；若不存在，请说明理由。

18．如图，椭圆22

221x y a b

+= (a>b>0)的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：

y=－1上，且椭圆的离心率e =

32

． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点， PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点， 直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的 中点，求证：OM ⊥MN

AOB ∆23

l k OB OA m 求且,0,1=⋅=m kx y l +=:3236)0(1222

2>>=+b a b y a x