高中数学(人教A版)选修2-2第一章导数及其应用测试题(含详解)

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒/f ′(x )>0.

答案 A

2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( )

A ．f ′(x 0)>0

B ．f ′(x 0)<0

C ．f ′(x 0)＝0

D ．f ′(x 0)不存在

解析 曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0.

答案 B

3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－5

3)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°

D ．150°

解析 y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1，

∴α＝45°. 答案 B

4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( )

A ．(0，－1)或(1,0)

B ．(1,0)或(－1，－4)

C ．(－1，－4)或(0，－2)

D ．(1,0)或(2,8)

解析 设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，

∴x 20＝1，∴x 0＝1，或x 0＝－1. ∴P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)． 答案 B

5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝x 3－x C ．y ＝x e x

D ．y ＝－x ＋ln(1＋x )

解析 对于C ，有y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)>0. 答案 C

6．已知f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x 等于( )

A ．0

B ．4

C ．8

D ．16

解析 ∵f (x )为偶函数，且(－6,0)与(0,6)关于原点对称， ∴⎠⎛－66f (x )d x ＝⎠⎛－6

6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x

＝2⎠⎛0

6f (x )d x ＝2×8＝16.

答案 D

7．函数f (x )在其定义域内可导，y ＝f (x )的图像如右图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像为(

)

解析 由y ＝f (x )的图像知，有两个极值点，则y ＝f ′(x )的图像与x 轴应有两个交点，又由增减性知，应选D.

答案 D

8．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ，x ∈(－2,2)，则f (x )有( ) A ．极大值5，极小值为－27

C ．极大值5，无极小值

D ．极小值－27，无极大值 解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9 ＝3(x ＋1)(x －3)． 当x <－1时，f ′(x )>0， 当－1且极大值为f (－1)＝5，在(－2,2)内无极小值． 答案 C

9．函数y ＝2x 3＋x 2的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－1

3)∪(0，＋∞) B ．(－1

6，＋∞)

C ．(－∞，－1

3)和(0，＋∞) D ．(－∞，－1

6)

解析 y ′＝6x 2＋2x ＝2x (3x ＋1)， 令y ′>0，得x <－1

3，或x >0. ∴函数y ＝2x 3＋x 2的单调增区间为 (－∞，－1

3)和(0，＋∞)．

答案 C

10．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )

A.23 B ．1 C.43

D.53

解析 如图所示，阴影部分的面积为S 1＝⎠

⎛0－1(x 2－x )d x

＝(13x 3－12x 2)⎪⎪

⎪⎪

－1

＝56.

S 2＝ ⎪⎪⎪⎪ ⎠⎛01(x 2－x )d x

⎪⎪⎪⎪ ＝－(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪⎪

1

＝1

6，

故所求的面积为S ＝S 1＋S 2＝1. 答案 B

11．函数f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋cx 在x ＝1

a 处有极值，则ac ＋2

b 的值为

( )

A ．－3

B ．0

C ．1

D ．3

解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 依题意知，3a ×(1a )2＋2b ×1

a ＋c ＝0， 即3a ＋2b

a ＋c ＝0， ∴2

b ＋a

c ＝－3. 答案 A

12．曲线y ＝e

12

x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的

面积为( )

A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2

D ．e 2

解析 f ′(x )＝1

2e

1

2

x ，∴曲线在点(4，e 2)处的切线的斜率为k ＝

f ′(4)＝12e 2，切线方程为y －e 2

＝12e 2(x －4)．切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (2,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴所围成的三角形OAB 的面积为S ＝1

2×2×e 2＝e 2.

答案 D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．函数f (x )在R 上可导，且f ′(0)＝2.∀x ，y ∈R ，若函数f (x

＋y )＝f (x )f (y )成立，则f (0)＝________.

解析 令y ＝0，则有f (x )＝f (x )f (0)

∵f ′(0)＝2，∴f (x )不恒为0，∴f (0)＝1.

答案 1

14．积分⎠⎛2

53x 2d x ＝________. 解析 ⎠⎛253x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪ 52＝53－23＝117.

答案 117

15．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2＋2x ＋5，则f ′(2)＝________.

解析 ∵f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋2，

∴f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2.

∴f ′(1)＝1.

∴f ′(x )＝x 2－2x ＋2.

∴f ′(2)＝22－2×2＋2＝2.

答案 2

16．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4s 内经过的路程是________．

解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d x ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪⎪ 84

＝4.9×＋6.5×8－4.9×16－6.5×4

＝313.6＋52－78.4－26

＝261.2.

答案 261.2米

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有

极大值283.

(1)求实数m 的值；

(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．

解 f ′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．

令f ′(x)＝0，得x ＝－2，或x ＝2.

故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)

减区间为(－2,2)．

(1)当x ＝－2，f(x)取得极大值，

故f(－2)＝－83＋8＋m ＝283，

∴m ＝4.

(2)由(1)得f(x)＝13x 3－4x ＋4，

又当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.

18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．

解 设容器底面宽为xm ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x)m . 由⎩⎨⎧ 3.2－2x>0，x>0，解得0设容器的容积为ym 3，则有

y ＝x(x ＋0.5)(3.2－2x)＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，

y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，

令y ′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，

解得x ＝1，或x ＝－415(舍去)．

∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x ＝1使y ′＝0，且x ＝1是极大值点，

∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8.

此时容器的高为3.2－2＝1.2m.

因此，容器高为1.2m 时容器的容积最大，最大容积为1.8m 3.

19．(12分)设函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax(a ∈R )．

(1)当a ＝1时，求证：f (x )为R 上的单调递增函数；

(2)当x ∈[1,3]时，若f (x )的最小值为4，求实数a 的值．

解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6＝6(x －1)2≥0，

∴f (x )为R 上的单调增函数．

(2)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a

＝6(x －1)(x －a )

①当a ≤1时，f (x )在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f (1)＝3a －1，

∴3a －1＝4，∴a ＝53>1(舍去)；

②当1③当a ≥3时，f (x )在区间(1，a )上是减函数，故f (3)为最小值， ∴54－27(a ＋1)＋18a ＝4，

解得a ＝229<3(舍去)．

综上可知，a ＝2.

20．(2010·北京)(12分)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方

程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4.

(1)当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式；

(2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．

解 由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得

f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根分别为1,4，

∴⎩⎨⎧ a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)

(1)当a ＝3时，由(*)得⎩⎨⎧ 2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，

解得b ＝－3，c ＝12.

又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0.

故f (x )＝x 3－3x 2＋12x . (2)由于a >0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无

极值点”，等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．

由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .

又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)，

解⎩⎨⎧ a >0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0，

得a ∈[1,9]，

即a 的取值范围是[1,9]． 21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图像经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．

(1)求实数a ，b 的值；

(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图像经过点M (1,4)，

∴a ＋b ＝4.①

又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则

f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)(－19)＝－1，

得3a ＋2b ＝9②

由①、②解得a ＝1，b ＝3.

(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ，

令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0，或x ≤－2，

若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，

∴m ≥0，或m ＋1≤－2，即m ≥0，或m ≤－3，

∴m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．

22．(2010·全国Ⅰ)(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.

(1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围；

(2)证明：(x －1)f (x )≥0.

解 (1)f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x ，

xf ′(x )＝x ln x ＋1，

题设xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a .

令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1.

当00；

当x ≥1时，g ′(x )≤0，

x ＝1是g (x )的最大值点， g (x )≤g (1)＝－1.

综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1， 即g (x )＋1≤0，即ln x －x ＋1≤0， 当0f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1

＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0； 当x ≥1时，

f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)

＝ln x ＋x (ln x ＋1x －1)

＝ln x －x (ln 1x －1x ＋1)≥0.

所以(x －1)f (x )≥0.