线性代数练习册练习题--第3章 线性方程组与向量

一、填空题

1. 设向量T T T 123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)===ααα， 则12332+−=ααα .

2. 已知T T T 123(,1,1),(1,,1),(1,1,)a a a ==−=−ααα线性相关，则a = .

3. 已知T T T 123(1,0,0),(2,5,2),(1,5,)a ===ααα线性相关，则a = .

4. 已知向量T (3,3,1)β=−不能由向量组T T 12(1,1,2),(8,12,0),

αα=−=T 3(2,3,1)a α=+线性表示，则a = .

5. 设向量T T T 12(4,7),(1,2),(2,3)===βαα，则 β用12,αα线性表示的表达式为 .

6. 设向量组T T T 123(1,,1,2),(0,1,1,3),(1,1,0,1)t ααα===−的秩为2， 则t = .

7.设向量组T T T 123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6)ααα===，则该向量组线性 .

8.设矩阵101000101000000A −⎛⎫

⎪=− ⎪

⎪⎝⎭

，则矩阵A 的秩为 ；线性方程组0Ax =的基础解系中解向量的个数为 .

9. 齐次线性方程组1231232

30,

20,30.

x kx x x x x kx x ++=⎧⎪

++=⎨⎪+=⎩ 只有零解，则k 应满足的条件

是 .

10. 当k = 时，向量T (1,,5)k β=能由向量组

T T 12(1,3,2),(2,1,1),αα=−=−线性表示.

11. 在齐次线性方程组m n ⨯=0A x 中，若()R A k =，且,,r ηηη12是它的一个基础解系，则r = ，当k = 时，此方程组只有零解.

12. 已知T T 12(3,2,0),(1,2,4)ηη=−−−是方程组1122334123123

,21,2 4.a x a x a x a x x x x x x ++=⎧⎪

+−=⎨⎪++=−⎩的两个解，则

该方程组的通解为 .

13.设α为3维列向量，若T

111111111−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭

αα，则T =αα .

14.设12243311t −⎛⎫

⎪= ⎪

⎪−⎝⎭

A ，

B 为三阶非零矩阵，且=AB O ,则t = . 15. 已知12,,,t ααα是方程组=Ax b 的解，如果1122t t c c c ααα+++仍是=Ax b

的解，则12t c c c +++= .

二、选择题

1. 若向量组12,,,s ααα线性相关，且1122s s k k k ααα+++=0，则下列结论成立

的是（ ）. （A ）12,,,s k k k 必全为0 （B ）12,,

,s k k k 必全不为0

（C ）12,,

,s k k k 必不全为0 （D ）上述三种结果都可能出现

2. 若n 阶方阵A 的()R A r n =<，则在A 的n 个行向量中结论成立的是（ ）. （A ）必有r 个行向量线性无关 （B ）任意r 个行向量均可构成极大无关组 （C ）任意r 个行向量均线性无关

（D ）任意一个行向量均可由其他r 个行向量线性表示

3. 设向量组12,,,s ααα的秩为1r ，向量组12,,,s βββ的秩为2r ，且向量组

12,,,s ααα可由向量组12,,,s βββ线性表示，则（ ）. （A ）12r r ≥ （B ）12r r = （C ）12r r ≤ （D ）12r r <

4. 设n 元线性方程组0Ax =且()1R A n =−，则该方程组的解由（ ）个向量构成.

（A ）无穷多 （B ）1 （C ） n k − （D ）不确定 5. n 阶方阵A 的行列式0A =，则A 的列向量（ ）.

（A ）线性相关 （B ）线性无关 （C ）()0R A = （D ）()0R A ≠ 6. 设n 阶方阵A B 、乘积的行列式5AB =，则A 的列向量（ ）. （A ）方阵A 的列向量线性相关 （B ）方阵A 的列向量线性无关 （C ）()5R A = （D ）()R A n <

7. 设n 元线性方程组Ax b =且(,)1R A b n =+，则该方程组（ ）. （A ）有唯一解 （B ）有无穷多解 （C ） 无解 （D ）不确定

8. 设有线性方程组(1)=Ax b 和对应的齐次线性方程组(2)=0Ax 则必有( ).

(A) 若(1)有无穷多解则(2)仅有零解 (B) 若(1)仅有唯一解则(2)仅有零解 (C) 若(2)有非零解则(1)有无穷多解 (D) 若(2)仅有零解则(1)有唯一解 9. n 维向量12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是（ ）.

（A ）12,,,s ααα中有一个零向量

（B ）12,,,s ααα中任意两个向量的分量成比例 （C ）12,,,s ααα中有一个向量是其余向量的线性组合 （D ）12,,

,s ααα中任意一个向量是其余向量的线性组合

10. 设非线性方程组=Ax b ，12、ηη是其两个任意解，则下列结论错误的是（ ）.

（A ）+12ηη 是=0Ax 的一个解 （B ）1211

+22ηη是=Ax b 的一个解

（C ）−12ηη 是=0Ax 的一个解 （D ）122−ηη是=Ax b 的一个解

三、判断题

1. 若n 阶方阵A 的()R A r n =<，则A 的n 个行向量线性无关. （ ）

2. 向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是它们所含的向量个数相同.（ ）

3. 设A 为45⨯矩阵，且A 的行向量组线性无关，则方程组=Ax b 有无穷多解.

（ ）

4. 设向量组12,,,n ααα的秩为()r r n <，则12,,,n ααα中由1n +个向量组成的部分组线性相关. （ ）

5. 方阵A 可逆的充分必要条件是齐次线性方程组0Ax =只有零解. （ ）

四、计算题

1. 非齐次线性方程组 123123212322,2,

2.x x x x x x x x x λλ⎧−++=−⎪

−+=⎨⎪+−=⎩ 当λ取何值时有解？并求出它的解.

2. 求下列齐次线性方程组的基础解系及通解.

（1）12341234123420,3630,51050.x x x x x x x x x x x x ++−=⎧⎪+−−=⎨⎪++−=⎩ （2）1234123412

340,30,230.

x x x x x x x x x x x x −−+=⎧⎪

−+−=⎨⎪−−+=⎩

3. 求下列非齐次线性方程组的通解.

（1）12341234123421,3234,435 2.x x x x x x x x x x x x +−+=⎧⎪−+−=⎨⎪+−+=−⎩ （2）12341234123454133,3252,

2234 1.

x x x x x x x x x x x x ++−=⎧⎪

−++=⎨⎪++−=⎩

4. 求下列向量组的秩和一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组表示. （1）T T T T 1234(2,1,0,3),(1,3,2,4),(3,0,2,1),(2,2,4,6)αααα=−=−=−=− （2）T T T 123(1,1,2,3),(1,1,1,1),(1,3,3,5)==−=ααα

5. 设T T T 123(1,1,1),(2,3,1),(4,6,2)ααα===，T T 12(8,11,5),(2,2,1),βα==−−− 问：（1）1β及2β能否由12,αα，线性表示？若能表示，则写出表达式.

（2）1β及2β能否由123,ααα，线性表示？若能表示，则写出表达式.

6. 已知向量组T T T 123(1,2,3),(3,0,1),(9,6,7)ααα=−==−与向量组

T T T 123(0,1,1),(,2,1),(,1,0)a b βαα=−==有相同的秩，且3β可由123,ααα，线性表示，求,a b 的值.

7. 设T T T 123(1,1,1),(1,3,5),(1,6,)t ===ααα (1)t 为何值时，123,,ααα线性相关？ (2)t 为何值时，123,,ααα线性无关？

(3)当线性相关时，将3α表示为12,αα的线性组合.

8. 设四元非齐次线性方程组=Ax b ，已知()2R A =，123,ηηη，

是它三个解向量，且T T T 122331(1,2,3,4)(0,1,2,1),(3,0,1,5)ηηηηηη+−+=−−+=−=，求该方程组的通解.

9. 设线性方程组1231231

2330,3231,4.

x x x x x x x x mx k ++=⎧⎪

++=−⎨⎪−++=⎩，问,m k 为何值时，方程组有唯一解？有无

穷多解？在有无穷多解时，求出其通解.

10. 设向量组123,a a a ，

线性无关，判断向量组123,b b b ，的线性相关性. （1）112223312,2353b a a b a a b a a =++=+=，

（2）11232123312323,22433b a a a b a a a b a a a =+++=++=+，

五、应用题

某商店提供四种型号的大衣，分为S 、M 、L 、XL 这四种型号，它们的售价分别为220元、240元、260元和300元。若某周该商店共售出13件大衣，售价总收入为3200元，已知L 号大衣的销售量是S 号和XL 号大衣销售量的总和，L 号大衣的收入是S 号和XL 号大衣收入的总和，问每种型号大衣各售出多少件？