【2021年】广东省广州市越秀区八年级(下)期末数学试卷(Word版 解析)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．下列式子没有意义的是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．下列计算中，正确的是（　　）

A．÷=    B．（4）2=8    C． =2    D．2×2=2

3．刻画一组数据波动大小的统计量是（　　）

A．平均数    B．方差    C．众数    D．中位数

4．在暑假到来之前，某机构向八年级学生推荐了A，B，C三条游学线路，现对全级学生喜欢哪一条游学线路作调查，以决定最终的游学线路，下面的统计量中最值得关注的是（　　）

A．方差    B．平均数    C．中位数    D．众数

5．关于正比例函数y=﹣2x，下列结论中正确的是（　　）

A．函数图象经过点（﹣2，1）    B．y随x的增大而减小

C．函数图象经过第一、三象限    D．不论x取何值，总有y＜0

6．以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4    B．，    C．1，2    D．7，8，9

7．若一个直角三角形的一条直角边长是5cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（　　）cm．

A．10    B．11    C．12    D．13

8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．24    B．26    C．30    D．48

9．在下列命题中，是假命题的是（　　）

A．有一个角是直角的平行四边形是矩形

B．一组邻边相等的矩形是正方形

C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D．有两组邻边相等的四边形是菱形

10．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（12，6），D（2，6），直线y=mx﹣3m+6将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为（　　）

A．    B．﹣1    C．2    D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，满分18分．

11．已知a=+2，b=﹣2，则ab=　   　．

12．一次函数y=kx+b（k≠0）中，x与y的部分对应值如下表：

13．如图是一次函数y=mx+n的图象，则关于x的不等式mx+n＞2的解集是　   　．

14．一组数据：2017、2017、2017、2017、2017，它的方差是　   　．

15．考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端垂直滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”，这个问题的答案是：其下端离开墙角　   　个单位．

16．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，DE∥BC，F，G，H，I分别是DE，BE，BC，CD的中点，连接FG，GH，HI，IF，FH，GI．对于下列结论：①∠GFI=90°；②GH=GI；③GI=（BC﹣DE）；④四边形FGHI是正方形．其中正确的是　   　（请写出所有正确结论的序号）．

三、解答题：本大题共9小题，满分72分．解答须写出文字说明、推理过程和演算步骤．

17．计算：（ +﹣）×．

18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=5，BD=4，CD=．

（1）求AD的长．

（2）求△ABC的周长．

19．如图在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：四边形AECF为平行四边形．

20．下表是某校八年级（1）班43名学生右眼视力的检查结果．

（2）该班学生右眼视力的中位数是　   　．

（3）该班小鸣同学右眼视力是4.5，能不能说小鸣同学的右眼视力处于全班同学的中上水平？试说明理由．

21．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，BC=6，延长BC至点E，使得CE=8，点F是DE的中点，连接CF、OF．

（1）求OF的长．

（2）求CF的长．

22．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过点A（﹣30，0）和点B（0，15），直线y=x+5与直线y=kx+b相交于点P，与y轴交于点C．

（1）求直线y=kx+b的解析式．

（2）求△PBC的面积．

23．2016年下半年开始，不同品牌的共享单车出现在城市的大街小巷．现已知A品牌共享单车计费方式为：初始骑行单价为1元/半小时，不足半小时按半小时计算．内设邀请机制，每邀请一位好友注册认证并充值押金成功，双方骑行单价均降价0.1元/半小时，骑行单价最低可降至0.1元/半小时（比如，某用户邀请了3位好友，则骑行单价为0.7元/半小时）．B品牌共享单车计费方式为：0.5元/半小时，不足半小时按半小时计算．

（1）某用户准备选择A品牌共享单车使用，设该用户邀请好友x名（x为整数，x≥0），该用户的骑行单价为y元/半小时．请写出y关于x的函数解析式．

（2）若有A，B两种品牌的共享单车各一辆供某用户一人选择使用，请你根据该用户已邀请好友的人数，给出经济实惠的选择建议．

24．下面我们做一次折叠活动：

第一步，在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图（1）的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，折痕为MC；

第二步，如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕为FA；

第三步，折出内侧矩形FACB的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处，折痕为AQ．

根据以上的操作过程，完成下列问题：

（1）求CD的长．

（2）请判断四边形ABQD的形状，并说明你的理由．

25．如图，正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP═x，△PBF的面积为S1，△PDE的面积为S2．

（1）求证：BP⊥DE．

（2）求S1﹣S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

（3）分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时，S1﹣S2的值．

2016-2017学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．下列式子没有意义的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】72：二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数进行分析即可．

【解答】解：A、有意义，故此选项不合题意；

B、没有意义，故此选项符合题意；

C、有意义，故此选项不合题意；

D、有意义，故此选项不合题意；

故选：B．

2．下列计算中，正确的是（　　）

A．÷=    B．（4）2=8    C． =2    D．2×2=2

【考点】75：二次根式的乘除法；73：二次根式的性质与化简．

【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式===3，不符合题意；

B、原式=32，不符合题意；

C、原式=|﹣2|=2，符合题意；

D、原式=4，不符合题意；

故选C．

3．刻画一组数据波动大小的统计量是（　　）

A．平均数    B．方差    C．众数    D．中位数

【考点】WA：统计量的选择．

【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．

【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，衡量一组数据波动大小的统计量是方差．

故选B．

4．在暑假到来之前，某机构向八年级学生推荐了A，B，C三条游学线路，现对全级学生喜欢哪一条游学线路作调查，以决定最终的游学线路，下面的统计量中最值得关注的是（　　）

A．方差    B．平均数    C．中位数    D．众数

【考点】WA：统计量的选择．

【分析】全级学生喜欢哪一条游学线路最值得关注的应该是喜欢哪条线路的人数最多，即众数．

【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故全级学生喜欢的游学线路最值得关注的应该是统计调查数据的众数．

故选：D．

5．关于正比例函数y=﹣2x，下列结论中正确的是（　　）

A．函数图象经过点（﹣2，1）    B．y随x的增大而减小

C．函数图象经过第一、三象限    D．不论x取何值，总有y＜0

【考点】F6：正比例函数的性质．

【分析】根据正比例函数图象上的坐标特征，正比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、当x=﹣2时，y=﹣2×（﹣2）=4，即图象经过点（﹣2，4），不经过点（﹣2，1），故本选项错误；

B、由于k=﹣2＜0，所以y随x的增大而减小，故本选项正确；

C、由于k=﹣2＜0，所以图象经过二、四象限，故本选项错误；

D、∵x＞0时，y＜0，

x＜0时，y＞0，

∴不论x为何值，总有y＜0错误，故本选项错误．

故选：B．

6．以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4    B．，    C．1，2    D．7，8，9

【考点】KS：勾股定理的逆定理．

【分析】欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方．

【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形；

B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形；

C、12+（）2=22，故是直角三角形；

D、72+82≠92，故不是直角三角形；

故选C．

7．若一个直角三角形的一条直角边长是5cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（　　）cm．

A．10    B．11    C．12    D．13

【考点】KQ：勾股定理．

【分析】设斜边长为xcm，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

【解答】解：设斜边长为xcm，则另一条直角边为（x﹣1）cm，

由勾股定理得，x2=52+（x﹣1）2，

解得，x=13，

则斜边长为13cm，

故选：D．

8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．24    B．26    C．30    D．48

【考点】L8：菱形的性质．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB，再根据菱形的对角线互相平分求出AC、BD，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，

根据勾股定理，得：OB=，

=，

=4，

∴BD=2OB=8，

∴S菱形ABCD=×AC×BD=×6×8=24．

故选A．

9．在下列命题中，是假命题的是（　　）

A．有一个角是直角的平行四边形是矩形

B．一组邻边相等的矩形是正方形

C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D．有两组邻边相等的四边形是菱形

【考点】O1：命题与定理．

【分析】利用矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；

B、一组邻边相等的矩形是正方形，正确；

C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；

D、有两组邻边相等且平行的四边形是菱形，错误；

故选D．

10．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（12，6），D（2，6），直线y=mx﹣3m+6将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为（　　）

A．    B．﹣1    C．2    D．

【考点】FI：一次函数综合题．

【分析】根据点的坐标先判定出四边形ABCD是平行四边形，再根据过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，求出中心点的坐标，然后代入直线解析式进行计算即可求解．

【解答】解：如图，∵A（0，0），B（10，0），C（12，6），D（2，6），

∴AB=10﹣0=10，CD=12﹣2=10，

又点C、D的纵坐标相同，

∴AB∥CD且AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵12÷2=6，6÷2=3，

∴对角线交点P的坐标是（6，3），

∵直线y=mx﹣3m+6将四边形ABCD分成面积相等的两部分，

∴直线y=mx﹣3m+6经过点P，

∴6m﹣3m+6=3，

解得m=﹣1．

故选B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，满分18分．

11．已知a=+2，b=﹣2，则ab=　1　．

【考点】76：分母有理化．

【分析】将a与b的值代入原式计算即可得到结果．

【解答】解：∵a=+2，b=﹣2，

∴ab=（+2）（﹣2）=5﹣4=1，

故答案为：1

12．一次函数y=kx+b（k≠0）中，x与y的部分对应值如下表：

【考点】FC：一次函数与一元一次方程．

【分析】此题实际上是求当y=0时，所对应的x的值．根据表格求解即可．

【解答】解：根据上表中的数据值，当y=0时，x=1，

即一元一次方程kx+b=0的解是x=1．

故答案是：1．

13．如图是一次函数y=mx+n的图象，则关于x的不等式mx+n＞2的解集是　x＞0　．

【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．

【分析】根据一次函数y=mx+n的图象经过点（0，2）以及函数的增减性，即可求出关于x的不等式mx+n＞2的解集．

【解答】解：由题意，可知一次函数y=mx+n的图象经过点（0，2），且y随x的增大而增大，

所以关于x的不等式mx+n＞2的解集是x＞0．

故答案为x＞0．

14．一组数据：2017、2017、2017、2017、2017，它的方差是　0　．

【考点】W7：方差．

【分析】根据方差的意答．

【解答】解：该组数据一样，没有波动，方差为0，

故答案为0．

15．考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端垂直滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”，这个问题的答案是：其下端离开墙角　18　个单位．

【考点】KU：勾股定理的应用．

【分析】如图，根据题意PC=AC=30，AC=24，再利用勾股定理求出CB的值即可求出其下端离开墙角有多远．

【解答】解：∵PC=AB=30，PA=6，

∴AC=24，

∴BC===18，

∴下端离开墙角18个单位．

故答案为18．

16．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，DE∥BC，F，G，H，I分别是DE，BE，BC，CD的中点，连接FG，GH，HI，IF，FH，GI．对于下列结论：①∠GFI=90°；②GH=GI；③GI=（BC﹣DE）；④四边形FGHI是正方形．其中正确的是　①③　（请写出所有正确结论的序号）．

【考点】LN：中点四边形．

【分析】①正确．延长IF交AB于K，利用两直线平行同位角相等即可解决问题；

②④错误．只要证明四边形FGHI是矩形，即可判断；

③正确．延长EI交BC于N，则△DEI≌△CNI，推出DE=CN，EJ=JN，由EG=GB，EI=IN，推出GI=BHN=（BC﹣DE），故③正确；

【解答】解：延长IF交AB于K，

∵DF=EF，BG=GE，

∴FG=BD，GF∥AB，

同理IF∥AC，HI=BD，HI∥BD，

∴∠BKI=∠A=90°，

∴∠GFI=∠BKI=90°，

∴GF⊥FI，故①正确，

∴FG=HI，FG∥HI，

∴四边形FGHI是平行四边形，

∵∠GFI=90°，

∴四边形FGHI是矩形，故②④错误，

延长EI交BC于N，则△DEI≌△CNI，

∴DE=CN，EJ=JN，

∵EG=GB，EI=IN，

∴GI=BHN=（BC﹣DE），故③正确，

故答案为①③．

三、解答题：本大题共9小题，满分72分．解答须写出文字说明、推理过程和演算步骤．

17．计算：（ +﹣）×．

【考点】79：二次根式的混合运算．

【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算．

【解答】解：原式=（6+﹣﹣3）×

=×

=7．

18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=5，BD=4，CD=．

（1）求AD的长．

（2）求△ABC的周长．

【考点】KQ：勾股定理．

【分析】（1）根据勾股定理求出AD；

（2）根据勾股定理求出AC，计算即可．

【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD==3；

（2）在Rt△ACD中，AC==2，

则△ABC的周长=AB+AC+BC=5+4++2=9+3．

19．如图在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：四边形AECF为平行四边形．

【考点】L7：平行四边形的判定与性质．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°，然后利用AAS证得△AEB≌△CFD，即可得AE=CF，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABE=∠CDF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°，

在△AEB和△CFD中，

∵，

∴△AEB≌△CFD（AAS），

∴AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

20．下表是某校八年级（1）班43名学生右眼视力的检查结果．

（2）该班学生右眼视力的中位数是　4.7　．

（3）该班小鸣同学右眼视力是4.5，能不能说小鸣同学的右眼视力处于全班同学的中上水平？试说明理由．

【考点】W4：中位数；W2：加权平均数．

【分析】（1）根据加权平均数的定义求解可得；

（2）由中位数的定义知中位数为第22个数据，据此可得；

（3）根据小鸣同学右眼视力是4.5，小于中位数4.7，解答可得．

【解答】解：（1）该班学生右眼视力的平均数是×（4.0+4.1×2+4.2×5+4.3×4+4.4×3+4.5×5+4.6+4.7+4.8×5+4.9×10+5.0×6）≈4.6，

故答案为：4.6；

（2）由于共有43个数据，其中位数为第22个数据，即中位数为4.7，

故答案为：4.7；

（3）不能，

∵小鸣同学右眼视力是4.5，小于中位数4.7，

∴不能说小鸣同学的右眼视力处于全班同学的中上水平．

21．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，BC=6，延长BC至点E，使得CE=8，点F是DE的中点，连接CF、OF．

（1）求OF的长．

（2）求CF的长．

【考点】LE：正方形的性质．

【分析】（1）只要证明OF是△DBE的中位线即可解决问题；

（2）在Rt△DCE中，利用勾股定理求出DE，再利用斜边中线的性质即可解决问题；

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD=6，∠BCD=∠ECD=90°，OB=OD，

∵CE=8，

∴BE=14，

∵OB=OD，DF=FE，

∴OF=BE=7．

（2）在Rt△DCE中，DE===10，

∵DF=FE，

∴CF=DE=5．

22．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过点A（﹣30，0）和点B（0，15），直线y=x+5与直线y=kx+b相交于点P，与y轴交于点C．

（1）求直线y=kx+b的解析式．

（2）求△PBC的面积．

【考点】FF：两条直线相交或平行问题．

【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；

（2）联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可得出点P的坐标，由一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，进而可得出线段BC的长度，再利用三角形的面积公式，即可求出△PBC的面积．

【解答】解：（1）将点A（﹣30，0）、B（0，15）代入y=kx+b，

，解得：，

∴直线y=kx+b的解析式为y=x+15．

（2）联立两直线解析式成方程组，

，解得：，

∴点P的坐标为（20，25）．

当x=0时，y=x+5=5，

∴点C的坐标为（0，5），

∴BC=15﹣5=10，

∴S△PBC=BC•xP=×10×20=100．

23．2016年下半年开始，不同品牌的共享单车出现在城市的大街小巷．现已知A品牌共享单车计费方式为：初始骑行单价为1元/半小时，不足半小时按半小时计算．内设邀请机制，每邀请一位好友注册认证并充值押金成功，双方骑行单价均降价0.1元/半小时，骑行单价最低可降至0.1元/半小时（比如，某用户邀请了3位好友，则骑行单价为0.7元/半小时）．B品牌共享单车计费方式为：0.5元/半小时，不足半小时按半小时计算．

（1）某用户准备选择A品牌共享单车使用，设该用户邀请好友x名（x为整数，x≥0），该用户的骑行单价为y元/半小时．请写出y关于x的函数解析式．

（2）若有A，B两种品牌的共享单车各一辆供某用户一人选择使用，请你根据该用户已邀请好友的人数，给出经济实惠的选择建议．

【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用．

【分析】（1）根据题意可以分段求出y关于x的函数解析式；

（2）根据题意可以分段写出相应的不等式，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）由题意可得，

当0≤x≤9且x为正整数时，y=1﹣0.1x，

当x≥10且x为正整数时，y=0.1，

即y关于x的函数解析式是y=；

（2）由题意可得，

当0≤x≤9时，1﹣0.1x＞0.5，可得，x＜5，则当x≤x＜5且x为正整数时，选择B品牌的共享单车；

当0≤x≤9时，1﹣0.1x=0.5，得x=5，则x=5时，选择A或B品牌的共享单车消费一样；

当0≤x≤9时，1﹣0.1x＜0.5，得x＞5，则x＞5且x为正整数，选择A品牌的共享单车；

当x≥10且x为正整数时，0.1＜0.5，故选项A品牌的共享单车．

24．下面我们做一次折叠活动：

第一步，在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图（1）的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，折痕为MC；

第二步，如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕为FA；

第三步，折出内侧矩形FACB的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处，折痕为AQ．

根据以上的操作过程，完成下列问题：

（1）求CD的长．

（2）请判断四边形ABQD的形状，并说明你的理由．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）先证明四边形MNCB为正方形，再利用折叠得：CA=1，AB=AD，所以CD=AD﹣AC，可得结论；

（2）根据平行线的性质得折叠得：∠BAQ=∠BQA，由等角对等边得：AB=BQ，由一组对边平行且相等可得：四边形ABQD是平行四边形，再由AB=AD，可得四边形ABQD是菱形．

【解答】解：（1）∵∠M=∠N=∠MBC=90°，

∴四边形MNCB是矩形，

∵MB=MN=2，

∴矩形MNCB是正方形，

∴NC=CB=2，

由折叠得：AN=AC=NC=1，

Rt△ACB中，由勾股定理得：AB==，

∴AD=AB=，

∴CD=AD﹣AC=﹣1；

（2）四边形ABQD是菱形，理由是：

由折叠得：AB=AD，∠BAQ=∠QAD，

∵BQ∥AD，

∴∠BQA=∠QAD，

∴∠BAQ=∠BQA，

∴AB=BQ，

∴BQ=AD，BQ∥AD，

∴四边形ABQD是平行四边形，

∵AB=AD，

∴四边形ABQD是菱形．

25．如图，正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP═x，△PBF的面积为S1，△PDE的面积为S2．

（1）求证：BP⊥DE．

（2）求S1﹣S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

（3）分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时，S1﹣S2的值．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）如图1中，延长BP交DE于M．只要证明△BCP≌△DCE，推出∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°，延长即可解决问题；

（2）根据S1﹣S2=S△PBE﹣S△PDE计算即可解决问题；

（3）分两种情形分别求出PC的长，利用（2）中结论计算即可；

【解答】解：（1）如图1中，延长BP交DE于M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，

∵CP=CE，

∴△BCP≌△DCE，

∴∠BCP=∠CDE，

∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，

∴∠CDE+∠DPM=90°，

∴∠DMP=90°，

∴BP⊥DE．

（2）由题意S1﹣S2=（4+x）•x﹣•（4﹣x）•x=x2（0＜x＜4）．

（3）①如图2中，当∠PBF=30°时，

∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，

∴∠PFD=∠DPF=45°，

∴DF=DP，∵AD=CD，

∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，

∴△BAF≌△BCP，

∴∠ABF=∠CBP=30°，

∴x=PC=BC•tan30°=，

∴S1﹣S2=x2=．

②如图3中，当∠PBF=45°时，在CB上截取CN=CP，理解PN．

由①可知△ABF≌△BCP，

∴∠ABF=∠CBP，

∵∠PBF=45°，

∴∠CBP=22.5°，

∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，

∴∠NBP=∠NPB=22.5°，

∴BN=PN=x，

∴x+x=4，

∴x=4﹣4，

∴S1﹣S2=（4﹣4）2=48﹣32．