第十三讲 三角形的等积变形

我们已经掌握了三角形面积的计算公式：

三角形面积=底×高÷2

这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底

不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三

角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发

生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变

为原来

角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也

告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面

积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．

为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等．

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，

这两个三角形面积相等．

③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几

倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

，它们所对的顶点同为A 点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．

同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD 或△AEC 面积的3 倍．

例如在右图中，△ABC 与△DBC 的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、

D 在与底BC 平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．

例如右图中，△ABC 与△DBC 的底相同（它们的底都是BC），△ABC 的高是△DBC

高的2 倍（D 是AB 中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC 的面积是△DBC 面积的2倍．

上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．

例1用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．

方法2：如右图，先将BC 二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD

与△ADC 等积．然后取AC、AB 中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE 等积．

例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶

3∶4．

方法 1：如下左图，将BC 边八等分，取1∶3∶4 的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC 的面积比为1∶3:4．

DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．

当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．

例 3 如右图，在梯形 ABCD 中，AC 与 BD 是对角线，其交点 O，求证：△AOB 与△COD

面积相等．

证明：∵△ABC 与△DBC 等底等高，

∴S△ABC=S△DBC

又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC

S△DOC=S△DBC—S△BOC

∴S△AOB=S△COD．

例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A 移到CB 的延长线上的A′处，△A′BD 与△ABD 面积相等，从而△A′DC

面积与原四边形ABCD 面积也相等．这样就把四边形ABCD 等积地改成了三角形△A′

DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB 平行的直线与

CB 的延长线交于A′点．

解：①连结BD；

②过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A′．

③连结A′D，则△A′CD 与四边形ABCD 等积．