2020-2021南京市高三数学上期末一模试卷(及答案)

一、选择题

1．数列{}n a 满足()11n

n n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( )

A ．100

B ．-100

C ．-110

D ．110

2．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是

( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰三角形或直角

三角形

3．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65 B ．184

C ．183

D ．176

4．已知在

中，，分别为角，的对边，为最小角，且，

，

，则

的面积等于（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

5．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则a a λ+的最小值为（ ） A ．9

4

-

B ．

94

C ．

274

D ．274

-

6．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()2

2

4116x y +++=分成面积相等的两部分，则

12

2a b

+的最小值为( ) A ．10

B ．8

C ．5

D ．4

7．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a =

7

cos 8

A =

，则ABC ∆的面积为（ ） A 17B ．3

C 15

D 15 8．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 31 B ． 31 C ．3＋2

D ．32

9．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪

+-≥⎨⎪--≤⎩

则2z x y =+的最大值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．12

D ．13

10．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若242,S 6a S a =-=，则5a =

A ．4

B ．10

C ．16

D ．32

11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(

)*

21n n S a n N =-∈，则5

a 等于（ ）

A ．16-

B ．16

C ．31

D ．32

12．已知数列{}n a 中，(

)111,21,n n n

a a a n N S *

+==+∈为其前n 项和，5

S

的值为

（ ） A ．63

B ．61

C ．62

D ．57

二、填空题

13．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列{}n b 有连

续四项在集合

{}53,23,19,37,82--中，则6q = .

14．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积

术”，即ABC △

的面积S =，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =

，且tan C =，则ABC △的面积S 的最大值为

__________．

15．已知数列{}n a 的前n 项和为2*

()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式

n a =______．

16．已知函数()2x

f x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，

则

()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦___________.

17．若实数,x y 满足约束条件20

0220x y x y x y +≥⎧⎪

-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．

18．已知数列{}n a 满足51

()1,6

2,6

n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数

a 的取值范围是_________.

19．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = . 20．若直线

1(00)x y

a b a b

+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题

21．若0,0a b >>,且

11

ab a b

+= （1）求33+a b 的最小值；

（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 22．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值. 23．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25

cos 5

C ∠=

点D 是AB 的中点, 求

（1）边AB 的长；

（2）cos A 的值和中线CD 的长

24．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；

（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和T n ．

25．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0.

(1)求A ；

(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝

17，AD 129，求△ABC 的面积． 26．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－

1

4

.

(1)求sin A 的值； (2)求·BA BC 的值.

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】

数列{a n }满足1(1)n

n n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．

【详解】

∵数列{a n }满足1(1)n

n n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．

则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()

101192

⨯+=-=-100．

故选：B ． 【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．C

解析：C 【解析】

在ABC ∆中，222222

cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab ab

+-+-=∴==⋅

，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.

【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.

3．B

解析：B 【解析】

分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：

81187

8828179962

S a d a ⨯=+

=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.

点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公

式求得结果. 【详解】

由余弦定理得：，即

解得：

或

为最小角

本题正确选项： 【点睛】

本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.

5．C

解析：C 【解析】

设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=

24

53

1a a a a +--则

a 8+λa 9=a 8+

666

929498385888222535353111

a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）

=()()()()()()3232

6

2

22

13112111t t t t t t q f t q t t t ++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增；

当0＜t ＜1

2

时，f （t ）递减．

可得t=

12处，此时f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】

圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即

41a b +=，故

()121284448222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当

82b a

a b =，即11,82

a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()2

2

2x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是

()4,1.

7．D

解析：D 【解析】 【分析】

三角形的面积公式为1

sin 2

ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】

解：在ABC ∆中，2227

cos 28b c a A bc +-==

将2b c =，a =222467

48

c c c +-=，

解得：2c =

由7cos 8A =得sin A ==

所以，11sin 242282

ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=

故选D. 【点睛】

三角形的面积公式常见形式有两种：一是

12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助1

2

（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1

sin 2

bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.

8．D

解析：D 【解析】

由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，

得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.

∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2

2b c 2a ++⎛⎫ ⎪

⎝⎭

(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，

∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误

9．C

解析：C 【解析】 【分析】

由约束条件可得可行域，将问题变成11

22

y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】

由约束条件可得可行域如下图所示：

当2z x y =+取最大值时，11

22

y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12

y x =-

，可知当直线11

22y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大

由240y x

x y =⎧⎨--=⎩

得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=

故选：C 【点睛】

本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.

10．C

解析：C 【解析】

由S S -=6546a a a +=得，()

22

460,60q q a q q +-=+-=，解得2q

，从而

3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.

11．B

解析：B 【解析】 【分析】

令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】

当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；

当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得

12n n a a -=.

所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则4

51216a =⨯=，

故选：B.

【点睛】

本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1

,2n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数

列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

12．D

解析：D 【解析】

解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：

1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，

分组求和有：(

)5

521255712

S ⨯-=-=- .

本题选择D 选项.

二、填空题

13．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9 解析：9-

【解析】 【分析】 【详解】

考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合

{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为3

2

q =-

，6q = -9. 14．【解析】由题设可知即由正弦定理可得所以当时故填

【解析】

由题设可知

)sin sin sin cos cos sin cos C C B C B C C =⇒=+

，即sin C A =

，由正弦定理可得c =

，所以

S ==242a a =⇒=时，

max S =

=

15．【解析】【分析】由当n ＝1时a1＝S1＝3当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1即可得出【

详解】当且时又满足此通项公式则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式考查了推理能力与计算能力注意检验 解析：*2)1(n n N +∈

【解析】 【分析】

由2*

2n S n n n N =+∈，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3．当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可得出．

【详解】

当2n ≥，且*n N ∈时，

()

()()2

212121n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦

()

2222122n n n n n =+--++-

21n =+，

又2

11123S a ==+=，满足此通项公式，

则数列{}n a 的通项公式(

)*

21n a n n N =+∈．

故答案为：(

)*

21n n N +∈

【点睛】

本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．

16．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-

【解析】 【分析】

根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出62

5

a =

，并得出568

25

a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出

()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅

⋅⎡⎤⎣⎦的值.

【详解】

依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且5628

2255

a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫

+++

+=

=+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭

， 而()()()()12310

61231022a a a a f a f a f a f a +++

+-⋅⋅⋅⋅==，

因此，()()()()6

2123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦.

故答案为6-. 【点睛】

本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.

17．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最

解析：7

2

-

【解析】 【分析】

先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 【详解】

依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，

目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220

x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛

⎫- ⎪⎝⎭，

所以3z x y =-的最小值()min 17

3122

z =⋅--=-． 【点睛】

本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值

18．【解析】【分析】由题若对于任意的都有可得解出即可得出【详解】∵若对任意都有∴∴解得故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性不等式的解法考查了推理能力与计算能力属于中档题

解析：17,

212⎛

⎫

⎪⎝⎭

【解析】 【分析】

由题若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，可得561

0012

a a a a -＜，＞，＜＜． 解出即可得出． 【详解】

∵5

11,6

2,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫

-+<⎪ ⎪=⎝⎭

⎨⎪≥⎩

，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>， ∴

561

0012a a a a -＜，＞，＜＜．． ∴11 0()51012

2

a a a a --⨯+＜，

＞，＜＜ ， 解得17 212

a ＜＜

． 故答案为17,212⎛⎫

⎪⎝⎭

．

【点睛】

本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k 的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式等差数

解析：10 【解析】 【分析】

根据等差数列的前n 项和公式可得70a =，结合等差数列的性质即可求得k 的值． 【详解】

因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅ 41234S a a a a =+++，且94S S =

所以5670a a a a a ++++= 由等差数列性质可知70a = 因为40k a a += 所以4770k a a a a +=+=

则根据等差数列性质可知477k +=+ 可得10k = 【点睛】

本题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．

20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意

拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现 解析：8

【解析】

1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ，当且仅当2b a = 时取等号.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

三、解答题

21．（1）；（2）不存在.

【解析】

【分析】

（1）由已知11a b

+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可

求23a b +的最小值为6>，故不存在．

【详解】

（111

a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==

故33+a b ≥≥a b ==

所以33+a b 的最小值为

（2）由（1）知，23a b +≥≥

由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立．

【考点定位】

基本不等式．

22．（1）22n a n =+；（2）63

【解析】

【分析】

（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；

（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k .

【详解】

（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =，

∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+；

（2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =.

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.

23．（1）2 （2）13

【解析】

【分析】

【详解】

（（1）由25cos 05

ACB ∠=>可知，ACB ∠是锐角， 所以，22255sin 1cos 155ACB ACB ⎛⎫∠=-∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭

由正弦定理sin sin AC AB B ACB =∠,105sin 2sin 522

AC AB ACB B =∠=⨯= （2）cos cos(18045)cos(135)A C C ︒︒︒=--=-

210(cos sin ),210

C C =-+=- 由余弦定理:

22102cos 1102110()1310CD AD AC AD AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯-

= 考点：1正弦定理；2余弦定理．

24．（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）

31142(1)2(2)

n n --++. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.

试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．

∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3．

（Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，

当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1

=[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=

．

当n=1时，b 1=3适合上式，所以

． ∴． ∴ = =

点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：

（1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =

+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++； （2）已知数列的通项公式为1(21)(21)

n a n n =-+，求前n 项和： 1111()(21)(21)22121

n a n n n n ==--+-+； （3）已知数列的通项公式为1n a n n =

++n 项和:. 11n a n n n n ==+++25．（1）A ＝60°；（2）3【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；

(2)利用三角形内角关系求出sin C ，结合正弦定理求出,a c 关系，利用余弦定理可求,a c .

【详解】

(1)acos C 3－b －c ＝0，由正弦定理得sin Acos C 3＝sin B ＋sin C ，

即sin Acos C 3sin Asin C ＝sin(A ＋C)＋sin C ，

又3sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝

12

. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°.

(2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B ＝7

.

所以sin C ＝sin(A ＋B)17＋12. 由正弦定理得，sin 7sin 5

a A c C ==. 设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcos B ， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17

，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，

故S △ABC ＝

12acsin B ＝ 【点睛】

本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键.

26．（1；（2）32- 【解析】

【分析】

（1）先求得sin B =再根据正弦定理求得sin A 即可； （2）根据余弦定理解得2AB =,再由数量积的定义求解即可

【详解】

（1）1cos 4

B =-,

sin 4B ∴=

,

根据正弦定理可得,sin sin BC AC A B =,即3sin A =,

sin A ∴=（2）根据余弦定理可得,2222cos AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅, 即2223432

AB AB =++,解得2AB =, 13cos 2342BA BC BA BC B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭

【点睛】

本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力