广东省普通高中2021年高中数学学业水平考试模拟测试题四(含答案)

（四）

(时间:90分钟满分:150分)

一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)

1.已知集合M={1,2,3,4},集合N={1,3,5},则M∩N等于()

A.{2}

B.{2,3}

C.{1,3}

D.{1,2,3,4,5}

2.下列函数为偶函数的是()

A.y=sin x

B.y=x3

C.y=e|x-1|

D.y=ln

3.某中学有高一年级560人,高二年级540人,高三年级520人,用分层抽样的方法抽取容量为81的样本,则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为()

A.28,27,26

B.28,26,24

C.26,27,28

D.27,26,25

4.设α为锐角,若cos,则sin的值为()

A. B. C.- D.-

5.已知平面向量a=(0,-1),b=(2,2),|λa+b|=2,则λ的值为()

A.1+

B.-1

C.2

D.1

6.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是()

A.4x+2y=5

B.4x-2y=5

C.x+2y=5

D.x-2y=5

7.如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()

(1)

(2)

(3)

(4)

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台

C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台

D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台

8.已知f(x)=x+-2(x>0),则f(x)有()

A.最大值为0

B.最小值为0

C.最大值为-4

D.最小值为-4

9.利用计算机在区间(0,1)上产生随机数a,则使不等式9a2-9a+2<0成立的概率是()

A. B.

C. D.

10.在△ABC中,A∶B=1∶2,sin C=1,则a∶b∶c=()

A.1∶2∶3

B.3∶2∶1

C.2∶∶1

D.1∶∶2

11.等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么{a n}的前7项和S7=()

A.22

B.24

C.26

D.28

12.在△ABC中,N是AC边上一点,且,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为()

A. B.

C.1

D.3

13.=()

A.-

B.-

C.D.

14.已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形,若将该几何体削成球,则球的最大表面积是()

A.16π

B.8π

C.4π

D.2π

15.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=-10,a n+1=a n+3(n∈N*),则S n取最小值时,n的值是

()

A.3

B.4

C.5

D.6

二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)

16.若点(2,1)在y=a x(a>0,且a≠1)关于y=x对称的图象上,则a=.

17.已知f(x)=x2+(m+1)x+(m+1)的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是(用区间表示).

18.设f(x)=则f(f(-2))=.

19.已知=1,且x>0,y>0,则x+y的最小值是.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)

20.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B-b=2a.

(1)求角C的大小;

(2)设角A的平分线交BC于D,且AD=,若b=,求△ABC的面积.

21.已知圆C经过A(3,2),B(1,6)两点,且圆心在直线y=2x上.

(1)求圆C的方程;

(2)若直线l经过点P(-1,3)且与圆C相切,求直线l的方程.

22.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.

(1)求四棱锥P-ABCD的体积;

(2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE;

(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论.

答案：

1.C【解析】M∩N={1,2,3,4}∩{1,3,5}={1,3},故选C.

2.D【解析】选项A,B为奇函数,选项C为非奇非偶函数,ln=ln,所以选D.

3.A【解析】根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为,则在高一年级抽取的人数是560×=28(人),高二年级抽取的人数是540×=27(人),高三年级抽取的人数是520×=26(人).故选A.

4.B【解析】因为α为锐角,且cos,

所以sin.

所以sin=sin

=2sin cos

=2×.

5.C【解析】λa+b=(2,2-λ),那么4+(2-λ)2=4,解得,λ=2.故选C.

6.B【解析】线段AB的中点为,k AB==-,

∴垂直平分线的斜率k==2,

∴线段AB的垂直平分线的方程是y-=2(x-2)⇒4x-2y-5=0.故选B.

7.C【解析】(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱.

(2)三视图复原的几何体是四棱锥.

(3)三视图复原的几何体是圆锥.(4)三视图复原的几何体是圆台.

所以(1)(2)(3)(4)的顺序为:三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台.故选C.

8.B【解析】由x>0,可得>0,

即有f(x)=x+-2≥2-2=2-2=0,

当且仅当x=,即x=1时,取得最小值0.

9.A【解析】解不等式知10.D【解析】在△ABC中,A∶B=1∶2,sin C=1,

可得A=30°,B=60°,C=90°.

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=∶1=1∶∶2.

故选D.

11.D【解析】∵等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,

∴3a4=a3+a4+a5=12,解得a4=4,

∴S7==7a4=28.故选D.

12.B【解析】如图,

因为,

所以=m=m.

因为B,P,N三点共线,

所以m+=1,所以m=.

13.D【解析】=cos2-sin2=cos.故选D.

14.C【解析】∵三视图均为边长为2的正方形,

∴几何体是边长为2的正方体,

将该几何体削成球,则球的最大半径为1,表面积是4π×12=4π.故选C.

15.B【解析】在数列{a n}中,由a n+1=a n+3,得a n+1-a n=3(n∈N*),

∴数列{a n}是公差为3的等差数列.

又a1=-10,∴数列{a n}是公差为3的递增等差数列.

由a n=a1+(n-1)d=-10+3(n-1)=3n-13≥0,解得n≥.

∵n∈N*,∴数列{a n}中从第五项开始为正值.

∴当n=4时,S n取最小值.故选B.

16.2【解析】∵点(2,1)在y=a x(a>0,且a≠1)关于y=x对称的图象上,

∴点(1,2)在y=a x(a>0,且a≠1)的图象上,

∴2=a1,解得a=2.

17.(-1,3)【解析】依题意Δ=(m+1)2-4(m+1)=(m+1)(m-3)<0⇒-1故m的取值范围用区间表示为(-1,3).

18.-2【解析】∵x=-2<0,∴f(-2)=1>0,

∴f(10-2)=lg 10-2=-2,即f(f(-2))=-2.

19.25【解析】∵=1,且x>0,y>0,∴x+y=(x+y)

=13+≥13+2=25,

当且仅当,即x=10且y=15时取等号.

20.【解】(1)由已知及余弦定理得2c×=2a+b,

整理得a2+b2-c2=-ab,

∴cos C==-,

又0∴C=,即角C的大小为.

(2)由(1)C=,依题意画出图形.在△ADC中,AC=b=,AD=,

由正弦定理得sin∠CDA=,

又△ADC中,C=,

∴∠CDA=,

故∠CAD=π-.

∵AD是角∠CAB的平分线,

∴∠CAB=,

∴△ABC为等腰三角形,且BC=AC=.

∴△ABC的面积S=BC·AC sin.

21.【解】(1)方法一:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

依题意得,

解得a=2,b=4,r2=5.

所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.

方法二:因为A(3,2),B(1,6),所以线段AB中点D的坐标为(2,4),

直线AB的斜率k AB==-2,

因此直线AB的垂直平分线l'的方程是y-4=(x-2),即x-2y+6=0.

圆心C的坐标是方程组的解.

解此方程组,得即圆心C的坐标为(2,4).

圆C的半径长r=|AC|=.

所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.

(2)由于直线l经过点P(-1,3),

当直线l的斜率不存在时,x=-1与圆C:(x-2)2+(y-4)2=5相离.

当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0.因为直线l与圆C相切,且圆C的圆心为(2,4),半径为,所以有.解得k=2或k=-.

所以直线l的方程为y-3=2(x+1)或y-3=-(x+1),

即2x-y+5=0或x+2y-5=0.

22.【解】(1)∵PA⊥底面ABCD,

∴PA为此四棱锥底面上的高.

∴S正方形ABCD·PA=×12×2=.

(2)证明:如图,连接AC交BD于O,连接OE.

∵四边形ABCD是正方形,∴AO=OC.

又∵AE=EP,∴OE∥PC.

又∵PC⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,

∴PC∥平面BDE.

(3)不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.

∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.

∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.

又∵PA∩AC=A,

∴BD⊥平面PAC.

∵CE⊂平面PAC,

∴BD⊥CE.