2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷

一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．

1．（4分）复数1﹣i的虚部为（　　）

A．i    B．1    C．    D．﹣

2．（4分）xdx=（　　）

A．0    B．    C．1    D．﹣

3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（　　）

A．﹣2    B．2    C．﹣2i    D．2i

4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（　　）

A．可以不存在    B．至少有1个    C．至少有2个    D．至多有2个

5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（　　）

A．只有三个极大值点，无极小值点

B．有两个极大值点，一个极小值点

C．有一个极大值点，两个极小值点

D．无极大值点，只有三个极小值点

6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（　　）

A．1    B．﹣    C．    D．或﹣

7．（4分）函数y=ex（2x﹣1）的大致图象是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：

（1）甲同学没有加入“楹联社”；

（2）乙同学没有加入“汉服社”；

（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；

（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；

（5）乙同学不在高三年级．

试问：丙同学所在的社团是（　　）

A．楹联社    B．书法社

C．汉服社    D．条件不足无法判断

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为　　．

10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：

11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是　　．

12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：

（1）　　；

（2）f′（6）　　f′（10）．

13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，an），=（b1，b2，…，bn），那么•=　　．

14．（4分）函数f（x）=ex﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）

①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；

②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；

③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；

则上述结论正确的是　　．（写出所有正确的结论的序号）

三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．

16．（10分）已知数列{an}满足a1=1，an+1+an=﹣，n∈N*．

（Ⅰ）求a2，a3，a4；

（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．

（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；

（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

18．（12分）设f（x）=et（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）

（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；

（Ⅱ）求证：f（x）≥0．

参与试题解析

一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．

1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．

故选：D．

2．【解答】xdx=x2|=，

故选：B

3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，

∴z2=﹣1+i．

∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．

故选：A

4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，

∴a++b++c+＜6

∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，

这与假设矛盾，

故至少有一个不小于2

故选：B

5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），

由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，

从左到右分分别令为a，b，c，

故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，

x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，

x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，

x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，

故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，

故选：C．

6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，

∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，

∴1=2a，∴a=，

故选C．

7．【解答】y′=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），

令y′=0得x=﹣，

∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，

∴y=ex（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，

当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；

令y=ex（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，

当x时，y=ex（2x﹣1）＜0，当x时，y=ex（2x﹣1）＞0，

综上，函数图象为A．

故选A．

8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，

根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，

故选A．

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．

故答案为：（﹣1，﹣1）．

10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，

[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，

故答案为y=3x﹣1；12

11．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，

故答案为：π+2

12．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，

∴．

（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，

∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，

∴f′（6）＜f′（10）．

故答案为（1）＞，（2）＜．

13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．

故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．

14．【解答】对于①，函数f（x）=ex﹣alnx的导数为f′（x）=ex﹣，

设切点为（m，f（m）），则e=em﹣，em=em﹣alnm，

可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；

对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=ex﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，

则导函数无零点，故②正确；

对于③，对∀a＜0，函数f（x）=ex﹣alnx，

由f（x）=0，可得ex=alnx，

分别画出y=ex和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，

故f（x）总存在零点，故③正确．

故答案为：①②③．

三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），

令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，

当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：

（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，

再结合f（x）的单调性可知，

函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．

16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣

解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣

（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，an=﹣，

①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．

②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即

ak=﹣

则由ak+1+ak=﹣，得ak+1=﹣，

即当n=k+1时，猜想成立，

由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，

即数列{an}的通项公式为an=﹣．

17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．         

当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，

函数f′（x）=≥0，

所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，

所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；

（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）

令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，

①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，

所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；

②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，

所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；

③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，

所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；

④当a=1时，

由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．

综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；

当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；

当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；

当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．

18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）

若t=1，则f（x）=ex﹣1﹣lnx，．         …（2分）

因为f′（1）=0，…（3分）

且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）

x＞1时，，即f′（x）＞0，

所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）

所以x=1是函数f（x）的极小值点；                       …（6分）

（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；  …（7分）

令，则，故g（x）单调递增． …（8分）

又g（1）=0，…（9分）

当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，

即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；

当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，

即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）

所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）