河北省唐山一中2018高三数学试卷

数学（理）试卷

说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟

卷Ⅰ(选择题  共60分)

1．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确的）1-10 17 18

1、已知复数，则等于

2、设P和Q是两个集合，定义集合=，如果，,那么等于                              

3、下列命题是真命题的是                                            

若，则            

若向量      若,则  

4、    已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为

5、若函数是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是

6、设等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的

    充分不必要条件     必要不充分条件    充要条件       既不充分也不必要条件

7、已知函数，若有，则的取值范围是

    [0，＋∞）   （0，＋∞）      [1，＋∞）    （1，＋∞）

8、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为

9、定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是                     

10、已知数列满足：,若且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是

11、已知函数，存在的零点，满足，则的取值范围是

A．                  B． 

C.               D． 

12、已知定义在上的函数则下列结论中,错误的是

A．           B．函数的值域为  

C．将函数的极值由大到小排列得到数列，则为等比数列

D．对任意的，不等式恒成立

卷Ⅱ(非选择题  共90分) 

二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）

13、 已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为        . 

14、若函数的图象

如图所示,则图中的阴影部分的面积为        .

15、已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是________．

16、已知定义在R上的函数满足：，

，则方程在区间上的所有实根之和为         .

三．解答题（共6小题，计70分）

17、（本题12分）已知是直线与函数图像的两个相邻交点，且

 （Ⅰ）求的值；

(Ⅱ)在锐角中，分别是角A，B，C的对边，若的面积为，

求的值. 

18、（本题12分）已知数列分别是等差数列与等比数列，满足，公差，且，，.

(Ⅰ)求数列和的通项公式；

(Ⅱ)设数列对任意正整数均有成立，设的前项和为，求证：（是自然对数的底）.

19、（本题12分） 如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，

，四边形是矩形，平面平面，

，和分别是和的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

20、（本题12分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．

(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；

(Ⅱ)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，

使PB2⊥QB2，求直线l的方程．

21、（本题12分）已知函数. 

(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.

22、（本题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

已知曲线过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于两点．

（Ⅰ）写出曲线和直线的普通方程；

（Ⅱ）若成等比数列，求的值．

23、（本题10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围．

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数学（理）答案

一.选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确的）

1-5   BABDA   

6-10  DCDBC 

11-12  DC    

二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）

  13.   14.   15.[-2,-1]  16.-7

三．解答题（共6小题，计70分）

17.解：（1）…3分

由函数的图象及，得到函数的周期，解得………5分

（2）

又是锐角三角形，…………8分

由    ……………………10分

由余弦定理得   ……… 12分

18、（1）解：由题意可知，结合，解得，

所以.                            ……… 5分

（2）证明：因为，

所以，

两式作差可得，，所以  ………8分

当时，，所以………10分

于是

…………12分

19、（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点， 

所以， 又因为平面，平面，

所以平面.               ……………… 2分                     

设，连接，

因为为菱形，所以为中点

在中，因为，，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面.       ……………… 4分

又因为，平面， 

所以平面平面.                    ………………5分 

（Ⅱ）解：取的中点，连接，

因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，

因为平面平面，所以平面，  所以平面，

因为为菱形，所以，得两两垂直.

所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，

如图建立空间直角坐标系.                         

因为底面是边长为的菱形，，，

所以，，，，，

.                ………………………………………………7分

所以，. 设平面的法向量为，

令，得.                               ……………9分

由平面，得平面的法向量为，

则      .……………11分

所以二面角的大小为.                     ………………12分

 20、　(1) 如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．

因△AB1B2是直角三角形，

又|AB1|＝|AB2|，

故∠B1AB2为直角，

因此|OA|＝|OB2|，得b＝.

结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，

故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.………3分

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.………5分

(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，

因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，………8分

又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，

所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2

＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16

＝－－＋16＝－，

由PB2⊥QB2，得·＝0，

即16m2－＝0，解得m＝±2.………10分

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0. ……………12分

21、.   ---------2分

（Ⅰ），解得.  ---------3分

（Ⅱ）.  ---------4分

①当时，，， 

在区间上，；在区间上，

故的单调递增区间是，

单调递减区间是.   ---------5分

②当时，， 

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，

单调递减区间是.      --------6分

③当时，， 故的单调递增区间是.     ---------7分

④当时，， 

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.    ------8分

（Ⅲ）由已知，在上有.---------9分

由已知，，由（Ⅱ）可知，

①当时，在上单调递增，

故，

所以，，解得，

故.              ---------10分

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

故.

由可知，，，

所以，，，   ---------11分

综上所述，.            ---------12分

22   （Ⅰ）   ……………5分

（Ⅱ）直线的参数方程为：

代入得到：

有： 

……………10分

23、解：(Ⅰ)原不等式等价于或

或

解得故不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．                               ……………5分

(Ⅱ)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，

∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5. ……………10分