2020年高考数学(文科)全国2卷高考模拟试卷(5)

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）设集合A＝[1，2]，B＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（　　）

A．[1，2] B．（﹣1，3） C．{1} D．{1，2}

2．（5分）（　　）

A． B． C．1 D．

3．（5分）设两条不重合的直线的方向向量分别为，，则“存在正实数λ，使得“λ”是“两条直线平行”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件    

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知cos（α）＝2cos（π+α），且tan（α+β），则tanβ的值为（　　）

A．﹣7 B．7 C．1 D．﹣1

5．（5分）设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于2a，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0 C．3x±5y＝0 D．5x±4y＝0

6．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．（5分）若回归直线a+bx，b＜0，则x与y之间的相关系数（　　）

A．r＝0 B．r＝l C．0＜r＜1 D．﹣1＜r＜0

8．（5分）三个数log23，0.23，log30.2的大小关系是（　　）

A．log30.2＜0.23＜log23 B．log30.2＜log23＜0.23    

C．log23＜0.23＜log30.2 D．0.23＜log30.2＜log23

9．（5分）若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为（　　）

A．60° B．30° C．120°或60° D．150°或30°

10．（5分）已知函数f（x）＝cos（x）cos（x）cos2x，则f（x）的最小正周期和最大值分别为（　　）

A．π， B．π， C．2π， D．2π，

11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，∠MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q．若|AB|＝8，则|PQ|＝（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

12．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0（f′（x）为函数f（x）的导函数），f（3），则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞logx2的解集为（　　）

A．（1，8） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（8，+∞）

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）已知函数f（x），f（f（﹣1））＝　   　．

14．（5分）已知，是夹角为60°的两个单位向量，，，若则m＝　   　．

15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积S，若sin2BsinAsinC，则角B的值为　   　．

16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝8，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　   　．

三．解答题（共5小题）

17．已知数列{an}满足a1＝2，a3＝24，且是等差数列．

（1）求an；

（2）设{an}的前n项和为Sn，求Sn．

18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，D是B1C1的中点，A1A＝A1B1＝2．

（1）求证：AB1∥平面A1CD；

（2）若异面直线AB1和BC所成角为60°，求四棱锥A1﹣CDB1B的体积．

19．某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了n名学生，已知这n名学生的物理成绩均不低于60分（满分为100分）．现将这n名学生的物理成绩分为四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示，其中物理成绩在[90，100]内的有28名学生，

将物理成绩在[80，100]内定义为“优秀”，在[60，80）内定义为“良好”．

（Ⅰ）求实数a的值及样本容量n；

（Ⅲ）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关？

参考公式及数据：（其中n＝a+b+c+d）．

20．已知椭圆）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，M为椭圆的下顶点，MF1交椭圆于另一点N，△MNF2的面积．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点P（4，0）作直线l交椭圆于A、B两点，点B关于x轴的对称点为B1，问：直线AB1是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

21．已知函数f（x）＝ex（ax+1），a∈R．

（I）求曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数．

四．解答题（共1小题）

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）若a＝﹣2，求曲线C与l的交点坐标；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，且|PA|的最大值，求a的值．

五．解答题（共1小题）

23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|（a∈R）．

（1）证明：f（x）≤|a|+1；

（2）若a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）成立，求实数k的取值范围．

2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（5）

参与试题解析

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）设集合A＝[1，2]，B＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（　　）

A．[1，2] B．（﹣1，3） C．{1} D．{1，2}

【解答】解：∵集合A＝[1，2]，

B＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，

∴A∩B＝{1，2}．

故选：D．

2．（5分）（　　）

A． B． C．1 D．

【解答】解：因为||＝||＝|i|；

故选：A．

3．（5分）设两条不重合的直线的方向向量分别为，，则“存在正实数λ，使得“λ”是“两条直线平行”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件    

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：若存在正实数λ，使得“λ”，则，共线，可得两条直线平行；

反过来，若两条直线平行，则方向向量共线，但可能同向也可能反向，λ可能为负值．

所以是充分不必要条件．

故选：A．

4．（5分）已知cos（α）＝2cos（π+α），且tan（α+β），则tanβ的值为（　　）

A．﹣7 B．7 C．1 D．﹣1

【解答】解：∵已知cos（α）＝2cos（π+α），即 sinα＝﹣2cosα，即 tanα＝﹣2．

又∵tan（α+β），则tanβ＝7，

故选：B．

5．（5分）设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于2a，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0 C．3x±5y＝0 D．5x±4y＝0

【解答】解：设PF1的中点为H，连接HF2，

由|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|﹣|PF2|＝2a，

可得|PF1|＝2c+2a，

在直角三角形HF1F2中，|F1F2|＝2c，|HF2|＝2a，|F1H|＝c+a，

可得4c2＝（c+a）2+（2a）2，化为3c＝5a，

则ba，

可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，

故选：B．

6．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子，

基本事件总数n＝6×6＝36，

向上的点数之和小于5包含的基本事件有：

（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6个，

∴向上的点数之和小于5的概率为p．

故选：B．

7．（5分）若回归直线a+bx，b＜0，则x与y之间的相关系数（　　）

A．r＝0 B．r＝l C．0＜r＜1 D．﹣1＜r＜0

【解答】解：∵回归直线a+bx，b＜0，

∴两个变量x，y之间是一个负相关的关系，

∴相关系数是一个负数，

∴﹣1＜r＜0

故选：D．

8．（5分）三个数log23，0.23，log30.2的大小关系是（　　）

A．log30.2＜0.23＜log23 B．log30.2＜log23＜0.23    

C．log23＜0.23＜log30.2 D．0.23＜log30.2＜log23

【解答】解：∵log23＞log22＝1，

0＜0.23＜0.20＝1，

log30.2＜log31＝0，

∴log30.2＜0.23＜log23．

故选：A．

9．（5分）若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为（　　）

A．60° B．30° C．120°或60° D．150°或30°

【解答】解：根据线面角的定义，可得AB与平面α所成角θ的余弦值为；

且θ∈[0°，90°]，

所以AB与α所成的角为θ＝60°．

故选：A．

10．（5分）已知函数f（x）＝cos（x）cos（x）cos2x，则f（x）的最小正周期和最大值分别为（　　）

A．π， B．π， C．2π， D．2π，

【解答】解：∵函数f（x）＝cos（x）cos（x）cos2xcos（x）sin（x）•

sin（2x）cos2x•cos2x•（）sin2xcos2xsin2xcos2xsin（2x），

则f（x）的最小正周期为π，最大值为，

故选：B．

11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，∠MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q．若|AB|＝8，则|PQ|＝（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），

画出图形，可知PF⊥AB，AM＝AF，设AB：y＝k（x﹣1）与抛物线方程联立，可得可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以x1+x2，x1x2＝1，

线段AB的中点为Q．若|AB|＝8，x1+x2+p＝8，即2＝8，解得k＝±1，所以中点Q的横坐标：3，Q（3，2），

PF：y＝﹣x+1，与x＝﹣1的解得P（﹣1，2），

所以PQ＝4．

故选：B．

12．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0（f′（x）为函数f（x）的导函数），f（3），则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞logx2的解集为（　　）

A．（1，8） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（8，+∞）

【解答】解：构造函数F（x）＝f（x），x∈（1，+∞），

∴F'（x）＝f'（x），

∵函数f（x）在（1，+∞）上满足x2f′（x）+1＞0，

∴F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，

∴函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，

∵不等式f（log2x）﹣1＞logx2，∴f（log2x）﹣logx2＞1，即 f（log2x）1，

又∵F（3）＝f（3）1，

∴不等式可转化为F（log2x）＞F（3），

又∵函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴log2x＞3，解得：x＞8，

故选：D．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）已知函数f（x），f（f（﹣1））＝　6　．

【解答】解：∵函数f（x），

∴f（﹣1）3．

f（f（﹣1））＝f（3）＝2×3＝6．

故答案为：6．

14．（5分）已知，是夹角为60°的两个单位向量，，，若则m＝　1　．

【解答】解：∵已知，是夹角为60°的两个单位向量，∴•1•1•cos60°．

而 ，，

若，则 （）•（m）mm1﹣m﹣0+0＝0，

则m＝1，

故答案为：1．

15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积S，若sin2BsinAsinC，则角B的值为　　．

【解答】解：由于sin2BsinAsinC，

利用正弦定理整理得，

由于△ABC的面积S，

所以，且a2+c2＝b2+2accosB，

故：，转换为，

化简得：，

即，故．

由于0＜B＜π，

所以，

所以，解得：B．

故答案为：

16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝8，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　260π　．

【解答】解：在△ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，

所以△ABC的外接圆的半径，

结合图形分析：

圆心到D点的距离为4，

另设三棱锥P﹣ABC的外接球球心到平面ABC的距离为d，

设外接球的半径为R，则△O1OB中，82+d2＝R2，

直角梯形O1ODP中，PD2＝42+（8﹣d）2＝R2，

解得d＝1，R2＝65，

所以S＝4πR2＝260π，

故答案为：260π．

三．解答题（共5小题）

17．已知数列{an}满足a1＝2，a3＝24，且是等差数列．

（1）求an；

（2）设{an}的前n项和为Sn，求Sn．

【解答】解：（1）∵a1＝2，a3＝24，

∴，，

∴等差数列{}的首项为1，公差为1，

∴，

∴；

（2）∵，

∴Sn＝1×21+2×22+3×23+……+n•2n①，

2Sn＝1×22+2×23+3×34+……+n•2n+1②，

∴①﹣②得：﹣Sn＝2+22+23+……+2n﹣n•2n+1＝（1﹣n）×2n+1﹣2，

∴Sn＝（n﹣1）×2n+1+2．

18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，D是B1C1的中点，A1A＝A1B1＝2．

（1）求证：AB1∥平面A1CD；

（2）若异面直线AB1和BC所成角为60°，求四棱锥A1﹣CDB1B的体积．

【解答】（1）证明：如图，连AC1交A1C于点E，连DE．

因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形，故点E是AC1中点，

又D是B1C1的中点，故DE∥AB1，

又AB1⊄平面A1CD，DE⊂平面A1CD，故AB1∥平面A1CD．

（2）解：由（1）知DE∥AB1，又C1D∥BC，故∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角．

设AC＝2m，则，

故△C1DE为等腰三角形，故∠C1DE＝60°，故△C1DE为等边三角形，则有，得到m＝1．

故△A1B1C1为等腰直角三角形，故A1D⊥C1B1，又B1B⊥平面A1B1C1，A1D⊂平面A1B1C1，

故A1D⊥B1B，又B1B∩C1B1＝B1，故A1D⊥平面CDB1B，

又梯形CDB1B的面积，

则四棱锥A1﹣CDB1B的体积．

19．某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了n名学生，已知这n名学生的物理成绩均不低于60分（满分为100分）．现将这n名学生的物理成绩分为四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示，其中物理成绩在[90，100]内的有28名学生，

将物理成绩在[80，100]内定义为“优秀”，在[60，80）内定义为“良好”．

（Ⅰ）求实数a的值及样本容量n；

（Ⅲ）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关？

参考公式及数据：（其中n＝a+b+c+d）．

【解答】解：（Ⅰ）由题可得10×（0.016+0.024+a+0.032）＝1，解得a＝0.028，

又物理成绩在[90，100]内的有28名学生，

所以，解得n＝100；

（Ⅱ）由题可得，这100名学生中物理成绩良好的有100×（0.016+0.024）×10＝40名，

所以抽取的10名学生中物理成绩良好的有名，

物理成绩优秀的有10﹣4＝6名；

故从这10名学生中随机抽取3名，这3名学生的物理成绩至少有2名是优秀的概率为

；

（Ⅲ）补充完整的2×2列联表如下表所示：

所以没有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关．

20．已知椭圆）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，M为椭圆的下顶点，MF1交椭圆于另一点N，△MNF2的面积．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点P（4，0）作直线l交椭圆于A、B两点，点B关于x轴的对称点为B1，问：直线AB1是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）由椭圆的离心率e，则a，b2＝a2﹣c2＝c2，∴b＝c，

∴△MF1F2是等腰直角三角形，又|NF1|＝2a﹣|NF2|，

在Rt△MNF2中，，即，

解得，，，

∴△MNF2的面积为S，∴a2＝8，b2＝4，

∴椭圆方程为：；

（2）设A（x1，y1），B1 （x2，y2），B（x2，﹣y2），

设直线AB1与x轴交于点T（t，0），直线AB1的方程为x＝my+t （m≠0），

联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2mty+t2﹣8＝0，

∴△＝（2mt）2﹣4（m2+2）（t2﹣8）＞0，即4m2﹣t2+8＞0，

∴，，

由P，A，B三点共线得，kPA＝kPB，即，

又x1＝my1+t，x2＝my2+t，代入整理得y1（my2+t﹣4）+y2（my1+t﹣4）＝0，即2my1y2+（t﹣4）（y1+y2）＝0，

从而，即（t﹣2）m＝0，解得t＝2，此时满足△＞0，

则直线AB1的方程为x＝my+2，故直线AB1过定点T（2，0）．

21．已知函数f（x）＝ex（ax+1），a∈R．

（I）求曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数．

【解答】解：（I）∵f（x）＝ex（ax+1），

∴f′（x）＝ex（ax+1）+aex＝ex（ax+a+1），

设曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线的斜率为k，

则k＝f′（0）＝ex（ax+1）+aex＝e0（a+1）＝a+1，

又f（0）＝1，

∴曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程为：y﹣1＝（a+1）x，即（a+1）x﹣y+1＝0；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）＝ex（ax+a+1），

故当a＝0时，f′（x）＝ex＞0，所以f（x）在R上单调递增；

当a＞0时，x∈（﹣∞，），f′（x）＜0；x∈（，+∞），f′（x）＞0；

∴f（x）的递减区间为（﹣∞，），递增区间为（，+∞）；

当a＜0时，同理可得f（x）的递增区间为（﹣∞，），递减区间为（，+∞）；

综上所述，a＝0时，f（x）单调递增为（﹣∞，+∞），无递减区间；

当a＞0时，f（x）的递减区间为（﹣∞，），递增区间为（，+∞）；

当a＜0时，f（x）的递增区间为（﹣∞，），递减区间为（，+∞）；

（Ⅲ）当a＝0时，f（x）＝ex＞0恒成立，所以f（x）无零点；

当a≠0时，由f（x）＝ex（ax+1）＝0，得：x，只有一个零点．

四．解答题（共1小题）

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）若a＝﹣2，求曲线C与l的交点坐标；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，且|PA|的最大值，求a的值．

【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为，整理得3ρ2+ρ2sin2θ＝12，转换为直角坐标方程为．

当a＝﹣2时，直线l的参数方程为（t为参数），整理得，转换为直角坐标方程为x+2y+2＝0．

所以，解得或，

所以交点坐标为（﹣2，0）和（1，）．

（2）曲线的直角坐标方程为x+2y﹣a＝0，

故曲线C上任意一点P（）到直线的距离d，

则|PA|，

当a≥0时，|PA|的最大值为，

解得a＝1．

当a＜0时，|PA|的最大值为，解得a＝﹣1．

故a＝1或﹣1．

五．解答题（共1小题）

23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|（a∈R）．

（1）证明：f（x）≤|a|+1；

（2）若a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）成立，求实数k的取值范围．

【解答】（1）证明：函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|＝|（2x﹣2）﹣（x﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣2|+|x﹣a﹣2|﹣|2x﹣2|＝|x﹣a﹣2|

（当且仅当（2x﹣2）（x﹣a﹣2）≤0，即（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号）

由于（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0，

当a﹣2≥1，即a≥3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|＝|a|+1；

当1＞a﹣2，即a＜3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|≤|a|+1；

综上所述，f（x）≤|a|+1；

（2）解：a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣2|，

要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k（x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，

在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象如图，

由图可知，k≤1．

即实数k的取值范围为[，1]．