一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.
1．（3分）（2012•武汉）如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
2．（3分）（2014•舟山模拟）如图，已知四条直线a，b，c，d，其中a∥b，c⊥b，且∠1=50°．则∠2=（ ）
| A． | 60° | B． | 50° | C． | 40° | D． | 30° |
3．（3分）（2014•舟山模拟）下列计算或化简正确的是（ ）
| A． | ﹣a（a﹣b）﹣ab=﹣a2 | B． | a2+a3=a5 | C． | D． |
4．（3分）（2013•拱墅区一模）下列因式分解正确的是（ ）
| A． | a2﹣b2=（a﹣b）2 | B． | 16a2﹣8ab+b2=（4a﹣b）2 | |
| C． | a2+ab+b2=（a+b）2 | D． | x2y+xy2+xy=xy（x+y） |
5．（3分）（2014•昆都仑区一模）将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（ ）
| A． | R=8r | B． | R=6r | C． | R=4r | D． | R=2r |
6．（3分）（2014•日照一模）某校在七年级设立了六个课外兴趣小组，每个参加者只能参加一个兴趣小组，如图是六个兴趣小组不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，可得下列结论不正确的是（ ）
| A． | 七年级共有320人参加了兴趣小组 | |
| B． | 体育兴趣小组对应扇形圆心角的度数为96° | |
| C． | 美术兴趣小组对应扇形圆心角的度数为72° | |
| D． | 各小组人数组成的数据中位数是56． |
7．（3分）（2013•拱墅区一模）下列说法中正确的是（ ）
| A． | 若式子有意义，则x＞1 | |
| B． | 已知a，b，c，d都是正实数，且，则 | |
| C． | 在反比例函数中，若x＞0 时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＞2 | |
| D． | 解分式方程的结果是原方程无解 |
8．（3分）（2013•拱墅区一模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象一部分如图所示，对于下列说法：
①abc＞0；
②a﹣b+c＜0；
③3a+c＜0；
④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（ ）
| A． | ①② | B． | ①④ | C． | ②③ | D． | ②③④ |
9．（3分）（2014•齐齐哈尔二模）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是（ ）
| A． | ①④ | B． | ②③ | C． | ①②④ | D． | ①②③④ |
10．（3分）（2013•拱墅区一模）关于x的方程x2﹣px﹣2q=0（p，q是正整数），若它的正根小于或等于4，则正根是整数的概率是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．（4分）（2013•拱墅区一模）计算：3a•（﹣2a）= _________ ；（2ab2）3= _________ ．
12．（4分）（2013•拱墅区一模）五位射击运动员在一次射击练习中，每人打10抢，成绩（单位：环）记录如下：97，98，95，97，93．则这组数据的众数是 _________ ；平均数是 _________ ．
13．（4分）（2012•佛山）某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 _________ ．
14．（4分）（2013•拱墅区一模）如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D，连结AC，OC，CB．有下列结论：①∠1=∠2；②OC∥AE；③AF=OC；④△ADC∽△ACB．其中结论正确的是 _________ （写出序号）．
15．（4分）（2013•拱墅区一模）在面积为12的平行四边形ABCD中，过点A作直线BC的垂线交BC于点E，过点A作直线CD的垂线交CD于点F，若AB=4，BC=6，则CE+CF的值为 _________ ．
16．（4分）（2013•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为 _________ ．
三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．（6分）（2012•黑河）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a=sin30°，b=tan45°．
18．（8分）（2013•拱墅区一模）设函数y=ax2+bx+1，其中a可取的值是﹣1，0，1； b可取的值是﹣1，1，2；
（1）当a、b 分别取何值时所得函数有最小值？请直接写出满足条件的这些函数和相应的最小值；
（2）如果a在﹣1，0，1三个数中随机抽取一个，b在﹣1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数解析式？在这些函数解析式中任取一个，求取到当x＞0时y随x增大而减小的函数的概率．
19．（8分）（2013•拱墅区一模）（1）在图1中，求作△ABC的外接圆（尺规作图，不写作法保留痕迹）；
（2）如图2，若△ABC的内心为O，且BA=BC=8，sinA=，求△ABC的内切圆半径．
20．（10分）（2013•拱墅区一模）如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交线段DC于点Q，FE的延长线交线段BC于点P，连结AP、AQ．
（1）求证：△ADQ≌△AEQ；
（2）求证：PQ=DQ+PB；
（3）当∠1=∠2时，求PQ的长．
21．（10分）（2013•拱墅区一模）某商店采购甲、乙两种型号的电风扇，共花费15000元，所购进甲型电风扇的数量不少于乙型数量的2倍，但不超过乙型数量的3倍．现已知甲型每台进价150元，乙型每台进价300元，并且销售甲型每台获得利润30元，销售乙型每台获得利润75元．设商店购进乙型电风扇x台．
（1）商店共有多少种采购电风扇方案？
（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的电风扇全部售出，写出此商店销售这两种电风扇所获得的总利润y（元）与购进乙型电风扇的台数x（台）之间的函数关系式；
（3）商店怎样的采购方案所获得的利润最大？求出此时利润最大值．
22．（12分）（2013•拱墅区一模）如图，在R t△AOB中，已知AO=6，BO=8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OB﹣BA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动．设移动时间为x秒：
（1）当x=2时，求△AEF的面积；
（2）当EF∥BO时，求x的值；
（3）设△AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式．
23．（12分）（2013•拱墅区一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．
（1）直接写出抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设抛物线上的点Q，使△QAO与△AOB相似（不全等），求出点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点M（0，），连结QM并延长交抛物线另一点R，在直线QR下方的抛物线上找点P，当△PQR面积最大时，求点P的坐标及S△PQR的最大值．
2013年浙江省杭州市拱墅区中考数学一模试卷
参与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.
1．（3分）（2012•武汉）如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 简单组合体的三视图．菁优网版权所有 |
| 专题： | 常规题型． |
| 分析： | 左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案． |
| 解答： | 解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形． 故选D． |
| 点评： | 此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置． |
2．（3分）（2014•舟山模拟）如图，已知四条直线a，b，c，d，其中a∥b，c⊥b，且∠1=50°．则∠2=（ ）
| A． | 60° | B． | 50° | C． | 40° | D． | 30° |
| 考点： | 平行线的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据对顶角相等求出∠3，再根据垂直的定义，利用直角三角形两锐角互余求解即可． |
| 解答： | 解：∵∠1=50°， ∴∠3=∠1=50°， ∵c⊥b， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠2=90°﹣50°=40°． 故选C． |
| 点评： | 本题考查了对顶角相等的性质，直角三角形两锐角互余，是基础题． |
3．（3分）（2014•舟山模拟）下列计算或化简正确的是（ ）
| A． | ﹣a（a﹣b）﹣ab=﹣a2 | B． | a2+a3=a5 | C． | D． |
| 考点： | 二次根式的混合运算；整式的混合运算．菁优网版权所有 |
| 分析： | 求出每个式子的值，再进行判断即可． |
| 解答： | 解：A、﹣a（a﹣b）﹣ab=﹣a2+ab﹣ab=﹣a2，故本选项正确； B、a2和a3不能合并，故本选项错误； C、+3=+3×=+，和不能合并，故本选项错误； D、=3，故本选项错误； 故选A． |
| 点评： | 本题考查了二次根式的混合运算和整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力． |
4．（3分）（2013•拱墅区一模）下列因式分解正确的是（ ）
| A． | a2﹣b2=（a﹣b）2 | B． | 16a2﹣8ab+b2=（4a﹣b）2 | |
| C． | a2+ab+b2=（a+b）2 | D． | x2y+xy2+xy=xy（x+y） |
| 考点： | 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据平方差公式的结构，以及完全平方公式的结构即可作出判断． |
| 解答： | 解：A、a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），故选项错误； B、正确； C、（a+b）2=a2+2ab+b2，等号不成立，故选项错误； D、x2y+xy2+xy=xy（x+y+1），故选项错误． 故选B． |
| 点评： | 本题考查了多项式的乘法，公式法分解因式，熟练掌握运算法则和平方差公式的结构特点是解题的关键． |
5．（3分）（2014•昆都仑区一模）将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（ ）
| A． | R=8r | B． | R=6r | C． | R=4r | D． | R=2r |
| 考点： | 圆锥的计算．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长即可求得． |
| 解答： | 解：扇形的弧长是：=2πr， 即=2πr， ∴R=4r． 故选C． |
| 点评： | 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． |
6．（3分）（2014•日照一模）某校在七年级设立了六个课外兴趣小组，每个参加者只能参加一个兴趣小组，如图是六个兴趣小组不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，可得下列结论不正确的是（ ）
| A． | 七年级共有320人参加了兴趣小组 | |
| B． | 体育兴趣小组对应扇形圆心角的度数为96° | |
| C． | 美术兴趣小组对应扇形圆心角的度数为72° | |
| D． | 各小组人数组成的数据中位数是56． |
| 考点： | 条形统计图；扇形统计图．菁优网版权所有 |
| 分析： | 总人数=参加某项的人数÷所占比例，用总人数减去其他5个小组的人数求出体育小组的人数，画图即可解答，用体育小组的人数除以总人数再乘360度即可求出圆心角的度数．同样美术小组的对应扇形圆心角的度数计算方法相同． |
| 解答： | 解：A、读图可知：有10%的学生即32人参加科技学习小组，故初一年级共有学生32÷10%=320（人），故命题正确； B、直方图如图所示，360°×=108°，故命题错误； C、美术兴趣小组对应扇形圆心角的度数为360×20%=72°，故命题正确； D、正确． 故选B． |
| 点评： | 本题主要考查条形统计图与扇形统计图的综合运用，用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．总体数目=部分数目÷相应百分比． |
7．（3分）（2013•拱墅区一模）下列说法中正确的是（ ）
| A． | 若式子有意义，则x＞1 | |
| B． | 已知a，b，c，d都是正实数，且，则 | |
| C． | 在反比例函数中，若x＞0 时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＞2 | |
| D． | 解分式方程的结果是原方程无解 |
| 考点： | 反比例函数的性质；二次根式有意义的条件；分式方程的解；不等式的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，解得x≥1；根据不等式的性质1，两边同时加上1，可得+1＜+1；根据反比例函数的性质可得k﹣2＜0，；解分式方程kedex=3，再检验可得方程无解． |
| 解答： | 解：A、若式子有意义，则x﹣1≥0，解得x≥1，故此选项错误； B、已知a，b，c，d 都是正实数，且，则+1＜+1，即＜，故此选项错误； C、在反比例函数中，若x＞0 时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＜2，故此选项错误； D、解分式方程得x=3，把x=3代入最简公分母x﹣3=0，故原方程无解，故此选项正确； 故选：D． |
| 点评： | 此题主要考查了反比例函数的性质、分式方程、不等式的性质、二次根式有意义的条件，关键是熟练掌握各个知识点的运算． |
8．（3分）（2013•拱墅区一模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象一部分如图所示，对于下列说法：
①abc＞0；
②a﹣b+c＜0；
③3a+c＜0；
④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（ ）
| A． | ①② | B． | ①④ | C． | ②③ | D． | ②③④ |
| 考点： | 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 首先根据二次函数图象开口方向可得a＜0，根据图象与y轴交点可得c＞0，再根据二次函数的对称轴x=﹣，结合a的取值可判定出b＞0，根据a、b、c的正负即可判断出①的正误；把x=﹣1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得y=a﹣b+c，再结合图象判断出②的正误；把b=﹣2a代入a﹣b+c中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误． |
| 解答： | 解：根据图象可得：a＜0，c＞0， 对称轴：x=﹣=1， b=﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故①错误； 把x=﹣1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得：y=a﹣b+c， 由图象可以看出当x=﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， 故②正确； ∵b=﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0， 即：3a+c＜0，故③正确； 由图形可以直接看出④错误． 正确的有②③， 故选C． |
| 点评： | 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． |
9．（3分）（2014•齐齐哈尔二模）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是（ ）
| A． | ①④ | B． | ②③ | C． | ①②④ | D． | ①②③④ |
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有 |
| 分析： | ①当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形； ②作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形； ③由②△ADE≌△CDF，就有S△ADE=S△CDF，再通过等量代换就可以求出结论； ④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离． |
| 解答： | 解：①当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项正确； ②①连接CD； ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB； ∵在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA； ∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°， ∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确； ③∵△ADE≌△CDF， ∴S△ADE=S△CDF． ∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD， ∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED， ∴S四边形CEDF=S△ADC． ∵S△ADC=S△ABC=4． ∴四边形CEDF的面积是定值4，故本选项正确； ④④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF， 当EF∥AB时，∵AE=CF， ∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线， ∴EF取最小值==2， ∵CE=CF=2， ∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．故此选项正确． 故选D． |
| 点评： | 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键． |
10．（3分）（2013•拱墅区一模）关于x的方程x2﹣px﹣2q=0（p，q是正整数），若它的正根小于或等于4，则正根是整数的概率是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 列表法与树状图法；解一元二次方程-公式法．菁优网版权所有 |
| 分析： | 利用求根公式得出方程的两根，再利用它的正根小于或等于4，得出所有符合要求的解，再利用正根是整数的个数求出概率即可． |
| 解答： | 解：关于x的方程x2﹣px﹣2q=0（p，q是正整数）的两根为： 或， 其中正根为：，由题意得出：≤4， 即≤8﹣p， 两边同时平方得出：p2+8q≤﹣16p+p2， 化简为：q+2p≤8， ∵p，q是正整数， ∴所有组合为： q=1，p=1，2，3， q=2，p=1，2，3， q=3，p=1，2， q=4，p=1，2， q=5，p=1， q=6，p=1， 共12组， 其中满足是整数的有： q=1，p=1， q=2，p=3， q=3，p=1， q=4，p=2， q=6，p=1， 共5组，所以正根是整数的概率是：． 故选；A． |
| 点评： | 此题主要考查了一元二次方程的根以及概率求法，根据已知得出所有符合要求的p，q的值是解题关键． |
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．（4分）（2013•拱墅区一模）计算：3a•（﹣2a）= ﹣6a2 ；（2ab2）3= 8a3b6 ．
| 考点： | 单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据单项式乘以单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．分别进行计算即可． |
| 解答： | 解：3a•（﹣2a）=3×（﹣2）•（a•a）=﹣6a2； （2ab2）3=23•a3•（b2）3=8a3b6， 故答案为：﹣6a2；8a3b6． |
| 点评： | 此题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，关键是熟练掌握两个计算法则． |
12．（4分）（2013•拱墅区一模）五位射击运动员在一次射击练习中，每人打10抢，成绩（单位：环）记录如下：97，98，95，97，93．则这组数据的众数是 97 ；平均数是 96 ．
| 考点： | 众数；算术平均数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数即可找出答案；根据平均数公式求解即可． |
| 解答： | 解：97，98，95，97，93这五个数中出现最多的数是97，故97是众数， 97，98，95，97，93的平均数为（97+98+95+97+93）=96， 故答案为：97；96． |
| 点评： | 本题考查了众数及算术平均数的求法，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数及算术平均数的定义． |
13．（4分）（2012•佛山）某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 20% ．
| 考点： | 一元二次方程的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 增长率问题；压轴题． |
| 分析： | 此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），即100（x﹣1）2元，从而列出方程，求出答案． |
| 解答： | 解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1﹣x）2元． 根据题意，得100（1﹣x）2=， 即（1﹣x）2=0.， 解得x1=1.8，x2=0.2． 因为x=1.8不合题意，故舍去， 所以x=0.2． 即每次降价的百分率为0.2，即20%． 故答案为：20%． |
| 点评： | 考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍． |
14．（4分）（2013•拱墅区一模）如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D，连结AC，OC，CB．有下列结论：①∠1=∠2；②OC∥AE；③AF=OC；④△ADC∽△ACB．其中结论正确的是 ①②④ （写出序号）．
| 考点： | 切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据切线性质得出OC⊥DC，推出OC∥AD，推出∠1=∠2=∠OCA，推出∠ADC=∠ACB=90°，即可判断各个项． |
| 解答： | 解：∵DC切⊙O于C， ∴OC⊥DC， ∵AD⊥DC， ∴OC∥AD，∴∠1=∠OCA， ∵OA=OC， ∴∠2=∠OCA， ∴∠1=∠2，∴①正确，②正确； ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∵AF⊥DC， ∴∠ADC=90°=∠ACB， ∵∠1=∠2， ∴△ADC∽△ACB，∴④正确； 根据已知不能推出AF和OC相等，∴③错误； 故答案为：①②④． |
| 点评： | 本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质，相似三角形的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力． |
15．（4分）（2013•拱墅区一模）在面积为12的平行四边形ABCD中，过点A作直线BC的垂线交BC于点E，过点A作直线CD的垂线交CD于点F，若AB=4，BC=6，则CE+CF的值为 10+或2+ ．
| 考点： | 平行四边形的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据平行四边形面积求出AE和AF，然后根据题意画出图形：有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，继而求得出答案． |
| 解答： | 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=4，BC=AD=6， ①如图： ∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF=12， ∴AE=2，AF=3， 在Rt△ABE中：BE==2， 在Rt△ADF中，DF==3， ∴CE+CF=BC﹣BE+DF﹣CD=2+； ②如图： ∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF=12， ∴AE=2，AF=3， 在Rt△ABE中：BE==2， 在Rt△ADF中，DF==3， ∴CE+CF=BC+BE+DF+CD=10+5； 综上可得：CE+CF的值为10+或2+． 故答案为：10+或2+． |
| 点评： | 此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想思想与数形结合思想的应用． |
16．（4分）（2013•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为 5（）4020 ．
| 考点： | 相似多边形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题；规律型． |
| 分析： | 先利用ASA证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，然后即可求出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2011个正方形的面积． |
| 解答： | 解：如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC， ∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=180°﹣90°=90°， 又∵∠AOD=90°， ∴∠ADO+∠DAO=90°， ∴∠ADO=∠BAA1， 在△AOD和A1BA中，， ∴△AOD∽△A1BA， ∴==2， ∴BC=2A1B， ∴A1C=BC， 以此类推A2C1=A1C， A3C2=A2C1， 即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍， ∴第2011个正方形的边长为（）2010BC， ∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2）， ∴BC=AD==， ∴第2011个正方形的面积为[（）2010BC]2=5（）4020． 故答案为：5（）4020． |
| 点评： | 本题主要考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系是解题的关键，也是难点，本题综合性较强． |
三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．（6分）（2012•黑河）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a=sin30°，b=tan45°．
| 考点： | 分式的化简求值；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 将括号内的部分通分，再将分式的除法转化为乘法，然后根据特殊角的三角函数值求出a、b的值，再代入进行解答． |
| 解答： | 解：原式=× =× =a﹣b． 又∵a=sin30°=，b=tan45°=1， ∴原式=a﹣b=﹣1=﹣． |
| 点评： | 本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来． |
18．（8分）（2013•拱墅区一模）设函数y=ax2+bx+1，其中a可取的值是﹣1，0，1； b可取的值是﹣1，1，2；
（1）当a、b 分别取何值时所得函数有最小值？请直接写出满足条件的这些函数和相应的最小值；
（2）如果a在﹣1，0，1三个数中随机抽取一个，b在﹣1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数解析式？在这些函数解析式中任取一个，求取到当x＞0时y随x增大而减小的函数的概率．
| 考点： | 列表法与树状图法；二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有 |
| 专题： | 图表型． |
| 分析： | （1）根据二次函数的性质，a＞0时，二次函数有最小值，所以，确定a为1，然后根据b的值的不同分别写出解析式，再根据二次函数的最值问题解答即可； （2）画出树状图，再根据函数的增减性以及概率公式列式计算即可得解． |
| 解答： | 解：（1）y=x2﹣x+1，最小值； y=x2+x+1，最小值； y=x2+2x+1，最小值0； （2）根据题意画出树状图如下： 可得到9个不同的函数解析式， ∵当x＞0时y随x增大而减小的函数是y=﹣x2﹣x+1，y=﹣x+1， ∴概率为． |
| 点评： | 本题考查了列表法与树状图法，二次函数的最值问题，函数的增减性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． |
19．（8分）（2013•拱墅区一模）（1）在图1中，求作△ABC的外接圆（尺规作图，不写作法保留痕迹）；
（2）如图2，若△ABC的内心为O，且BA=BC=8，sinA=，求△ABC的内切圆半径．
| 考点： | 作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）首先做出AB，BC的垂直平分线，进而得出圆心位置，进而利用圆心到顶点距离为半径，即可得出外接圆； （2）首先连结BO并延长交AC于F，得出BF⊥AC，进而得出BF，AF的长，求出半径即可． |
| 解答： | 解：（1）如图所示： （2）连结BO并延长交AC于F， ∵AB=BC=8，O为△ABC内心， ∴BF⊥AC，AF=CF， 又∵sinA=， ∴BF=AB sinA=8×=6， ∴AF=， ∴Rt△OBE中：， 解得半径为：， 解法二：△面积法：AC=， 设内接圆半径为R，R（AB+AC+BC）=AC•BF， 解得内接圆半径R=． |
| 点评： | 此题主要考查了复杂作图以及三角形内切圆的作法和锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出AF的长进而利用勾股定理求出是解题关键． |
20．（10分）（2013•拱墅区一模）如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交线段DC于点Q，FE的延长线交线段BC于点P，连结AP、AQ．
（1）求证：△ADQ≌△AEQ；
（2）求证：PQ=DQ+PB；
（3）当∠1=∠2时，求PQ的长．
| 考点： | 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据正方形性质得出∠G=∠AEF=90°，AD=AE，根据HL证出粮三角形全等即可； （2）根据全等求出DQ=QE，同理BP=PE，即可得出答案； （3）求出Rt△ADQ∽Rt△PCQ，推出∠AQD=∠PQC=∠AQP，求出三角为60°，求出∠1和∠2度数，求出QD、CQ，即可求出答案． |
| 解答： | （1）证明：∵ABCD是正方形， ∴∠G=∠AEF=90°，AD=AE， ∵在Rt△ADQ和Rt△AEQ中 ， ∴△ADQ≌△AEQ（HL）； （2）证明：与证△ADQ≌△AEQ类似，可证得：△AEP≌△ABP， ∴PB=PE，QD=QE， ∴PQ=QE+PE=DQ+PB； （3）解：当∠1=∠2时， ∵∠D=∠C=90°， ∴Rt△ADQ∽Rt△PCQ， ∴∠AQD=∠PQC， ∵△ADQ≌△AEQ ∴∠AQD=∠AQE， ∴∠AQD=∠PQC=∠AQE，且∠AQD+∠AQE+∠PQC=180°， ∴∠AQD=60°， ∴∠1=30° ∴Rt△ADQ中，AD=3，DQ=， ∴QC=3﹣， ∵∠C=90°，∠PQC=60°， ∴∠2=30°， ∴PQ=2QC=6﹣2． |
| 点评： | 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，难度偏大． |
21．（10分）（2013•拱墅区一模）某商店采购甲、乙两种型号的电风扇，共花费15000元，所购进甲型电风扇的数量不少于乙型数量的2倍，但不超过乙型数量的3倍．现已知甲型每台进价150元，乙型每台进价300元，并且销售甲型每台获得利润30元，销售乙型每台获得利润75元．设商店购进乙型电风扇x台．
（1）商店共有多少种采购电风扇方案？
（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的电风扇全部售出，写出此商店销售这两种电风扇所获得的总利润y（元）与购进乙型电风扇的台数x（台）之间的函数关系式；
（3）商店怎样的采购方案所获得的利润最大？求出此时利润最大值．
| 考点： | 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有 | ||||||
| 分析： | （1）设购进乙型电风扇x台，则购进甲型电风扇台数是=（100﹣2x）台，根据题意建立不等式组求出其解即可； （2）根据总利润等于两种型号的利润之和求出y与x之间的函数关系式即可； （3）根据（2）求出的函数的关系式的性质可求出结论． | ||||||
| 解答： | 解：（1）设购进乙型电风扇x台，则购进甲型电风扇台数是=（100﹣2x）台，由题意，得 2x≤100﹣2x≤3x， ∴解得：20≤x≤25， ∴购电风扇方案有6种： 甲 | 60 | 58 | 56 | 54 | 52 | 50 |
| 乙 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
y=75x+30（100﹣2x），
∴y=15x+3000（20≤x≤25）
（3）∵y=15x+3000，
∴k=15＞0
∴y随x增大而增大，
∴当x=25时利润最大，
∴y最大=15×25+3000=3375（元）．
| 答：购进购进乙型电风扇25台时利润最大，最大利润为3375元． | |
| 点评： | 本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答本题时根据条件求出一次函数的解析式是利润最大值的关键． |
22．（12分）（2013•拱墅区一模）如图，在R t△AOB中，已知AO=6，BO=8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OB﹣BA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动．设移动时间为x秒：
（1）当x=2时，求△AEF的面积；
（2）当EF∥BO时，求x的值；
（3）设△AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式．
| 考点： | 相似形综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据点E、F的运动速度求得2秒后△AEF的两直角边AE=2，OF=6，所以由三角形的面积公式即可求得△AEF的面积； （2）当EF∥BO时，△AEF∽△ABO，则由相似三角形的对应边成比例列出关于x的方程，通过解方程可以求得x的值； （3）分段讨论：①当点F在OB边上运动时，△AEF的面积=AE•OF；②当点F在边AB上运动时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB，由平行线分线段成比例求得FH=．则△AEF的面积=AE•FH． |
| 解答： | 解：（1）当x=2时，AE=2，OF=6，则S△AEF=AE•OF=×2×6=6，即△AEF的面积是6； （2）∵在Rt△AOB中，AO=6，BO=8， ∴根据勾股定理得，AB==10． 当EF∥BO时，△AEF∽△ABO， ∴，解得； （3）当F与B重合时，，∴分两段讨论： ①0＜x≤时，F在OB上移动，； ②＜x≤6时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB， 则即， ∴FH= ∴=． |
| 点评： | 本题考查了相似综合题．涉及到的知识点有：勾股定理，相似三角形的判定与性质以及三角形的面积计算．解答（3）题时，如果没有分段，也应写出x的取值范围． |
23．（12分）（2013•拱墅区一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．
（1）直接写出抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设抛物线上的点Q，使△QAO与△AOB相似（不全等），求出点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点M（0，），连结QM并延长交抛物线另一点R，在直线QR下方的抛物线上找点P，当△PQR面积最大时，求点P的坐标及S△PQR的最大值．
| 考点： | 二次函数综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，﹣ ）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标． （2）点Q不与点B重合．先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标． （3）将M（0，）、Q1（9，3）代入y=kx+b，得直线QR的解析式为，求与抛物线的交点R：P点在直线QR下方且在抛物线上，故设P（x，）， 如图，过P作直线平行于y轴，交QR于点K，则K（x，），则S△PQR=S△QPK+S△RPK=PK（9﹣x+x+1）=﹣，所以根据求二次函数最值的方法知当x=4时，S△PQR最大=，则易求点P的坐标．同理求得P2（0，0），S△PQR最大=3． |
| 解答： | 解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0）， 又∵函数的顶点坐标为B（3，）， ∴， 解得， ∴该函数解析式为：， ∴由二次函数图象的对称性可知，点A与原点关于x=3对称， ∴点A的坐标为（6，0）； 综上所述，抛物线的解析式为，点A的坐标为（6，0）； （2）过B作BC⊥x轴于点C，Rt△OCB中，tan∠OBC=， ∴∠OBC=60°， ∴∠OBA=120°，△AOB是顶角为120°的等腰三角形，当点Q在x轴下方时，必与点B重合（舍去全等情况）， ∴当Q在x轴上方时，过Q作QD⊥x轴， ∵△QAO∽△AOB， ∴必有OA=AQ=6，且∠OAQ=120°， ∴∠QAD=60°， ∴AD=3，QD=3， ∴Q（9，3）． ∵Q（9，3）满足， ∴Q在抛物线上， 根据对称性Q2（也满足条件， ∴符合条件的Q点有两个：Q1（9，3）、Q2（； （3）设直线QR的解析式为y=kx+b（k≠0）． 将M（0，）、Q1（9，3）代入y=kx+b，得直线QR的解析式为， 令= 解得x1=﹣1，x2=9（即Q点舍去）， ∴R（﹣1，）， ∵P点在直线QR下方且在抛物线上，故设P（x，）． 如图，过P作直线平行于y轴，交QR于点K，则K（x，） 则S△PQR=S△QPK+S△RPK=PK（9﹣x+x+1）=[﹣（）]×10 =﹣ 当x=4时，S△PQR最大=， ∴点P的坐标为（4，）． 同理过Q2（、M的直线交抛物线R2，在Q2R2下方抛物线取点P2， 解得P2（0，0），S△PQR最大=3． |
| 点评： | 此题属于二次函数的综合题目，涉及了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答． |
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