高中数学三角函数解答题练习与答案

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若b＝6，且AC边上的中线长为4，求△ABC的面积．

解；（1）因为

所以a2+c2﹣b2＝ac，

由余弦定理可得，cosB，

所以B；

（2）设AC的中点D，由余弦定理可得，，

即，

整理可得，a2+c2＝50，

因为a2+c2﹣b2＝ac，b＝6，

所以ac＝14，

所以S

2．在△ABC中，∠BAC＝120°，sin∠ABC，D是线段CA延长线上一点，且AD＝2AC＝4．

（1）求sin∠ACB的值；

（2）求BD的长．

解：（1）∵sin∠ABC，可得cos∠ABC，

∴sin∠ACB＝sin（180°﹣∠BAC﹣∠ABC）＝sin（60°﹣∠ABC）＝sin60°cos∠ABC﹣cos60°sin∠ABC．

（2）∵由正弦定理，可得AB1，

∴由余弦定理可得：

BD．

3．在△ABC中，角A，B，C对边分别为，若2A＝B+A．

（1）求角A；

（2）若2𝑎＝+，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．

.解：（1）因为2ccosA＝acosB+bcosA．

由正弦定理得2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA，从而可得2sinCcosA＝sinC，

又C为三角形的内角，所以sinC≠0，于是，

又A为三角形内角，因此；

（2）设△ABC的外接圆半径为R，则R＝1，，

由余弦定理得，即3＝12﹣3bc，

所以bc＝3．所以△ABC的面积为：．

4．已知△ABC外接圆的半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若2R（sin2B﹣sin2A）＝（a+c）sinC．

（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）若b，c＝2，求sinA的值．

.解：（1）因为2R（sin2B﹣sin2A）＝（a+c）sinC．

所以2R•2R（sin2B﹣sin2A）＝2R（a+c）sinC．

集b2﹣a2＝ac+c2，

由余弦定理可得，cosB，

∵0＜B＜π，

∴B；

（2）∵b，c＝2，

由正弦定理可得，，

所以sinC，

因为b＞c，故C为锐角，cosC，

所以sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB

5．已知函数f（x）＝2sin（x）cosx，x∈R．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值与最小值．

.（1）解：f（x）＝2sin（x）cosx＝2（sinxcosx）cosx

＝sinxcosxcos2xsin2x•sin2xcos2xsin（2x），

故函数f（x）的最小正周期T＝π．

（2）当时，

2x，2x，

即当2x时，函数取得最大值，，

当2x时，函数取得最小值，．

6．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，c＝2．

（1）若b＝2，，求sinA；

（2）若BC，AC边上的高之比为2：1，求△ABC面积的最大值．

.解：（1）3（1﹣cosC），

∴sinC＝3﹣3cosC，

∵sin2C+cos2C＝1，

∴cosC，cosC＝1（舍去），

∴sinC，∴b＝c＝2，∴B＝C，

∴sinA＝sin（B+C）＝sin2c＝2sinCcosC＝2；

（2）∵BC，AC边上的高之比为2：1，

∴a：b＝1：2，即b＝2a，

由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC，

∴4＝5a2﹣4a2cosC，

∴cosC，

∵C是锐角，

∴cosC0，即a2，

∴sinC，

∴S△ABCabsinC，

当a2，即a时，△ABC面积的最大值为．

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cosAsinB＝sinA+2sinC．

（1）求角B的大小；

（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b．

.解：（1）∵2cosAsinB＝sinA+2sinC＝sinA+2sin（A+B）＝sinA+2sinAcosB+2sinBcosA，

∴sinA+2sinAcosB＝0，

∵sinA≠0，

∴1+2cosB＝0，解得cosB，

∵B∈（0，π），

∴B．

（2）∵a＝2，△ABC的面积为2，

∴acsinBc×sin2，解得c＝4，

∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得b2．

8．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．

（1）求角B的值；

（2）若，求的取值范围，

.解：（1）∵2（cosAsinA）（cosAsinA）＝2（cos2Asin2A）cos2A，

∴解得cos2B，可得2cos2B﹣1，

∴可得cos2B，∴cosB＝±，

∵B∈（0，π），∴B或．

（2）∵，

∴由（1）可得B，由正弦定理2，可得a＝2sinA，c＝2sinC，

∴ac＝2sinA﹣sinC＝2sinA﹣sin（A）＝2sinA﹣sincosA+cossinAsinAcosAsin（A），

∵b≤a，

∴A，A，

∴ac∈[，）．

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccosC+ac2cosA．

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC外接圆的半径为，求△ABC面积的最大值．

.解：（1）因为b（a2+c2﹣b2）＝ca2cosC+ac2cosA，

∴2abccosB＝ac2cosC+ac2cosA，

即2bcosB＝acosC+ccosA

由正弦定理可得，2sinBcosB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，

所以cosB，

因为B∈（0，π），所以B；

（2）由正弦定理可得，b＝2RsinB2，

由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2accosB，

即a2+c2﹣ac＝4，

因为a2+c2≥2ac，

所以4＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，即ac的最大值4，

所以△ABC面积S即面积的最大值．

10．已知函数．

（1）求f（x）的最小正周期以及的值；

（2）若，求g（x）在区间的最值．

.解：（1）函数

＝sin（2x）

＝（sin2xcos2x）（cos2xsin2x）

sin2xcos2x

sin（2x）；

所以f（x）的最小正周期为Tπ，

sin（2）；

（2）由sin[（π﹣2x）]sin（2x），

当x∈[，]时，2x∈[，]，

所以sin（2x）∈[﹣1，]，

所以sin（2x）∈[﹣1，]，

所以g（x）在区间的最小值为﹣1，最大值为．

11．已知函数．

（Ⅰ）若f（x+φ）为偶函数，且φ∈（0，π），求φ；

（Ⅱ）在△ABC中，角A满足f（A）＝1，sinB＝2sinC，a＝2，求△ABC的面积．

.解：（Ⅰ），

则，

由f（x+4）为偶函数可知，所以，

解得．

又因为φ∈（0，π），所以或．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，sinB＝2sinC⇒b＝2c，

所以由余弦定理得，，

所以△ABC的面积．

12．在平面四边形ABCD中，∠ABC．

（1）若∠ACB，求BD；

（2）若DCAB，求cos∠ACB．

.解：（1）如右图，∠ABC，∠ACB，

可得∠DAC，

在直角三角形ABC中，AB＝BCtan1，AC2，

可得△DAC为边长为2的等边三角形，

在△ABD中，∠DAB，可得BD；

（2）如右图，设AB＝x，则DCx，∠ACB＝α，则∠DAC＝2α，

在直角三角形ABC中，AC，

在△ACD中，由正弦定理可得，

即，

化简可得cosα，

即cos∠ACB．

13．△ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知向量（c﹣a，sinB），（b﹣a，sinA+sinC）且∥．

（1）求C；

（2）若，求sinA．

.解：（1）∵向量（c﹣a，sinB），（b﹣a，sinA+sinC）且∥，

∴（c﹣a）（sinA+sinC）＝（b﹣a）sinB，由正弦定理可得（c﹣a）（a+c）＝（b﹣a）b，

∴a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC，

∵C∈（0，π），

∴C．

（2）由（1）可得BA，由题设及正弦定理可得：sinC+3sin（A）＝3sinA，

即cosAsinA＝sinA，可得sin（A），

由于0，A，

∴cos（A），∴sinA＝sin（A）＝sin（A）coscos（A）sin．

14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanA（2cosC﹣sinA）＝cosA﹣2sinC．

（1）求角B的大小；

（2）若角B为锐角，b＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

.解：（1）∵tanA（2cosC﹣sinA）＝cosA﹣2sinC，

∴2sinAcosC﹣sin2A＝cos2A﹣2cosAsinC．

化简得，即，

∴，即．

∴或．

（2）∵B是锐角，

∴，

由，得，．

在△ABC中，由余弦定理得，

∴，

∴，

∴△ABC的周长为．

15．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．

.解：（Ⅰ）∵⇒asinBcosA，

∵⇒asinB＝bsinA；

∵b＝1；

所以：cosA＝sinA⇒tanA⇒A．（三角形内角）

（Ⅱ）因为a2＝b2+c﹣22bccosA⇒c2﹣c﹣3＝0⇒c；（负值舍）；

∴S△ABCbcsinA．

16．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ）的最小正周期是π，且当x时，f（x）取得最大值2．

（1）求f（x）的解析式；

（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．

.解：（1）因为函数f（x）的最小正周期是π，

所以ω＝2．

又因为当x时，f（x）取得最大值2．

所以A＝2，同时2φ＝2kπ，k∈Z，

φ＝2kπ，k∈Z，

因为φ，

所以φ，

所以f（x）＝2sin（2x）．

（2）因为x∈[0，π]，

所以2x∈[，]，

列表如下：

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b+c＝acosBasinB．

（1）求角A；

（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值．

.解：（1）由题意及正弦定理得sinB+sinC＝sinAcosBsinAsinB，

∵A+B+C＝π，

∴sinC＝sin（A+B），

sinB+sin（A+B）＝sinAcosBsinAsinB，

化简得sinB（sinA﹣cosA﹣1）＝0，

∵sinB＞0，

∴sinA﹣cosA﹣1＝0，

∴sin（A），

∵0＜A＜π，

∴A，

（2）∵a＝2，

∴由余弦定理得，bc＝b2+c2﹣12，

∴bc＝b2+c2﹣12≥2bc﹣12，（当且仅当b＝c），

∴bc≤12，

∴，

∴△ABC的面积的最大值为3．

18．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，AC＝BC，AD＝2，CD＝6．

（Ⅰ）当△ACD的面积最大时，求△ABC的面积；

（Ⅱ）若，求AB．

.解：（Ⅰ）由知当时，S△ACD最大，

此时，，

此时△ABC为等腰直角三角形；

（Ⅱ），

由余弦定理AC2＝CD2+AD2﹣2CD•ADcosD＝48

所以AB2＝AC2+BC2﹣AC•BCcos∠ACB＝，AB＝8

19．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，acosCcsinA＝b+c．

（1）求A；

（2）若a，b+c＝3，求b，c．

.解：（1）因为acosCcsinA＝b+c．

由正弦定理可得，sinAcosCsinCsinA＝sinB+sinC＝sin（A+C）+sinC，

展开可得，sinAcosCsinCsinA＝sinAcosC+sinCcosA+sinC，

因为sinC≠0，

所以，

即sin（A），

∴A或A（舍），

故A；

（2）因为a，b+c＝3，

由余弦定理可得，，

解可得，bc＝2，

所以或．

20．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且asin（A+C）．

（1）求角A的大小；

（2）若三边b，a，c的长成等比数列，△ABC的面积为，求a，b，c的长．

.解：（1）因为asin（A+C）．

所以asinB＝bsin（A），

故sinAsinB＝sinBsin（A），

所以sinA＝sin（A），

所以tanA，

∴，

（2）由题意可得，，

∴bc＝4，

∵a2＝bc＝4，∴a＝2，

由余弦定理可得，b2+c2﹣bc，

∴b2+c2＝8，

所以（b﹣c）2＝b2+c2﹣2bc＝0，所以b＝c，

故b＝c＝2．

21．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且（sinA﹣sinB）2＝sin2C﹣sinAsinB．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c＝1，△ABC的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由．

.解：（Ⅰ）△ABC中，由（sinA﹣sinB）2＝sin2C﹣sinAsinB，

得sin2A+sin2B﹣sin2C＝sinAsinB，

由正弦定理得a2+b2﹣c2＝ab；

所以cosC，

又C∈（0，π），所以C；

（Ⅱ）当c＝1时，△ABC的周长有最大值，且最大值为3，理由如下：

由正弦定理得，，

所以asinA，bsinB，

所以a+bsinAsinB[sinA+sin（A）]（sinAcosA）＝2sin（A）；

因为0＜A，所以A，

所以当A，即A时，a+b取得最大值为2，

所以△ABC的周长有最大值，最大值为3．

22．已知向量，且，其中A是△ABC的内角．

（1）求角A的大小

（2）若BC＝2，求△ABC面积S的最大值．

.解：（1）因为，

所以，

所以，

所以0，

即sin（2A）＝1，

因为0＜A＜π，

所以；

（2）由余弦定理可得，a2＝4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，

所以bc≤4，

所以S△ABC，即面积的最大值．

23．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若满足b（sinA+sinB）﹣a（sinA+sinB﹣sinC）＝csinC．

（1）求角B的大小；

（2）若b＝6，求△ABC面积的取值范围．

.解：（1）因为b（sinA+sinB）﹣a（sinA+sinB﹣sinC）＝csinC．

由正弦定理可得，ab+b2﹣a2﹣ab+ac﹣c2＝0，

即a2+c2﹣b2＝ac，

由余弦定理可得，cosB，

所以B，

（2）由a2+c2﹣b2＝ac可得a2+c2＝ac+36≥2ac，

∴ac≤36，

∴S△ABC，

故△ABC面积的取值范围（0，9]．

24．如图，已知函数y＝2sin（πx+φ）（x∈R，其中）的图象与y轴交于点（0，1）．

（1）求φ的值；

（2）求函数y＝2sin（πx+φ）的单调递增区间；

（3）求使y≥1的x的集合．

.解：（1）因为函数图象过点（0，1），所以2sin φ＝1，即sin φ．因为0≤φ，

所以φ．

（2）∵由（1）得y＝2sin（πx），∴2kπ≤πx2kπ，（k∈Z）单调递增，即2k≤x2k，（k∈Z）单调递增，

故y＝2sin（πx）在[2k，2k]单调递增．

∵2kπ≤πx2kπ，（k∈z）单调递减，即2k≤x2k，（k∈Z）单调递减

故y＝2sin（πx）在[2k，2k]单调递减；

（3）由y≥1，可得2sin（πx）≥1，所以2kπ≤πx2kπ，（k∈Z），解得2k≤x≤2k（k∈Z）．

故当y≥1的解集为[2k，2k]（k∈Z）．

25．在△ABC中，内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知sin2B＝sinAsinC．

（1）求证：0＜B；

（2）求2sin2sinB﹣1的取值范围．

.解：（1）由正弦定理可得，，

∵sin2B＝sinAsinC．

∴b2＝ac，

由余弦定理可得，cosB，

因为0＜B＜π，

所以0＜B；

（2）2sin2sinB﹣1＝﹣cos（A+C）+sinB

＝cosB+sinB，

∵0＜B，

∴，

∴，

2sin2sinB﹣1的范围（1，]．

26．已知f（x）＝2sinxcosx﹣2cos（x）cos（x）．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区问；

（Ⅱ）当x∈[0，π]时，若f（x）∈（﹣1，1]，求x的取值范围．

.解：（Ⅰ）f（x）＝2sinxcosx﹣2cos（x）cos（x），

sin2x﹣2cos（x）cos（x），

sin2x﹣2sin（x）cos（x），

sin2x﹣sin（2x），

sin2x﹣cos2x，

＝2（sin2xcos2x），

＝2sin（2x），

∴Tπ，

由2kπ≤2x2kπ，k∈Z，

故函数f（x）的单独递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，

（Ⅱ）∵f（x）∈（﹣1，1]，

∴﹣1＜2sin（2x）≤1，

∴sin（2x），

∴2kπ＜2xπ+2kπ，

∴kπ＜xkπ，

当k＝0时，0＜x，满足x∈[0，π]，

当m＝1时，π＜xπ，不满足x∈[0，π]，

综上所述x的范围为（0，]．

27．在△ABC中，M是BC边上一点，．

（1）求sinB；

（2）若，求MC．

.解：（1）由题意可得设∠BAM＝α，∠AMC＝β，由题意可得sinα＝sin45°，cosα，B＝β﹣α，cosβ，所以sinβ，

所以sinB＝sin（β﹣α）＝sinβcosα﹣cosβsinα；

（2）因为，

设MC＝x，BM＝2x，在△ABM中，由正弦定理可得，

所以，

所以AMx，因为AC2＝AM2+MC2﹣2AM•MC•cosβ，

所以42x2+x2﹣2x，解得MC＝x＝4，

所以MC的值为4．

28．已知函数．

（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；

（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的高h的最大值．

.解：（1）∵函数f（x）sinxsinxsin（x），

当x∈[0，π]时，x∈[，]，sin（x）∈[，1]．

（2）△ABC中，sin（C），∴C．

由余弦定理可得c2＝3＝a2+b2﹣2ab•cosC＝a2+b2﹣ab≥ab，当且仅当a＝b时，取等号，

即ab的最大值为3．

再根据S△ABC••hab•sin，故当ab取得最大值3时，h取得最大值为．

29．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且．

（Ⅰ）求．

（Ⅱ）若b＝4，cosC，求△ABC的面积．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos（2C）的值．

.解：（I）因为，

所以2sinA﹣sinAcosB＝sinBcosA，

所以2sinA＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC，

由正弦定理可得，；

（II）由余弦定理可得，，

整理可得，3a2+2a﹣16＝0，

解可得，a＝2，

因为sinC，

所以S△ABC；

（III）由于sin2C＝2sinCcosC＝2，cos2C＝2cos2C﹣1．

所以cos（2C）．

30．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a2﹣a＝2（b+c），a+2b＝2c﹣3．

（1）若，求a，b，c；

（2）求△ABC的最大角的弧度数．

（3）如果，，求实数m的取值范围．

.解：（1）由正弦定理，有，

∴可设c＝4k，．

由已知条件得a2﹣a﹣2c＝2b，2c﹣a﹣3＝2b，故a2﹣a﹣2c＝2c﹣a﹣3．

∴，即13k2﹣16k+3＝0，

∴或k＝1．

∵当时，b＜0，故舍去，∴k＝1，

∴，，c＝4，

（2）由已知二式消去2b，得，代入a2﹣a﹣2b﹣2c＝0中，

得，

∵a，b，c＞0，∴a＞3．

又，，

∴b＜c，a＜c，故c为最大边，所以角C最大，

∵，

，

而0＜C＜π，

∴，

（3）∵，

，

，

，

∵，

∴．

∴，

即m的取值范围是．