初一下数学期中复习

一、整式的运算

1 、学习整式的有关概念

（1）单项式：表示数与字母的乘积的代数式，叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，如、 2πr 、 a ， 0 ……都是单项式．

（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式

（3）整式：单项式和多项式统称为整式，如：－ab2 ，……是整式

（4）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．如 2a3b2c 的次数是 6 ，它是 6 次单项式．

（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．如 5x2y－2xy－1 是三次多项式．

2 、同类项：

所含字母相同并且相同字母的指数相等的项是同类项．

如－x2y 、 5yx2 和 3x2y 是同类项．

3 、合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

4 、整式的加减：整式的加减就是合并同类项．

5 、有关幂的运算法则

（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

即： am·an=am＋n （ m 、 n 都是正整数）

（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘

即： (am)n=amn （ m 、 n 都是正整数）

（3）积的乘方：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

即： (ab)n=anbn

（4）同底数幂的除法：同底数幂相除、底数不变、指数相减．

即： am÷an=am-n （a≠0 ， m 、 n 都是正整数且 m>n）

1、整式的乘法

　　（1）单项式与单项式相乘：把它们的系数相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

　　（2）单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

　　（3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2、平方差公式

(a＋b)(a－b)=a2－b2

即两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

3、完全平方公式：

(a＋b)2=a2＋2ab＋b2

(a－b)2=a2－2ab＋b2

即两数和（差）的平方，等于这两个数的平方和，再加上（减去）这两数积的2倍。

4、整式的除法

　　（1）单项式相除：把系数同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

　　（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

二、重难点知识归纳

    1 、在做整式加减运算时，要复习上学期所学的合并同类项、去括号等内容，灵活正确的计算，注意符号问题和乘方分配率的运用，整式加减的结果仍是整式．

    2 、对于几个幂的运算，要注意它们之间的联系与区别，不能混淆．

    1、单项式乘以单项式应分三步完成：首先是系数乘以系数，要注意有理数乘法的法则，特别符号问题，其次利用同底数幂的乘法的法则，把相同字母相乘，最后是其余不同字母连同它的指数，作为积的因式。

　　2、多项式的乘法，要利用乘法分配律将多项式乘以单项式，多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，再把所得积相加。

　　3、公式乘法其实是多项式乘以多项式的特殊情形，在运用公式时，要熟记套用公式的表达形式，不能出错。

4、整式的除法，是以同底数幂除法单项式除法为基础的一种运算，其结果应为整式。练习时，要知道整式除法的算法，同时还可以用不同方法做整式除法运算，如约分法，还可利用除以一个数等于乘以这个数的倒数的算法把除法转化为乘法等方法。

二、平行线与相交线

（一）从台球桌面上的角，引出有关角的概念

1、两角互余、互补的概念及性质

　　（1）定义：

　　如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角.（如图）简称互补.

　　如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角.（如图）简称互余.

　　说明：①互余、互补是指两个角的关系.

　　　　　②互补或互余的两个角，只与它们的和有关，而与其位置无关.

　　　　　③用数学语言表述为：

　　若∠α＋∠β=180°，则∠α与∠β互补；反之，若∠α与∠β互补，则∠α＋∠β=180°.

　　若∠α＋∠β =90°，则∠α与∠β互余；反之若∠α与∠β互余，则∠α＋∠β=90°.

（2）性质：

　　①同角或等角的补角相等.

　　②同角或等角的余角相等.

2、对顶角的概念

　　（1）如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.如图中的

　　　　 ∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角.

　　　由对顶角的位置特点也可将其描述为：

　　　①两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫做对顶角.

　　　②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.

　　　　说明：只有两条直线相交时，才能产生对顶角，对顶角是成对出现的.

　　　③对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线.

　　（2）对顶角的性质：

　　　　　对顶角相等.

（二）探索直线平行的条件

1、两条直线相交构成四个有公共顶点的角.一条直线与两条直线相交得八个角，简称“三线八角”，则

　 不共顶点的角的位置关系有同位角、内错角、同旁内角.

　　如图所示，直线 AB、CD被直线EF所截，形成了8个角.

　　（1）同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角.如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和∠8，∠2和∠6.

　　（2）内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角.例如∠3和∠5，∠4和∠6.

　　（3）同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.例如∠4和∠5，∠3和∠6.

2、两条直线平行的条件：

　　两条直线被第三条直线所截，如果

　　（1）同位角相等，两直线平行.

　　（2）内错角相等，两直线平行.

　　（3）同旁内角互补，两直线平行.

二、重难点知识剖析

1、互为补角和互为邻补角的关系.

　　互为补角是两个角的和为 180°，与它们的位置无关.

　　而互为邻补角既与它们的和为 180°有关，又与位置有关，不要混淆.

2、灵活运用互余、互补等知识点以及对顶角的性质列方程求解，即学会用代数法解几何题的方法.

3、证明两直线平行时，必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而

　 成的，因为推出的结论是除截线外的另两条直线平行.

1、平行线的特征

特征一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简单说成“两直线平行，同位角相等”，使用方

　　　　法如图：

　　　　∵ a∥b，∴ ∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）

特征二：两直线平行，内错角相等 .

　　　　使用方法：

　　　　∵ a∥b，∴ ∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）

特征三：两直线平行，同旁内角互补 .

　　　　使用方法：

　　　　∵ a∥b，∴ ∠2＋∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）

2、直线平行的条件与平行线的特征的区分表

3、尺规作图的意义

　　在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图。

　　虽然尺规也是画图工具，但尺规作图不同于用工具画图，尺规作图只限于用无刻度的直尺和圆规，直尺用于根据两点的位置作直线、射线、线段或作延长线，圆规用于根据圆心位置、半径大小作弧或圆。所以作图题都应用直尺或圆规作图，而不能把用三角尺画直角、画平行线等当作尺规作图。

　　本节课要求会利用尺、规作线段和一个角等于已知角等。

二、重难点知识剖析

　　1、（1）同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线特有的性质，切不可忽略前提条件：“两直线平行”。当两直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角不互补。

　　（2）只要两条直线被第三条直线所截，都存在同位角、内错角，但不一定相等，同旁内角不一定互补。

　　2、要分清平行线的识别和平行线的特征之间的关系，不要混淆运用，同时要学会综合运用这两者之间都是存在着“位置关系”和“数量关系”，其中由“数量关系”去确定“位置关系”是平行线的识别方法和过程，反之是平行线的特征。

　　3、用尺、规作线段和角时，要学会叙述几何作图语言，如过点×作直线××与直线××平行，或以点×为圆心，以××为半径作弧，等等。

三、生活中的数据

1、用“科学记数法”表示象百万分之一，这样较小的数是重点，用科学记数法表示一个数，就是把一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.

　　（1）当它表示绝对值大于1的数时，n为非负数且其值等于这个数的整数部分的位数减去1.

　　（2）当它表示绝对值小于1的数时，n为负整数且其值等于这个数的第一个有效数字前零的个数（包括小数点前面的零）。

　　　　　如：0.000365=3.65×10－4.

2、正确理解精确度和有效数字，并合理地按要求四舍五入取近似值是难点。

　　分清精确度和有效数字之间的关系，如：近似数8.5和8.50，前者精确到十分位，后者精确到百分位，前者有2个有效数字，后者有3个有效数字；又如2.6万与26000及2.6×104，它们的数值大小相同，但2.6万精确到千位，有2个有效数字，26000精确到个位，有5个有效数字，而2.6×104精确到千位，有两个有效数字，故2.6×104与2.6万表示形式不同，却在数值，精确度、有效数字上是相同的。

（1）近似数的意义

　　近似数就是与实际接近的数 .

　　出现近似数的原因有两点：一是有时数据完全准确是办不到的，如太阳的半径大约是696000千米，我国约有12亿人口等等；二是有时也没有必要使数据完全准确，如买1000克白菜，有时可能多一点，有时也可能少一点等等。

（2）精确度

　　一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

　　取一个数精确到某一位的近似数时，应对紧邻“某一位”后面的第一个数字进行四舍五入，而对后面的数字不应去考虑。

（3）有效数字

　　四舍五入后的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

例如：近似数23.040左边第一个不是0的数字是2，精确到的数位是千分位，故有五个有效数字，是2，3，0，4，0.近似数0.0608，左边第一个不是0的数字是6，精确到的数位是万分位，故有三个有效数字，是6，0，8.

（一）、学会数据处理的过程：

即收集数据、整理数据、描述和分析数据这几个过程.

（二）、从统计图中获取信息，形象地、有效地运用统计图描述数据 .

（三）、会制作统计图，形象地表示数据 .

二、重难点知识剖析

统计图象形象地刻画数据，常用的统计图有扇形统计图、条形统计图和折线统计图.