(三)正余弦定理习题课

郓城一中高二数学备课组 备课教师：      备课组长：       备课：        授课：    

一、三维目标

知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；掌握三角形各种类型的判定方法；能够应用三角形面积定理。

过程与方法：通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：正、余弦定理在解三角形问题时，沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，使学生了解事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，培养学生从本质上寻求事物之间内在联系的能力。

二、教学重难点

重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

三、学法指导：通过典型题型掌握用正弦定理,余弦定理及其变形解决问题的方法。

四、知识链接

1.正弦定理：

2.余弦定理及其推论：

五、学习过程

题型一、判断三角形解的个数问题

在利用正弦定理解“已知两边及其中一边的对角”的三角形时，可能有两解、一解、或无解。

例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况

分析：先由可进一步求出B；则,从而

1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。

因为从计算B时，只能取锐角的值，所以只有一解。

2．当A为锐角时，

如果≥，这时从计算B时，也只能取锐角的值，所以只有一解。

如果，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若，这时从计算得sinB<1,B可以取锐角和钝角，故有两解；

（2）若，这时从计算得sinB=1，B只能是直角，故有一解；

（3）若，这时从计算得sinB>1,故无解。

（以上解答过程详见课本第页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且

时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

练习1:已知△ABC中， （     ）

A 有一个解    B 有两个解     C 无解        D 不能确定 

题型二、三角形面积定理

例2：在△ABC中，证明三角形面积定理，即。

练习2：在△ABC中，已知△ABC的面积

题型三、判断三角形的形状

例3：在△ABC中，已知：acosA=bcosB, 试判断△ABC的形状。

分析：本题可从边或角两个角度出发给出解答。你能找到这两种方法吗？

练习3：在△ABC中，已知：acosA+bcosB=ccosC, 试判断△ABC的形状。

例4．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。

分析：由余弦定理可知

（注意：）

解：，即，∴。

题型四、正、余弦定理的综合应用

例5：在△ABC中，C=2A,a+c=10,cosA=,求b

练习4：设在锐角△ABC中，a=2bsinA,(1)求角B的大小，（2）若a=3,c=5,求b              

六、达标训练

A1.以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是（    ）

A.在中，    B.在中， 

C.在中，   D.在中，正弦值较大的角所对的边也较大

B2.在ABC中，若，，则ABC的外接圆的半径为（    ）

Ａ．        Ｂ．       Ｃ．          Ｄ． 

A3.在中, ,则等于（    ）

   A.         B.       C.或      D.或

B4.在ABC中，若，则这个三角形一定是（      ）

Ａ．等腰三角形　 Ｂ．直角三角形　　Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．正三角形

B5.在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

A6.已知，c＝2，B＝150°，求边b的长及三角形面积．

B7.在ABC中，，，面积为，求的值

C8.在△ABC中，是方程的两个根，且求（1）角的度数  （2）的长度   （3）△ABC的面积

C9.若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinC=2sinBcosA,试判断△ABC的形状。

七、归纳小结： 

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

（2）三角形各种类型的判定方法；    

（3）三角形面积定理的应用。

答案

5. 

B7.在ABC中，，，面积为，求的值

分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理

解：由得，

则=3，即，

从而

9.等边三角形