南京市2010届高三第二次模拟考试 (4)

数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.已知集合，，则=             

2.已经复数满足（i是虚数单位），则复数的模是       

3.若，且，则的最大值是     

4.已知函数其中，则函数有零点的概率是     

5.下图是根据某小学一年级10名学生的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，则选10名学生平均身高是      cm

6.根据如图所示的算法语句，可得输出的结果是        

7.等比数列的公比﹥0，已知，则的前四项和是 

8.过点（1，2）的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当D的面积最小时，直线的方程是            

9.若平面向量a,b满足｛a+b｝=1,a+b平行于y轴，a=(2,-1),则b=     

10.定义在R上的奇函数,当x∈（0，+∞）时，f(x)=,则不等式f(x)<-1的解集是        。

11.以椭圆（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交与A，B两点，已知△OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是        。

12.定义在R上的满足=则       

13.讲一个半径为5cm的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是

由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成600角。则水晶球

的球心到支架P的距离是    cm.

14. 已知定义域为D的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函

数”，已知下列函数： f(x)=2x②=；③ =；④ =，其中是“倍约束函数的是       

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本题满分14题，第1小题6分，第2小题8分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

（1）求角C的大小；

（2）如果a+b=6，,求的值。

16.（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）

  在三棱柱中, , ,

(1)求证：平面;

(2)如果D为AB中点，求证： 

17. （本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）

如图，现在要在一块半径为1m。圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M,N在OB上，设的面积为S。

（1）求S关于的函数关系式；

（2）求S的最大值及相应的值

18. （本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）

已知圆O：和点M（1，a），

（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；

（2）若，过点M的圆的两条弦AC.BD互相垂直，求AC+BD的最大值。

19. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知函数

（1）当a=1时，求函数f(x)的单调增区间

（2）求函数f(x)区间【1，e】上的最小值；

（3）设，若存在，使得成立，求实数a的取值范围。

20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题10分， ）

设数列的前n项积为；数列的前n项和为

（1）设。证明数列成等差数列；求证数列的通项公式；

（2）若恒成立，求实数k的取值范围

附加题

解答题（本大题满分40分，1-4题为选做题，每小题10分，考生只需选做其中2题，多选做的按前两题计分，5-6题为必做题，每题10分）

1.（几何证明选讲选做题）

如图，在△ABC中，∠C=900,BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆。

（1）求证：AC是⊙O的切线。

（2）如果，AD=6,AE=6,求BC的长。

2.（矩阵与变换选做题）

在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（2，0），C（2，1），求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵：

3.（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为   

试在椭圆C上求一点P,使得P到直线L的距离最小。

4.（不等式选做题）

已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+4c2的最小值，并求出取最小值时a,b,c的值。

5.袋中有8个除颜色不同其他都相同的球，其中1个为黑球，2个为白球，5个为红球，

（1）如果从袋中遗传摸出2个球，求所摸出的2个球颜色不同的概率；

（2）如果从袋中一次摸出3个球，记得到红球的个数为X,求随机变量X的分布概率及数学期望E(X)

6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为（1，0）。

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）设M,N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为-4，直线MO,NO与抛物线的焦点分别为点A、B,求证：动直线AB恒过一个定点。