2011年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

数学(文)试题

一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)

1、设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则(M∩N)＝(　　) 

A．{1，2}            B．{2，3}      C．{2，4}           D．{1，4}

2、函数 y＝2(x≥0)的反函数为(　　) 

A． (x∈R)                     B． (x≥0)  

  C．y＝4x2(x∈R)                   D．y＝4x2(x≥0)

3、设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，，则|a＋2b|＝(　　) 

A.                B．               C．                D．

4、若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为(　　)

A．17                 B．14             C．5                D．3

5、下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　) 

A．a＞b＋1           B．a＞b－1     C．a2＞b2             D．a3＞b3

6、设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　) 

A．8                 B．7                C．6                 D．5

7、设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于(　　) 

A．                B．3               C．6               D．9

8、已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝…(　　) 

A．2              B．               C．              D．1

9、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(　　) 

A．12种             B．24种      C．30种            D．36种

10、(5分)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－5/2)＝(　　) 

A．               B．          C．              D．

11、设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　) 

A．4               B．             C．8              D．

12、已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(　　) 

A．7π               B．9π              C．11π              D．13π

二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)

13、 (1－x)10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为______．

14、已知，tanα＝2，则cosα＝______.

15、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．

16、已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝______.

三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)

17、设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn.

18、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

. 

（1）求B；

（2）若A＝75°，b＝2，求a，c.

19、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互． 

（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（2）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

20、如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. 

（1）证明：SD⊥平面SAB；

（2）求AB与平面SBC所成的角的大小．

21、已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)． 

（1）证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)；

（2）若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1，3)，求a的取值范围．

22、已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，点P满足. 

（1）证明：点P在C上；

（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上．

2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）

数学(文)试题

答案解析:

一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)

1、(5分) D　

M∩N＝{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}，

又∵U＝{1，2，3，4}，∴(M∩N)＝{1，4}．

2、(5分) B　

由 (x≥0)得 (y≥0)，

∴，∴反函数为 (x≥0)．

3、(5分) B　

由|a|＝|b|＝1，，

得

.

4、(5分) C　

由x，y的约束条件画出可行域如图：

设l0：，

则过A点时，z的值最小．

由得A(1，1)，

∴zmin＝2×1＋3×1＝5. 

5、(5分) A　

A项中a＞b＋1＞b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．

6、(5分) D　

由Sk＋2－Sk＝24，∴ak＋1＋ak＋2＝24，

∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，∴2a1＋(2k＋1)d＝24.

又a1＝1，d＝2，∴k＝5. 

7、(5分) C　

由题意得：为函数f(x)＝cosωx的最小正周期的正整数倍，∴ (k∈N*)，

∴ω＝6k(k∈N*)，∴ω的最小值为6. 

8、(5分) C　

如图，AB＝2，AC＝BD＝1，连结BC，则△ABC为直角三角形，

∴.

又△BCD为直角三角形，

 ∴.

9、(5分) B　

先从4人中选2人选修甲课程，有种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有种方法．

10、(5分) A　

∵f(x)是周期为2的奇函数，

∴

11、(5分) C　

由题意可设两圆的方程均为：(x－r)2＋(y－r)2＝r2.

将(4，1)代入，可得：(4－r)2＋(1－r)2＝r2，

∴r2－10r＋17＝0.∴此方程两根r1，r2分别为两圆半径，

∴两圆心的距离

12、(5分) D　

由题意可得截面图形．

∵圆M的面积为4π，∴圆M的半径为2.

∵α与β所成二面角为60°，

∴∠BMC＝60°.

在△OMB中，∠OMB＝90°，MB＝2，OB＝4，∴∠OBM＝60°.

∴OB∥CD，.

在△OMN中，∠OMN＝30°，，∴.

∴.

∴圆N的面积为.

二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)

13、(5分) 0

解析：(1－x)10的通项公式.

∴，，

∴系数之差为.

14、(5分) 

解析：∵α∈(π，)，tanα＝2，

∴.又sin2α＋cos2α＝1，∴5cos2α＝1，

∴.

15、(5分) 

解析：如图，连结DE.∵AD∥BC，

∴AE与BC所成的角，即为AE与AD所成的角，即∠EAD.

设正方体棱长为a，∴，

∴，

∴.

16、(5分) 6

解析：F1(－6，0)，F2(6，0)，M(2，0)，

∴|F1M|＝8，|MF2|＝4.

由内角平分线定理得：

，

又|AF1|－|AF2|＝2a＝2×3＝6，

∴2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝6. 

三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)

17、(10分) 解：设{an}的公比为q，由题设得

解得或

当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；

当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1. 

18、(12分) 解：（1）由正弦定理得.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.

故，因此B＝45°.

（2） sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.

故，

.

19、(12分) 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．

（1）P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，

P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.

（2） ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，

P(E)＝×0.2×0.82＝0.384. 

20、(12分) 

解法一：

（1）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2.

连结SE，

则SE⊥AB，.

又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，

所以∠DSE为直角．

由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.

SD与两条相交直线AB、SE都垂直．

所以SD⊥平面SAB.

（2）由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.

作SF⊥DE，垂足为F，

则SF⊥平面ABCD，.

作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1.

连结SG，则SG⊥BC.

又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG.

作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.

，即F到平面SBC的距离为.

由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为.

设AB与平面SBC所成的角为α，

则，.解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)．

又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，

（1） ＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，

由得

，

故x＝1.

由得y2＋z2＝1，

又由得x2＋(y－2)2＋z2＝4，

即y2＋z2－4y＋1＝0，故，.

于是，，，，，.

故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，

所以SD⊥平面SAB.

（2）设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，

则，，，.

又，，

故

取p＝2得．又，

.

故AB与平面SBC所成的角为.

21、(12分) 解：（1）f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a.

由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a，得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，

由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)．

（2）由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0.

①当时，f(x)没有极小值；

②当或时，由f′(x)＝0，得

，，

故x0＝x2.由题设知1＜－a＋＜3.

当时，不等式无解；

当时，解不等式，

得.

综合①②得a的取值范围是(，)．

22、(12分) 解：（1）F(0，1)，l的方程为，代入并化简得.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，

则，，

，，

由题意得，y3＝－(y1＋y2)＝－1.

所以点P的坐标为．

经验证，点P的坐标)满足方程，故点P在椭圆C上．

（2）由P和题设知，Q，PQ的垂直平分线l1的方程为.①

设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为.②

由①②得l1、l2的交点为N，

，

，

，，

，

故|NP|＝|NA|.

又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，

所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，

由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．