九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)

一、定义与定义表达式 

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a≠0），则称y为x的二次函数。

二、二次函数的三种表达式 

一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）

顶点式：y=a(x-h) 2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和 B（x2，0）），对称轴所在的直线为x=

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=-，k= ；  x1, x2= ；x1+x2=-

三、二次函数的图像 

从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质

1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2．抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。 当x=-时，y最值=，当a>0时，函数y有最小值；当a<0时，函数y有最大值。

当-=0时，P在y轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上（即函数与x轴只有一个交点）。

3．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。 

当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。

对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a相等；若形状相同，开口方向相反，则a互为相反数。

4．二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：

当对称轴在y轴左边时，a与b同号（即ab＞0）； 

当对称轴在y轴右边时，a与b异号（即ab＜0）。 

5．常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点（0，c）。

6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：

Δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；

Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。 

Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。 

五、二次函数与一元二次方程 

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）

六、常用的计算方法：

1、求解析式的时候：

若给定三个普通点的坐标，则设为一般式y=ax2+bx+c（a≠0），分别将三点坐标代入组成三元一次方程组，然后解此方程组求出a、b、c，再代回设的一般式中即可求出解析式；

若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0），再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的顶点式即可求出解析式；

若给定有与x轴的交点坐标，则设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的交点式即可求出解析式。

以上方法特别要注意括号内的正负号。

2、若求函数与x轴的交点坐标，让y=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标；

3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式；

4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式（同顶点坐标）。

5、当需要判定函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴没有交点时，需判定方程ax2+bx+c=0的Δ<0，同理，与x轴只有一个交点时，Δ=0，与x轴有两个交点时，Δ>0。对Δ的判定方法仍然是用配方的方法。