第三课 正弦定理、余弦定理(一)

2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求

前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用.

Ⅱ.讲授新课

［例1］已知△ABC，BD为B的平分线，求证：AB∶BC＝AD∶DC

分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而

B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为＝，＝，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.

证明：在△ABD内，利用正弦定理得：

＝，即＝

在△BCD内，利用正弦定理得：

＝，即＝.

∵BD是B的平分线.∴∠ABD＝∠DBC，

∴sinABD＝sinDBC.

∵∠ADB＋∠BDC＝180°，∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC

∴＝＝＝，∴＝

评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.

［例2］在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC

分析：此题所证结论包含关于△ABC的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理.

另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B＝2sinB·cosB等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.

证明一：（化为三角函数）

a2sin2B＋b2sin2A

＝（2RsinA）2·2sinB·cosB＋（2RsinB）2·2sinA·cosA

＝8R2sinA·sinB（sinAcosB＋cosAsinB）＝8R2sinAsinBsinC

＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC

所以原式得证.

证明二：（化为边的式子）

左边＝a2·2sinBcosB＋b2·2sinA·cosA

＝a2··＋b2··

＝（a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2）

＝·2c2＝2ab·＝2absinC 

评述：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A＝2sinA·cosA，正弦两角和公式sin（A＋B）＝sinA·cosB＋cosA·sinB；由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.

三角形的有关证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.

［例3］已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB

求证：A＋B＝120°

分析：要证A＋B＝120°，由于A＋B＋C＝180°，只要证明C＝60°，而已知条件为三角函数关系，故应考虑向三角函数的转化，又在0°～180°之间，余弦值所对应角唯一，故可证明cosC＝，而由余弦定理cosC＝，所以应考虑把已知的角的关系式转化为边的关系.

证明：由（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinA·sinB

可得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA·sinB

又∵sinA＝，sinB＝，sinC＝，

∴＋－＝·

整理得a2＋b2－c2＝ab

∴cosC＝＝

又0°＜C＜180°，∴C＝60°

∴A＋B＝180°－C＝120°

评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；

（2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，要求学生熟练掌握.

［例4］在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.

分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.

解法一：利用余弦定理将角化为边.

∵bcosA＝acosB

∴b·＝a·

∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2

∴a2＝b2        ∴a＝b

故此三角形是等腰三角形.

解法二：利用正弦定理将边转化为角.

∵bcosA＝acosB

又b＝2RsinB，a＝2RsinA

∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB

∴sinAcosB－cosAsinB＝0

∴sin（A－B）＝0

∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π

∴A－B＝0，即A＝B

故此三角形是等腰三角形.

评述：（1）在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；

（2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinB·cosA＝sinAcosB两端同除以sinAsinB得cotA＝cotB，再由0＜A，B＜π，而得A＝B.

为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.

Ⅲ.课堂练习

1.在△ABC中，证明下列各式：

（1）（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝0

（2）－＝－.

证明：（1）左边＝（a2－b2－c2）＋（a2－b2＋c2）

＝（a2－b2－c2）··＋（a2－b2＋c2）··

＝[＋]

＝（－1＋1）＝0＝右边

故原命题得证.

（2）左边＝－＝（－）－＋

＝－－＋＝－＝右边

故原命题得证.

评述：（1）在（1）题证明时应注意两点：一是切化弦的思路，二是结合正、余弦定理将角的关系转化为边的关系；

（2）（2）题证明过程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三种形式cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A，由于考虑到等式右端为边的关系，故选用第三种形式，在转化为边的关系时较为简便.

2.在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2，试判断此三角形的类型.

解：∵sinB·sinC＝cos2，∴sinB·sinC＝

∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］

将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得cosBcosC＋sinBsinC＝1

∴cos（B－C）＝1

又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π

∴B－C＝0，∴B＝C

故此三角形是等腰三角形.

评述：（1）此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cosA＝2cos2－1的逆用，要求学生注意；

（2）由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断.其中，要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.

Ⅴ.课后作业

补充作业：

1.在△ABC中，已知＝，求证：2b2＝a2＋c2.

证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）

cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B

2cos2B＝cos2A＋cos2C

2·＝＋

∴2sin2B＝sin2A＋sin2C

由正弦定理可得2b2＝a2＋c2.

2.在△ABC中，A＝30°，cosB＝2sinB－sinC.

（1）求证：△ABC为等腰三角形；（提示B＝C＝75°）

（2）设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值.

答案：（1）略  （2）1∶