江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(Word版含解析...

一、填空题：（本大题共14小题；每小题3分，共42分，把答案填在答题卡的相应位置．）

1．（3分）设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁∪A）∪（∁∪B）=．

2．（3分）函数y=log2（3x﹣2）的定义域是．

3．（3分）如图，设实数a，b，c，d＞0，且不等于1，曲线①，②，③，④分别表示函数y=ax，y=bx，y=logcx，y=logdx在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d的大小顺序为．

4．（3分）某高级中学高一特长班有100名学生，其中学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，那么同时学绘画和音乐的学生有人．

5．（3分）已知幂函数y=xα的图象过点（8，4），则这个函数的解析式是．

6．（3分）已知函数f（n）=，其中n∈N，则f（8）等于．

7．（3分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．

8．（3分）函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是．

9．（3分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，若f（x）＞f（2﹣x），则x的取值范围是．

10．（3分）（log43+log83）（log32+log92）+log=．

11．（3分）函数f（x）=xlog2x﹣3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是．

12．（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是．

13．（3分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是．

14．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log6）=．

二、解答题：（本大题共6小题，共计58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.）

15．（8分）集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，

（1）求A∪B；

（2）求（∁RA）∩B；

（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．

16．（8分）函数y=a2x+2ax﹣1（a＞0且a≠1）在区间[﹣1，1]上有最大值14，试求a的值．

17．（10分）已知a为实数，当a分别为何值时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有两个、三个、四个互不相等的实数根？

18．（10分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：

f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，

（1）求a的值；

（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？

（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？

19．（10分）已知函数f（x）=2ax+（a∈R）．

（1）当0＜a≤时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；

（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．

20．（12分）已知函数f（x）=lg．

（1）判断函数f（x）的奇偶性；

（2）若f（x）≤1，求实数x的取值范围；

（3）关于x的方程10f（x）=ax有实数解，求实数a的取值范围．

2014-2015学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、填空题：（本大题共14小题；每小题3分，共42分，把答案填在答题卡的相应位置．）

1．（3分）设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁∪A）∪（∁∪B）={0，1，4}．

考点：    交、并、补集的混合运算． 

专题：    集合．

分析：    由全集U，以及A，B，求出A的补集与B的补集，找出两补集的并集即可．

解答：    解：∵全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，

∴∁∪A={4}，∁∪B={0，1}，

则（∁∪A）∪（∁∪B）={0，1，4}，

故答案为：{0，1，4}

点评：    此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．（3分）函数y=log2（3x﹣2）的定义域是{x|x＞}．

考点：    函数的定义域及其求法． 

分析：    对数函数的真数一定要大于0，即，3x﹣2＞0，从而求出x的取值范围．

解答：    解：因为3x﹣2＞0，得到x

故答案为：{x|x＞}

点评：    对数函数定义域经常考，注意真数一定要大于0．

3．（3分）如图，设实数a，b，c，d＞0，且不等于1，曲线①，②，③，④分别表示函数y=ax，y=bx，y=logcx，y=logdx在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d的大小顺序为d＞c＞a＞b．

考点：    对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    根据指数函数的和对数的函数的图象和性质判断即可．

解答：    解：由函数的图象可得①y=ax 是减函数，②y=bx是减函数，故底数a，b都是大于0且小于1的实数．

作出直线x=1和函数①②图象的交点，可得a＞b，故0＜b＜a＜1．

由函数的图象可得函数③y=logcx 和④y=logdx是增函数，故底数c，d都是大于1的实数．

作出直线y=1和函数③④图象的交点，可得d＞c，故有 d＞c＞1．

综上可得 d＞c＞a＞b

故答案为：d＞c＞a＞b

点评：    本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，属于基础题

4．（3分）某高级中学高一特长班有100名学生，其中学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，那么同时学绘画和音乐的学生有33人．

考点：    Venn图表达集合的关系及运算． 

专题：    集合．

分析：    根据学生学特长之间的关系即可得到结论．

解答：    解：∵学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，

∴学绘画和学音乐的人数是100﹣21=79人，

∵学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，

∴同时学绘画和音乐的学生有67+45﹣79=33人，

故答案为：33

点评：    本题考查两个集合的交集、并集、补集的定义，比较基础．

5．（3分）已知幂函数y=xα的图象过点（8，4），则这个函数的解析式是f（x）=．

考点：    幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    设幂函数f（x）=xα，把点（8，4）代入即可解出．

解答：    解：设幂函数f（x）=xα，把点（8，4）代入可得4=8α，解得．α=

∴f（x）=．

故答案为：f（x）=．

点评：    本题考查了幂函数的定义，属于基础题．

6．（3分）已知函数f（n）=，其中n∈N，则f（8）等于7．

考点：    函数的值． 

专题：    计算题．

分析：    根据解析式先求出f（8）=f[f（13）]，依次再求出f（13）和f[f（13）]，即得到所求的函数值．

解答：    解：∵函数f（n）=，

∴f（8）=f[f（13）]，

则f（13）=13﹣3=10，

∴f（8）=f[f（13）]=10﹣3=7，

故答案为：7．

点评：    本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．

7．（3分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．

考点：    对数的运算性质． 

专题：    计算题．

分析：    利用换底公式进行转化求解是解决本题的关键，然后将所得分式的分子与分母的真数化为2，3的乘积的形式进行代入计算出结果．

解答：    解：log512==．

故答案为：．

点评：    本题考查对数换底公式的运用，考查对数运算性质的应用，考查学生等价转化的能力和运算化简得能力．

8．（3分）函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．

考点：    对数函数的单调性与特殊点． 

专题：    计算题．

分析：    由x2﹣2x＞0，得x＜0或x＞2，u=x2﹣2x在（2，+∞）内单调递增，而y=lgu是增函数，由“同增异减”，知函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．

解答：    解：由x2﹣2x＞0，得x＜0或x＞2，

u=x2﹣2x在（2，+∞）内单调递增，

而y=lgu是增函数，

由“同增异减”，知函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．

故答案为：（2，+∞）．

点评：    本题考查对数函数的单调性和应用，解题时要认真审题，注意灵活运用“同增异减”求解复合函数的单调区间的方法．

9．（3分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，若f（x）＞f（2﹣x），则x的取值范围是（1，2）．

考点：    函数单调性的性质． 

专题：    计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析：    由于f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，则f（x）＞f（2﹣x），等价为，解出即可．

解答：    解：由于f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，

则f（x）＞f（2﹣x），

等价为，解得，

即有1＜x＜2．

则解集为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

点评：    本题考查函数的单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于基础题．

10．（3分）（log43+log83）（log32+log92）+log=﹣．

考点：    对数的运算性质． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    利用对数的运算法则和换底公式求解．

解答：    解：（log43+log83）（log32+log92）+log

=（log27+log9）（log94+log92）+

=log243•log98+

=﹣

=﹣

=1﹣

=﹣．

故答案为：﹣．

点评：    本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质和运算法则的合理运用．

11．（3分）函数f（x）=xlog2x﹣3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是2．

考点：    函数零点的判定定理． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    求f′（x），判断函数f（x）取得最值的情况，以及取得零点的情况，及零点的个数，并且能够得到函数f（x）只有一个零点，并且是在（2﹣ln2，+∞）内．容易判断f（2）＜0，f（3）＞0，所以零点在区间（2，3）内，所以根据已知f（x）在（k，k+1），k∈Z，内有零点，所以k=2．

解答：    解：f′（x）=ln2+log2x，令f′（x）=0得，x=2﹣ln2，且0＜2﹣ln2＜1；

∴x∈（0，2﹣ln2）时，f′（x）＜0，x∈（2﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；

∴f（x）在（0，2﹣ln2）上单调递减，在（2﹣ln2，+∞）上单调递增；

又x趋向于0时，log2x＜0，x＞0，∴xlog2x＜0，即函数f（x）在（0，2﹣ln2）内不存在零点；

又∵f（2）=2﹣3＜0，f（3）=3log23﹣3＞0；

∴f（x）在区间（2，3）内存在一个零点，且在（2﹣ln2，+∞）内只有一个零点；

由已知f（x）零点所在区间为（k，k+1），（k∈Z）；

∴k=2．

故答案为：2．

点评：    考查通过判断函数导数符号判断函数单调性的方法，以及函数零点的概念，以及单调函数取得零点的情况．

12．（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是0≤m≤4．

考点：    一元二次不等式的应用． 

专题：    不等式的解法及应用．

分析：    问题等价于mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，分m=0，和m≠0两种情况可得答案．

解答：    解：∵函数f（x）=的定义域是一切实数，

∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，

当m=0时，上式变为1＞0，恒成立，

当m≠0时，必有，解之可得0＜m≤4，

综上可得0≤m≤4

故答案为 0≤m≤4

点评：    本题考查二次函数的性质，涉及函数的定义域和不等式恒成立问题，属基础题．

13．（3分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是[，3]．

考点：    二次函数的性质． 

专题：    计算题；数形结合．

分析：    根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解

解答：    解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，

∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，

故由二次函数图象可知：

m的值最小为；

最大为3．

m的取值范围是：≤m≤3．

故答案[，3]

点评：    本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．

14．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log6）=．

考点：    抽象函数及其应用． 

专题：    计算题；函数的性质及应用．

分析：    由题意先判断﹣3＜log6＜﹣2，从而可知先用f（x+2）=f（x）转化到（﹣1，0），再用奇偶性求函数值即可．

解答：    解：∵﹣3＜log6＜﹣2，

又∵f（x+2）=f（x），

∴f（log6）=f（log6+2）

=f（log），

∵﹣1＜log＜0，

∴0＜log2＜1，

又∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（log）=﹣f（log2）

=﹣（﹣2）=﹣（﹣2）=，

故答案为：．

点评：    本题考查了抽象函数的应用，属于中档题．

二、解答题：（本大题共6小题，共计58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.）

15．（8分）集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，

（1）求A∪B；

（2）求（∁RA）∩B；

（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．

考点：    交、并、补集的混合运算． 

专题：    集合．

分析：    （1）由A与B，求出两集合的并集即可；

（2）由全集R及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；

（3）根据A与C的交集不为空集，求出a的范围即可．

解答：    解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，

∴A∪B={x|2＜x＜10}；

（2）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，

∴∁RA={x|x＜3或x≥10}，

则（∁RA）∩B={x|2＜x＜3}；

（3）∵A={x|3≤x＜10}，C={x|x＜a}，且A∩C≠∅，

∴a＞3．

点评：    此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

16．（8分）函数y=a2x+2ax﹣1（a＞0且a≠1）在区间[﹣1，1]上有最大值14，试求a的值．

考点：    指数函数综合题． 

分析：    令b=ax构造二次函数y=b2+2b﹣1，然后根据a的不同范围（a＞1或0＜a＜1）确定b的范围后可解．

解答：    解：令b=ax则a2x=b2

∴y=b2+2b﹣1=（b+1）2﹣2   对称轴b=﹣1

若0＜a＜1，则b=ax是减函数，所以a﹣1＞a

所以0＜a＜b＜

所以y的图象都在对称轴b=﹣1的右边，开口向上 并且递增

所以b=时有最大值

所以y=b2+2b﹣1=14∴b2+2b﹣15=0∴（b﹣3）（b+5）=0

b＞0，所以    b==3，a=符合0＜a＜1

若a＞1则b=ax是增函数，此时0＜＜b＜a

y的图象仍在对称轴b=﹣1的右边，所以还是增函数

b=a时有最大值

所以y=b2+2b﹣1=14

b＞0，所以b=a=3，符合a＞1

所以a=或a=3

点评：    本题主要考查指数函数单调性的问题．对于这种类型的题经常转化为二次函数，根据二次函数的图象和性质进行求解．

17．（10分）已知a为实数，当a分别为何值时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有两个、三个、四个互不相等的实数根？

考点：    函数的零点与方程根的关系． 

专题：    计算题；作图题；函数的性质及应用．

分析：    方程|x2﹣6x+8|﹣a=0的解的个数可转化为函数y=|x2﹣6x+8|与y=a的交点的个数，作函数y=|x2﹣6x+8|的图象，由数形结合求a．

解答：    解：方程|x2﹣6x+8|﹣a=0的解的个数可转化为

函数y=|x2﹣6x+8|与y=a的交点的个数，

作函数y=|x2﹣6x+8|的图象如下，

故由图象可知，

当a=0或a＞1时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有两个互不相等的实数根，

当a=1时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有三个互不相等的实数根，

当0＜a＜1时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有四个互不相等的实数根．

点评：    本题考查了函数图象的作法及方程的根与函数交点的关系，属于中档题．

18．（10分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：

f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，

（1）求a的值；

（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？

（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？

考点：    分段函数的应用． 

专题：    计算题；应用题；函数的性质及应用．

分析：    （1）由题意，100•﹣60=140，从而求a的值；

（2）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=﹣15×35+0=115，从而可得答案；

（3）分别讨论三段函数上f（t）≥140的解，从而求出f（t）≥140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间．

解答：    解：（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，

即100•﹣60=140，

解得，a=4；

（2）f（5）=140，f（35）=﹣15×35+0=115，

由于f（5）＞f（35），

故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；

（3）①当0＜t≤10时，

由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，

②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；

③当20＜t≤40时，﹣15t+0≥140，

故20＜t≤，

综上所述，5≤t≤，

故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持﹣5=分钟．

点评：    本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．

19．（10分）已知函数f（x）=2ax+（a∈R）．

（1）当0＜a≤时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；

（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．

考点：    利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 

专题：    导数的综合应用．

分析：    （1）利用定义证明即可，

（2）利用导数判断函数的最值，需要分类讨论，问题得以解决

解答：    解：（1）f（x）在（0，1]上的单调性递减，

理由如下：

设x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=2ax1+﹣2ax2﹣=2a（x1﹣x2）+=（1﹣2ax1x2），

∵x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，0＜a≤，

∴x2﹣x1＞0，0＜x1•x2＜1，0＜2ax1x2＜1，1﹣2ax1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）在（0，1]上的单调性递减，

（2）∵f（x）=2ax+，

∴f′（x）=2a﹣=，

①当a≤0时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（0，1]单调递减，

∴f（x）min=f（1）=2a≥6，

解得a≤3，

∴a≤0时，对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，

②当a＞0时，

令f′（x）=0，解得x=，

当f′（x）＞0，即x＞，函数f（x）单调递增，

当f′（x）＜0，即0＜x＜，函数f（x）单调递减，

当≥1时，即0＜a≤时，f（x）在（0，1]上的单调性递减，

∴f（x）min=f（1）=2a≥6恒成立

解得a≤3，

当＜1时，即a＞时，

∴f（x）在（0，]上的单调递减，在（，1）上单调递增，

∴f（x）min=f（）=2a•+≥6恒成立，

解得a≥，

综上所述实数a的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）

点评：    本题主要考查了函数的单调性和导数与函数的最值问题，以及求参数的取值范围，属于中档题

20．（12分）已知函数f（x）=lg．

（1）判断函数f（x）的奇偶性；

（2）若f（x）≤1，求实数x的取值范围；

（3）关于x的方程10f（x）=ax有实数解，求实数a的取值范围．

考点：    指、对数不等式的解法；函数奇偶性的判断；函数的零点． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    （1）令真数大于0可得到函数的定义域，利用对数的运算律化简f（﹣x），判断出与f（x）的关系，再由函数奇偶性的定义得出结论；

（2）把f（x）≤1化为：lg≤lg10，由函数的定义域和对数函数的单调性，列出不等式组求出x的范围；

（3）根据解析式把方程10f（x）=ax有实数解化为：a=在（﹣1，1）有实数解，设g（x）=，并求出g′（x）化简后，利用二次函数的性质得到单调区间，求出函数的最大值、最小值，得到函数的值域，就是实数a的取值范围．

解答：    解：（1）由得，（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，

所以函数f（x）的定义域是（﹣1，1），

因为f（﹣x）=lg=lg=﹣lg=﹣f（x），

所以函数f（x）是奇函数；

（2）由f（x）≤1得，lg≤1=lg10，

所以，即，解得﹣≤x＜1，

则实数x的取值范围是[﹣，1）；

（3）由10f（x）=ax得，=ax，且﹣1＜x＜1，

当x=0时，方程不成立；

当x≠0时，方程化为a=，设g（x）=，

则方程10f（x）=ax有实数解化为a=在（﹣1，1）有实数解，

即实数k属于函数g（x）=在（﹣1，1）上的值域，

则g′（x）==，

令h（x）=x2﹣2x﹣1=0，解得x==1，则x=1，

所以当﹣1＜x＜1﹣时，h（x）＞0，则g′（x）＞0，

当1＜x＜1时，h（x）＜0，则g′（x）＜0，

所以g（x）在区间（﹣1，1﹣）单调递增，在（1﹣，1）上单调递减，

则函数g（x）最小值是g（1﹣）==，

又g（1）=0，g（﹣1）无意义，所以函数g（x）最大值是0，

所以函数g（x）的值域是[，0），

即实数a的取值范围是：[，0）．

点评：    本题考查对数函数的单调性、定义域，函数奇偶性的判断，对数不等式、分式不等式的求法，以及函数与导数的应用，考查运算求解能力与化归、转化思想．属于难题．