全国通用!高中数学高考知识点总结

                     教育院 数学组组长:张杰

集合

函数

附：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数中；余切函数中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

    1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法

五、函数单调性的常用结论：

1、若均为某区间上的增（减）函数，则在这个区间上也为增（减）函数

2、若为增（减）函数，则为减（增）函数

3、若与的单调性相同，则是增函数；若与的单调性不同，则是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在处有定义，则，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数和复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，；     当时，；  当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式： 

注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：直线斜率k，且过点

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：（）直线两点， 

④截矩式： 

其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

⑤一般式：（A，B不全为0）

注意：各式的适用范围     特殊的方程如：

平行于x轴的直线：（b为常数）；    平行于y轴的直线：（a为常数）； 

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；

（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为

（为参数），其中直线不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当，时，

； 

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

相交

交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解；          方程组有无数解与重合

（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，

则 

（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程，圆心，半径为r；

（2）一般方程

当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为

当时，表示一个点；  当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；； 

（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有

；； 

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。

 (3)过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题)．

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

设圆， 

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当时，两圆内含；   当时，为同心圆。

三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形  ②侧面是梯形    ③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

　　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=

4、空间点、直线、平面的位置关系

（1）平面

① 平面的概念：  A.描述性说明；  B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；   点A在直线l外，记作Al；

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1： 

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据    ②它是证明平面重合的依据

（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言： 

公理3的作用：    

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

（6）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。   B、证明作出的角即为所求角   C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：aα     a∩α＝A    a∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

 线线平行线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为。  ②平面的垂线与平面所成的角：规定为。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

7、空间直角坐标系

（1）定义：如图，是单位正方体.以A为原点，

分别以OD,O,OB的方向为正方向，建立三条数轴。

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O叫做坐标原点  2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）

（4）空间两点距离坐标公式：

高一数学必修3公式总结以及例题

§1 算法初步

 秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下：

例题：秦九韶算法计算多项式

  答案：  6  ， 6

 理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法…       (algorithm)

     1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.

     2. 算法的特征：

①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去

②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。

③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度

3. 算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构

 流程图：（flow chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。

  注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯

2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。

3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。

 算法结构： 顺序结构，选择结构，循环结构

                                            直到型循环            当型循环

Ⅰ.顺序结构（sequence  structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

Ⅱ.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。

Ⅲ.循环结构（cycle structure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。    

 基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudo  code），且是使用 BASIC语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用，也可以用  ;   表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“”

Ⅰ. 赋值语句（assignment statement）：用表示， 如： ，表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.

一般格式：“” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “”，但此时的 “ = ”不是数算中的等号，而应理解为一个赋值号。

注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“ = ”具有计算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的，而a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3

   都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如：a = b = c = 2  , a , b ,

c =2 都是错误的，而 a = 3 是正确的.

例题：将x和y的值交换

  ,  同样的如果交换三个变量x,y,z的值 :     

Ⅱ.  输入语句（input statement）:  Read  a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b

输出语句（out   statement） ：Print x ,y  表示一次输出 运算结果x ,y

注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句，意旨不能在Print 语句中用 “ = ”4. Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “  ； ”隔开.

例题：当x等于5时，Print “x = ”; x  在屏幕上输出的结果是   x = 5

Ⅲ.条件语句（conditional statement）：

1. 行If语句:   If  A  Then  B             注：没有 End   If   

    2. 块If语句：    注：①不要忘记结束语句End   If  ，当有If语句嵌套使用时，有几个If ，就必须要有几个End  If  ②. Else  If  是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外Else  If 后面也要有End   If   ③  注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④  为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：

If    A  Then

B

Else

C

End   If

If    A  Then

B

Else  If  C Then

    D

End   If

例题:  用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.

Read  a , b , c

If  a≥b Then

   If  a≥c Then

      Print  a 

   Else 

Print  c

   End  If  

Else 

   If  b≥c Then

Print  b

Else 

Print  c

End  If  

End  If

Read  a , b , c

If  a≥b  and  a≥c  Then

Print  a

Else If  b≥c Then

Print  b

Else

Print  c

End  If

                                      或者 

                                     注：1.  同样的你可以写出求三个数中最小的数。

                                         2.  也可以类似的求出四个数中最小、大的数

Ⅳ.循环语句（ cycle statement）：  当事先知道循环次数时用  For 循环 ，即使是 N次也是已知次数的循环   当循环次数不确定时用While循环   Do  循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.

While  A

      …

End While      While循环

For I From 初值 to  终值 Step  步长

    …

End  For           For 循环

Do  

      …

Loop Until   p   直到型Do循环

Do   While   p 

      …

Loop            当型Do循环

说明：1. While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断.  2. 凡是能用While循环书写的循环都能用For 循环书写  3. While循环和Do循环可以相互转化 4. Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.

例题：（见课本）

❻

颜老师友情提醒：1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。

2. 在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。

3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！

高中数学必修4知识点

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为

第二象限角的集合为

第三象限角的集合为

第四象限角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

3、与角终边相同的角的集合为

4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．

6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．

7、弧度制与角度制的换算公式：，，．

8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．

9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：，，．

12、同角三角函数的基本关系： 

； 

．

13、三角函数的诱导公式：

，，．

，，．

，，．

，，．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

，．

，．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数

的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

函数的性质：

振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：．

函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为的向量．

单位向量：长度等于个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

三角形法则的特点：首尾相连．

平行四边形法则的特点：共起点．

三角形不等式：．

运算性质：交换律：；结合律：； ．

坐标运算：设，，则．

18、向量减法运算：

三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

坐标运算：设，，则．

设、两点的坐标分别为，，则．

19、向量数乘运算：

实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．

；

当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．

运算律： ； ； ．

坐标运算：设，则．

20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．

设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．

21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．

23、平面向量的数量积：

．零向量与任一向量的数量积为．

性质：设和都是非零向量，则．当与同向时，；当与反向时，；或． ．

运算律： ； ； ．

坐标运算：设两个非零向量，，则．

若，则，或．

设，，则．

设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

；

；

；

；

（）；

（）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

．

（，）．

．

26、，其中．

高中数学必修5知识点

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

2、正弦定理的变形公式： ，，；

，，；

；

．

3、三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，，

．

5、余弦定理的推论：，，．

6、设、、是的角、、的对边，则：若，则；

若，则；若，则．

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

8、数列的项：数列中的每一个数．

9、有穷数列：项数有限的数列．

10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

13、常数列：各项相等的数列．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

15、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

18、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

19、若等差数列的首项是，公差是，则．

20、通项公式的变形： ； ； ；

； ．

21、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．

22、等差数列的前项和的公式： ； ．

23、等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且，．

若项数为，则，且，（其中，）．

24、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

25、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．

26、若等比数列的首项是，公比是，则．

27、通项公式的变形： ； ； ； ．

28、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．

29、等比数列的前项和的公式：．

30、等比数列的前项和的性质：若项数为，则．

．

，，成等比数列．

31、；；．

32、不等式的性质： ； ； ；

，； ；

； ；

．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．

若，，则点在直线的上方．

若，，则点在直线的下方．

39、在平面直角坐标系中，已知直线．

若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．

若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．

40、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．

线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

41、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．

42、均值不等式定理： 若，，则，即．

43、常用的基本不等式： ； ；

； ．

44、极值定理：设、都为正数，则有

若（和为定值），则当时，积取得最大值．

若（积为定值），则当时，和取得最小值．

高中数学高考知识练习

  1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

    中元素各表示什么？

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

    空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

  3. 注意下列性质：

    （3）德摩根定律：

  4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

的取值范围。

  6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？

    （互为逆否关系的命题是等价命题。）

    原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

  7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

    （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

  8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

    （定义域、对应法则、值域）

  9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

  10. 如何求复合函数的定义域？

    义域是_。

  11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

  12. 反函数存在的条件是什么？

    （一一对应函数）

    求反函数的步骤掌握了吗？

    （①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

  13. 反函数的性质有哪些？

    ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

    ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

  14. 如何用定义证明函数的单调性？

    （取值、作差、判正负）

    如何判断复合函数的单调性？

    ∴……）

  15. 如何利用导数判断函数的单调性？

值是（    ）

    A. 0            B. 1            C. 2            D. 3

    ∴a的最大值为3）

  16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

    （f(x)定义域关于原点对称）

    注意如下结论：

    （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

  17. 你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。）

    如：

  18. 你掌握常用的图象变换了吗？

    注意如下“翻折”变换：

  19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

    的双曲线。

    应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

    ②求闭区间［m，n］上的最值。

    ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

    ④一元二次方程根的分布问题。

    由图象记性质！         （注意底数的限定！）

    利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

  20. 你在基本运算上常出现错误吗？

  21. 如何解抽象函数问题？

    （赋值法、结构变换法）

  22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

    （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

    如求下列函数的最值：

  23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

  24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

  25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

    （x，y）作图象。

  27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

  28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

  29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

    （平移变换、伸缩变换）

    平移公式：

    图象？

  30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

     “奇”、“偶”指k取奇、偶数。

    A. 正值或负值        B. 负值        C. 非负值        D. 正值

  31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

    理解公式之间的联系：

    应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

    具体方法：

    （2）名的变换：化弦或化切

    （3）次数的变换：升、降幂公式

    （4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

  32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

    （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

  33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

  34. 不等式的性质有哪些？

    答案：C

  35. 利用均值不等式：

值？（一正、二定、三相等）

    注意如下结论：

  36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

    （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

    并注意简单放缩法的应用。

    （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

  38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

  39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

  40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

    （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

    证明： 

   （按不等号方向放缩）

  42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

  43. 等差数列的定义与性质

    0的二次函数）

    项，即：

  44. 等比数列的定义与性质

  46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

    例如：（1）求差（商）法

    解： 

［练习］

    （2）叠乘法

    解： 

    （3）等差型递推公式

［练习］

    （4）等比型递推公式

［练习］

    （5）倒数法

  47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

    例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

    解： 

［练习］

    （2）错位相减法：

    （3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

［练习］

  48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

    △零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

    若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

    △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

    若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

    p——贷款数，r——利率，n——还款期数

  49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

    （2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

    （3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

  50. 解排列与组合问题的规律是：

    相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

     如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

    则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（    ）

    A. 24        B. 15        C. 12        D. 10

    解析：可分成两类：

    （2）中间两个分数相等

    相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。

    ∴共有5＋10＝15（种）情况

  51. 二项式定理

    性质：

    （3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

    表示）

  52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

    的和（并）。

    （5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

    （6）对立事件（互逆事件）：

    （7）事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互事件。

  53. 对某一事件概率的求法：

    分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

    （5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次重复试验中A恰好发生

    如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

    （1）从中任取2件都是次品；

    （2）从中任取5件恰有2件次品；

    （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

    解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

    而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

    （4）从中依次取5件恰有2件次品。

    解析：∵一件一件抽取（有顺序）

    分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

  54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

  55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

    要熟悉样本频率直方图的作法：

    （2）决定组距和组数；

    （3）决定分点；

    （4）列频率分布表；

    （5）画频率直方图。

    如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

  56. 你对向量的有关概念清楚吗？

    （1）向量——既有大小又有方向的量。

    在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

    （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

    规定零向量与任意向量平行。

    （7）向量的加、减法如图：

    （8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

的一组基底。

    （9）向量的坐标表示

表示。

  57. 平面向量的数量积

    数量积的几何意义：

    （2）数量积的运算法则

［练习］

    答案： 

    答案：2

    答案： 

  58. 线段的定比分点

    ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

  59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

    平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

    线面平行的判定：

    线面平行的性质：

    三垂线定理（及逆定理）：

    线面垂直：

    面面垂直：

  60. 三类角的定义及求法

    （1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

    （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

    （三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

    三类角的求法：

    ①找出或作出有关的角。

    ②证明其符合定义，并指出所求作的角。

    ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

［练习］

    （1）如图，OA为α的斜线OB为其在α影，OC为α内过O点任一直线。

    （2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

    ①求BD1和底面ABCD所成的角；

    ②求异面直线BD1和AD所成的角；

    ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

    （3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

    （∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）

  61. 空间有几种距离？如何求距离？

    点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

    将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

        如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

    （1）点C到面AB1C1的距离为___________；

    （2）点B到面ACB1的距离为____________；

    （3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

    （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

    （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

  62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

    正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

    正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

    正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

    它们各包含哪些元素？

  63. 球有哪些性质？

    （2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

    （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

    （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

    积为（ ）

    答案：A

  . 熟记下列公式了吗？

    （2）直线方程：

  65. 如何判断两直线平行、垂直？

  66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？

    圆心到直线的距离与圆的半径比较。

    直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

  67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

  68. 分清圆锥曲线的定义

  70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

  71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

    如：

    通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

  72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

    答案： 

  73. 如何求解“对称”问题？

    （1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

  75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

    （直接法、定义法、转移法、参数法）

  76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。