北京市海淀区高一上期末数学试卷((含答案))

一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（　　）

A．1∈∁U（M∪P）    B．2∈∁U（M∪P）    C．3∈∁U（M∪P）    D．6∉∁U（M∪P）

2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（　　）

A．f（x）=x2﹣4x    B．g（x）=3x+1    C．h（x）=3﹣x    D．t（x）=tanx

3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（　　）

A．﹣9    B．﹣1    C．1    D．9

4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（　　）

A．f（x）=x    B．f（x）=sinx    C．f（x）=cosx    D．f（x）=log2（x2+1）

5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．

6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（　　）

A．    B．    C．    D．

7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（　　）

A．x=﹣    B．x=    C．x=    D．x=

8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（　　）

A．函数f（x）一定存在最大值    B．函数f（x）一定存在最小值

C．函数f（x）一定不存在最大值    D．函数f（x）一定不存在最小值

二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

9．（4分）函数y=的定义域为　   　．

10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为　   　．

11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=　   　．

12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）

（i）若∠ACB是直角，则x=　   　

（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是　   　．

13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到　   　单位．

14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x

（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为　   　；

（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为　   　．

三.解答题（本大题共4小题，共44分）

15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）

（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；

（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．

16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．

（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；

（Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；

（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．

（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）

（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分

（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；

（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；

（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．

选做题（本题满分10分）

19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|

（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；

（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；

（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．

2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（　　）

A．1∈∁U（M∪P）    B．2∈∁U（M∪P）    C．3∈∁U（M∪P）    D．6∉∁U（M∪P）

【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以∁U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；

故选：C．

2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（　　）

A．f（x）=x2﹣4x    B．g（x）=3x+1    C．h（x）=3﹣x    D．t（x）=tanx

【解答】解：对于A，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足题意；

对于B，g（x）=3x+1在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足题意；

对于C，h（x）=3﹣x=是（﹣∞，0）上的单调减函数，不满足题意；

对于D，t（x）=tanx在区间（﹣∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．

故选：B．

3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（　　）

A．﹣9    B．﹣1    C．1    D．9

【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥，

可得t=9．

故选：D．

4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（　　）

A．f（x）=x    B．f（x）=sinx    C．f（x）=cosx    D．f（x）=log2（x2+1）

【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数．

A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，

故选B．

5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．

【解答】解：sin（+）+cos（﹣）=．

故选：C．

6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：设向量，的夹角为θ，

以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，

∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），

∵向量=，=，

∴E（，1），F（1，），

∴=（，1），=（1，），

∴||=，=，•=+=，

∴cosθ===，

∴θ=，

故选：B

7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（　　）

A．x=﹣    B．x=    C．x=    D．x=

【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称，

∴2×+φ=kπ，k∈Z，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，

∵|φ|＜，

∴φ=，可得：f（x）=3sin（2x+），

∴令2x+=kπ+，k∈Z，可得：x=+，k∈Z，

∴当k=0时，可得函数的对称轴为x=．

故选：B．

8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（　　）

A．函数f（x）一定存在最大值    B．函数f（x）一定存在最小值

C．函数f（x）一定不存在最大值    D．函数f（x）一定不存在最小值

【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+∞），

y=x2的值域为[0，+∞），

且M∪P=R，

若M=（0，+∞），P=（﹣∞，0]，

则f（x）的最小值为0，故D错；

若M=（﹣∞，2），P=[2，+∞），

则f（x）无最小值为，故B错；

由M∪P=R，可得图象无限上升，

则f（x）无最大值．

故选：C．

二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

9．（4分）函数y=的定义域为　[2，+∞）　．

【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．

∴函数y=的定义域为[2，+∞）．

故答案为：[2，+∞）．

10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为　c＜b＜a　．

【解答】解：∵a=40.5＞40=1，

0＜b=0.54＜0.50=1，

c=log0.54＜log0.51=0，

∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a．

故答案为：c＜b＜a．

11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=　﹣　．

【解答】解：∵角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣=，∴x=﹣，∴tanα==﹣，

故答案为：﹣．

12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）

（i）若∠ACB是直角，则x=　　

（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是　（﹣2，﹣）∪（2，+∞）　．

【解答】解：（i）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），

∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），

∵∠ACB是直角，

∴=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣1）（﹣1）=x2﹣3=0，

解得x=．

（ii）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），

∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），=（x+2，1），=（4，0），=（x﹣2，1），=（﹣4，0），

∵△ABC是锐角三角形，

∴，解得﹣2＜x＜﹣或x＞2．

∴x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．

故答案为：，（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．

13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到　320　单位．

【解答】解：由题意，令x=40，v=10     

 10=alog24；所以a=5；

v=25 m/s，25=5 log，得到x=320单位．

故答案为：320．

14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x

（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为　（2，+∞）　；

（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为　[，1）　．

【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，

∵f（x）＞1，

∴，

解得x＞2，

故x的取值范围为（2，+∞），

（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，

①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：

两函数的图象恒有交点，

②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：

要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，

∴a≥，故≤≤a＜1

③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：

两函数的图象恒有交点，

综上①②③知：≤a＜1

故答案为：（2，+∞），[，1）

三.解答题（本大题共4小题，共44分）

15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）

（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；

（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，

∴=0，

解得：b=0； 

（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c，

则g（x）=f（x）﹣2=x2+c﹣2，

若函数g（x）有两个不同的零点，

则△=﹣4（c﹣2）＞0，

解得：c＜2； 

（Ⅲ）证明：函数f（x）=x2+c的开口朝上，

∵|c2+1|2﹣|c|2=c4+c2+1=（c2+）2+＞0恒成立，

故|c2+1|＞|c|，

故不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．

16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，=+，∴ω=2，结合五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，

∴f（x）=2sin（2x+），它的最小正周期为=π．

（Ⅱ）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，

可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．

（Ⅲ）在区间[0，]上，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）∈[﹣，2]，

即函数f（x）的值域为[﹣，2]．

17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．

（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；

（Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；

（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．

（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；

（Ⅱ），，•=﹣时，

即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以锐角α=60°；

（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，

则由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，

所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．

18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．

（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）

（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分

（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；

（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；

（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．

【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．

②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．

∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．

（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．

又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），

令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．

（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．

又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），

令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．

（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=ax是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），

∴Tax+T=ax，化为：TaTax=ax，∵ax＞0，∴TaT=1，即aT=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，

∴当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．

选做题（本题满分10分）

19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|

（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；

（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；

（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．

【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），

由•=•，可得x+2y=3x+4y，

即为x+y=0，

则集合V（，）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）；

（2）由（1）可得这些向量共线．

理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），

由•=•，可得as+bt=cs+dt，

即有s=t，

即=（t，t），

故集合V（，）中元素的关系为共线；

（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），

=（u，v），=（e，f），

若V（，）=V（，），

即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，

解得a=•c+•e+，

可令d=f，可得λ1=，

λ2=，

则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．