全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算__    ，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.

2．设是连续函数，且满足, 则____________.

3．曲面平行平面的切平面方程是__________.

4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_____.

二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.

三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.

四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：

（1）；   （2）.

五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和.       八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.

第二届全国大学生数学竞赛预赛试题

一、（25分，每小题5分）

（1）设其中求             （2）求。

（3）设，求。

（4）设函数有二阶连续导数，，求。

（5）求直线与直线的距离。

二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且且存在一点，使得,证明：方程在恰有两个实根。

三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。

四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛； （2）当且时，级数发散。

五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。

六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线证明  （2）求函数；（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。

第三届全国大学生数学竞赛预赛试题

一．计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）.求；                  （2）.求；

（3）已知，求。

二．（10分）求方程的通解。

三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。

四．（17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

五．（16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（）取上侧，是S在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示S的正法向的方向余弦。计算：（1）；（2）

六．（12分）设f(x)是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义证明：绝对收敛。

七．（15分）是否存在区间上的连续可微函数f(x)，满足，

？请说明理由。

第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一.每题6分共30分

1.求极限；                      2.求极限；

3.求通过直线的两个相互垂直的平面，是其中一个平面过点（）；

4.已知函数，且，确定常数和，使函数满足方程；

5.设函数连续可微，，且在右半平面上与路径无关，求；

二.（10分）计算；

三.（10分）求方程的近似解，精确到；

四.（12分）设函数二阶可导，且，求，其中是曲线上点处切线在轴上的截距；

五.（12分）求最小实数，使得对满足的连续的函数，都有；

六.（12分）设为连续函数，，区域是由抛物面和球面所围起来的上半部分，定义三重积分，求；

七.（14分）设与为正项级数那么（1）若，则收敛；（1）若，则若发散，收敛。

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、解答下列各题（每小题6分共24分）

1.求极限.     2.证明广义积分不是绝对收敛的

3.设函数由确定，求的极值。

4.过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点A的坐标。

二、（12分）计算定积分

三、（12分）设在处存在二阶导数，且。证明 ：级数收敛。

四、（12分）设，证明

五、（14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。

六、（14分）设，其中为常数，曲线C为椭圆，取正向。求极限

七（14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。

第六届全国大学生数学竞赛预赛试题

一 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)

1.已知和是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_ 

2.设有曲面和平面。则与平行的的切平面方程是_

3.设函数由方程所确定。求_____

4.设。则_    5.已知。则__

二 （12分）设为正整数，计算。

三 （14分）设函数在上有二阶导数，且有正常数使得。证明：对任意，有。

四 （14分）（1）设一球缺高为，所在球半径为。证明该球缺体积为。球冠面积为；（2）设球体被平面所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型曲面积分

五 （15分）设在上非负连续，严格单增，且存在，使得。求

六 （15分）设。求

第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

（1）极限                          .

（2）设函数由方程所决定，其中具有连续偏导数，且。则             .

（3）曲面在点的切平面与曲面所围区域的体积是       .

(4)函数在的傅立叶级数在收敛的值是             .

（5）设区间上的函数定义域为的，则的初等函数表达式是           .

二、（12分）设是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。

三、（12分）设在内二次可导，且存在常数，使得对于，有，则在内无穷次可导。

四、（14分）求幂级数的收敛域，及其和函数。

五、（16分）设函数在上连续，且。试证：

（1）使     （2）使

六、（16分）设在上有连续的二阶偏导数，且。若

证明：。

第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，满分30分）

1、若在点可导，且，则            .

2、若，存在，求极限.

3、设有连续导数，且，记，若，求在的表达式.

4、设，求，.

5、求曲面平行于平面的切平面方程.  

二、（14分）设在上可导，，且当，，

试证当，. 

三、（14分）某物体所在的空间区域为，密度函数为，求质量. 

四、（14分）设函数在闭区间上具有连续导数，，，

证明：. 

五、（14分）设函数在闭区间上连续，且，证明：在内存在不同的两点，使得. 

六、设在可导，且. 用Fourier级数理论证明为常数.

第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一填空

1. 已知可导函数满足, 则

2．求

3. 设具有二阶连续偏导数，且，其中为非零常数。则=____。

4. 设有二阶导数连续，且，则=______

5不定积分=________.

6. 记曲面和围成空间区域为，则三重积分=__________.

二（本题满分14分) 设二元函数在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度，定义一元函数.若对任何都有且. 证明是的极小值. 

三 (本题满分14分)  设曲线为在，，

上从到的一段. 求曲线积分

四(本题满分15分) 设函数且在实轴上连续，若对任意实数，有，则，。

五(本题满分15分)  设为一个数列，为固定的正整数。若，其中为常数，证明。