函数图像变换与基本初等函数

一、函数的图象与图象交换

基础例题

　　1、已知函数，且满足，则a=________。

　　解析：，

　　　　　∴的曲线关于（1，0）点对称。

　　　　　又是由y=x3左右平移得到的，易知a=－1。

　　2、利用图象变换画出下列函数的图象

　　（1）； （2）； （3）。

　　解析：

　　（1）

　　　　 ∴的图象可由的图象向右平移一个单位得。

　　（2）

　　（3）

　　3、已知函数的图像过点（0，1），那么函数的反函数的图像一定经过下列各点中的（ ）

　　A．（4，―1） 　　　B．（1，―4）　　　 C．（―4，1）　　　 D．（1，4）

　　解析：原函数向左平移，相应反函数向下平移。答案选B。

　　4、填空：

　　（1）将函数y=3x2―4x―12的图象沿向量平移后的解析式为__________。

　　（2）函数与的图像关于直线x=1对称，则________。

　　解析：

　　（1） ∴

　　　　 即

　　　　 ∴

　　（2）的图象与图象关于直线x=1对称，

　　　　 即，∴

　　5、若函数在R上单调递减，则的单减区间为 （―2，+∞）。

　　解析：由复合函数单调性可知，的单减区间即为|x+2|=u的单增区间。

二、几个具体常见的函数

　　1、设二次函数满足，且图象在y轴上的截距为1，截x轴所得线段的长为，求的解析式。

　　解析： ∴图象关于x=―2对称，

　　　　　∴ ①

　　　　　图象在y轴截距为1，∴c=1 ②

　　　　　截x轴所得线段长为，即的2根 ③

　　　　　由①②③可解，b=2，c=1，

　　　　　∴

　　2、已知函数的值域为R，求a的取值范围。

　　解析：的值域为R，∴u=x2―2x+a要取遍（0，+∞）

　　　　　∴Δ=4―4a≥0，∴a≤1

　　3、比较大小：

　　（1）与；

　　（2）和；

　　（3）、和；

　　（4）和；

　　（5）和

　　（6）、和。

　　解析：

　　（1）， 

　　　　 ∴， 即。

　　（2）α=－1.2的幂函数在（0，+∞）上单减，

　　　　 0.7＞0.17，

　　　　 ∴

　　（3），

　　　　 又的幂函数在（0，+∞）上单增，

　　　　 ∴

　　　　 ∴

　　（4）0.5＜1 ∴

　　　　 ∴

　　（5）

　　　　 ∴，即。

　　（6），

　　　　 ∴

　　　　 综上。

　　4、解关于x的不等式

　　（1）（且）

　　（2）（且）

　　解析：

　　（1）若a＞1，则2x2－3x+1＞x2+2x－5，即 x＜2或x＞3

　　　　 若0＜a＜1，则2x2－3x+1＜x2+2x－5，即2＜x＜3

　　　　 ∴a＞1时不等式解集为（－∞，2）∪（3，+∞），

　　　　 0＜a＜1时不等式解集为（2，3）

　　（2）若a＞1，则x须满足

　　　　 或

　　　　 若0＜a＜1，则x须满足

　　　　 或。

三、对数运算性质及指数、对数方程

1．指、对数运算性质

　　1、计算：

　　（1）_______；　　　　　　　（2）________；

　　（3）_________；　（4）________。

　　解析：

　　（1）；

　　（2）；

　　（3）

　　　　 ；

　　（4）

　　　　 。

　　2、已知a=lg2，b=lg3，用a、b表示________。

　　解析：。

2．指、对数方程

　　1、解下列方程：

　　（1）；

　　解析：

　　法一，同底，原方程即，∴2x=x+1，∴x=1

　　法二： 即，∴2x=x+1，∴x=1

　　法三：令，t2=2t，∴t=2 ，∴x=1

　　（2）；

　　解析：，即，∴x=1

　　（3）；

　　解析：令，则t＞0，t2+3t－18=0（t＞0），∴t=3，∴x=1

　　（4）；

　　解析：原方程相当于