2021届江苏省百校联考高三上学期第一次考试数学试题(解析版)

一、单选题

1．设全集，集合，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】根据，利用补集运算得到，然后再利用交集运算求解.

【详解】

因为，

所以.

故选：B

【点睛】

本题考查集合的基本运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.

2．设复数，(是虚数单位，)，若，则（    ）

A．2    B．-2    C．-3    D．3

【答案】D

【解析】利用复数的乘法运算法则计算，令虚部为0即可.

【详解】

因为，

所以 即.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了复数的运算以及复数的为纯虚数的条件，属于基础题.

3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（    ）

A．6.1毫米    B．32.6毫米    C．61毫米    D．610毫米

【答案】C

【解析】利用标准差公式即可求解.

【详解】

设这7天降雨量分别为，，，，，，

则 

因为1厘米=10毫米，

这7天降雨量分别为10，10，10，10，10，10，10，

平均值为=265，

所以标准差变为.

故选：C

【点睛】

本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.

4．若函数的图像经过点，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】将点代入，根据正弦函数图象和性质求得值，进而得出解析式,即可得出结果.

【详解】

因为函数的图象过点，

所以，从而，

解得.又，所以，则，，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查三角函数的图象和性质及三角函数求值，考查运算求解能力.

5．某班级8位同学分成，，三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（    ）

A．140    B．160    C．80    D．100

【答案】A

【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在组或组和甲､乙两位同学在组；

【详解】

甲､乙两位同学在组或组的情况有种，

甲､乙两位同学在组的情况有种，共计140种.

故选：A.

【点睛】

本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.

6．某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式增长.假设在该传染病流行初期的感染人数为，且每位已感染者平均一天会传染给位未感染者的前提下，天后感染此疾病的总人数可以表示为，其中且.已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔16天感染此病的人数会增加为原来的倍，则的值是（    ）

A．2    B．4    C．8    D．16

【答案】C

【解析】由题意可知代入可求出，即可求解.

【详解】

由题意得，化简得.

所以.

故选：C

【点睛】

本题考查指数型函数的应用以及数学建模，考查运算求解能力.属于基础题.

7．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】C

【解析】分析出函数在区间和上的单调性，由偶函数的性质得出，分和，解不等式组和，即可得出的取值范围.

【详解】

因为函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，所以.

①当时，若，可得，则，可得；

若，可得，则，可得；

②当时，若，可得，则，可得；

若，可得，则，可得.

综上所述，的取值范围为.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的性质及不等式的解法，考查化归与转化的数学思想，属于中等题.

8．假设地球是半径为的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线(弧)是0度经线，位于平面上，且交轴于点，如图所示,已知赤道上一点位于东经60度，则地球上位于东经30度､北纬60度的空间点的坐标为（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】设点投影到平面上的点为，利用数量关系可知，进而求出结果.

【详解】

设点投影到平面上的点为，则，，，

又与轴正向的夹角为，由在轴与轴的投影可知，

因此点的坐标为.

故选：A.

【点睛】

本题考查立体几何中的空间点的位置问题，考查空间想象能力.

二、多选题

9．已知曲线的方程为，则下列选项正确的是（    ）

A．当时，一定是椭圆    B．当时，是双曲线

C．当时，是圆    D．当且时，是直线

【答案】BCD

【解析】根据曲线方程，结合各选项一一判断即可；

【详解】

解：对于A，若，，此时变为，不表示椭圆，故A错误；

对于B，若，则可化为，表示双曲线，故B正确.

对于C，若，方程变为，表示圆，故C正确.

对于D，若，，此时变为，表示直线；同理，若，，也表示直线，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查圆锥曲线的定义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.

10．设，，是平面内不共线的三点，若，则下列选项正确的是（    ）

A．点，，在同一直线上    B．

C．    D．

【答案】AC

【解析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案；

【详解】

，，所以，A正确.

由向量加法的平行四边形法则可知B不正确.

，无法判断与0的大小关系，而，，

同理，所以C正确，D不正确.

故选：AC.

【点睛】

本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

11．若，，则下列选项正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】BCD

【解析】先将，化为对数式，然后比较与的大小，及与的大小可判断A，B的正误；再分别计算及，判断C，D的正误.

【详解】

由题设知，，因为，，

所以，，即A错误，B正确；

因为，故C正确；

又，

故选：BCD.

【点睛】

本题考查指数式与对数式的互化，考查对数式的大小比较及对数的运算，难度一般.

12．在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（    ）

A．曲线在点处的切线方程为

B．

C．曲线关于点对称

D．当时，

【答案】ABC

【解析】A.根据函数在点处的切线经过点，利用点斜式求解判断；B.根据的图象过点及，设(其中)，然后再利用，求解判断；C.由B得到判断；D. 由B结合，有，判断.

【详解】

因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确.

因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确.

由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确.

当时，有，，所以，故D不正确.

故答案为：ABC.

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中档题.

三、填空题

13．已知点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，且，则_______.

【答案】4

【解析】利用抛物线的定义，由求解.

【详解】

因为，

所以.

故答案为：4

【点睛】

本题考查抛物线的定义，考查运算求解能力.

14．若圆锥的母线长是5，高是 4，则该圆锥的体积是______.

【答案】

【解析】求出圆锥的底面半径，然后利用圆锥的体积个数求解即可．

【详解】

解：圆锥的母线长为5，高为4，

可得圆锥的底面半径为：，

所以圆锥的体积是：．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查圆锥的体积的求法，属于基础题．

15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧是一个以点为圆心､为直径的半圆，米.圆弧的圆心为点，米，圆弧与圆弧所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为___________平方米.

【答案】

【解析】连接，利用题目所给条件结合解三角形知识解出，从而得出的大小，则根据题意可知，该月牙泉的面积为半圆的面积减去弓形的面积，然后计算各部分的面积作差即可.

【详解】

如图所示，连接，易知，

因为，所以，.

则弓形的面积为：，

又半圆的面积为：，

所以月牙泉的面积为： 

(平方米).

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数知识的实际应用，考查扇形面积公式的运用，较简单.

16．假设苏州肯帝亚球从在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于，其中，且各场比赛互不影响.令表示连续9场比赛中出现输球的场数，且令代表9场比赛中恰有场出现输球的概率.已知，则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为___________.

【答案】

【解析】利用二项分布列出等式，解方程求出，再根据即可求解.

【详解】

由题意知，因为，

所以，

化简得，解得，从而.

故答案为：

【点睛】

本题考查学生对二项分布的理解和应用，考查数据处理能力，属于基础题.

四、解答题

17．在①，②，③的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.

已知的内角，，所对的边分别为，，，且___________.

（1）求角；

（2）若为的中点，且，，求，的值.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【解析】选择①

（1）利用正弦定理将角转化边，整理得到，然后利用余弦定理求解.

选择②

（1）利用正弦定理将边转化角得到，然后利用两角和的正弦公式转化为求解.

选择③

（1）利用面积公式结合条件，然后利用正弦定理将角转化为边整理得到，然后利用余弦定理求解.

（2）在中，由余弦定理得到，在中，由余弦定理得到，然后根据，两式相加求解.

【详解】

选择①

（1）根据正弦定理得，

整理得，即，

所以.

因为，所以.

选择②

（1）根据正弦定理有，

所以，即.

因为，所以，从而有，

故.

选择③

（1）因为，

所以，即，

由余弦定理，得，

又因为，所以.

（2）在中，，即.

在中，，即.

因为，所以，

所以.

由及，得，所以，从而，

所以.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用以及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18．在数列中，已知，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前50项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据条件易得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的求和公式，即可得答案；

（2）利用分组求和法，即可得答案；

【详解】

（1）因为，所以，即，

因为，所以，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，

所以.

（2）由（1）知，

所以

.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式和等差数列、等比数列求和公式，考查运算求解能力.

19．王老师组织甲､乙､丙三位学生参与摸球实验，已知盒有3个红球､7个白球.摸球方法如下：当王老师掷出的骰子为1点时，甲从盒中摸一球；当王老师掷出的骰子为2或3点时，乙从盒中摸一球；当王老师掷出的骰子为其他点时，丙从盒中摸一球.该三位学生摸球后均不放回.假定学生从盒中摸到任何一球的可能性相等.本实验王老师共掷骰子2次.请解答下面的问题：

（1）求学生甲恰好得到2个红球的概率；

（2）求学生乙至少得到1个红球的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）学生甲恰好得到2个红球，即王老师两次都掷出1点且甲两次都摸出红球，根据无放回抽样的概率公式计算可得结果；

（2）学生乙至少得到1个红球包括学生乙恰好得到2个红球和恰好得到1个红球两种情形，其中学生乙恰好得到1个红球，再分为五种情形，分别计算出概率相加即可得解.

【详解】

（1）学生甲恰好得到2个红球，即王老师两次都掷出1点且甲两次都摸出红球，

因此，学生甲恰好得到2个红球的概率为.

（2）学生乙至少得到1个红球包括学生乙恰好得到2个红球和恰好得到1个红球两种情形.

①学生乙恰好得到2个红球，即王老师两次都掷出2或3点且乙两次都摸出红球，

因此，学生乙得到2个红球的概率为.

②学生乙恰好得到1个红球，可分为五种情形：

1°王老师第一次掷2或3点且乙模出白球，王老师第二次掷2或3点且乙摸出红球，

此时，概率为，

2°王老师第一次掷2或3点且乙摸出红球，王老师第二次掷2或3点且乙摸出白球，

此时，概率为，

3°王老师第一次掷2或3点且乙摸出红球，王老师第二次掷1或4或5或6点，

此时，概率为.

4°王老师第一次掷1或4或5或6点且甲或丙摸出红球，王老师第二次掷2或3点且乙摸出红球，

此时，概率为.

5°王老师第一次掷1或4或5或6点且甲或丙摸出白球，王老师第二次掷2或3点且乙摸出红球，

此时，概率为.

因此，学生乙至少得到1个红球的概率为.

【点睛】

本题考查了分类讨论思想，考查了无放回抽样的概率，属于中档题.

20．如图，已知，平面，平面，过点且垂直于的平面与平面的交线为，，，.

（1）证明：平面；

（2）设点是上任意一点，求平面与平面所成锐二面角的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）由题意可知平面，则有，又平面，则可得出，从而得出//，再证明平面即可证明平面；

（2）作//，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，然后计算平面和平面的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算.

【详解】

解：（1）证明：因为，平面，

所以//平面，

又平面，平面平面，

所以//.

因为平面，

所以.

又，，

所以平面，

从而平面.

（2）作//，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设，平面､平面的法向量分别为，，

则，，，.

因为平面，

所以，令，得，，即.

同理，令，得，，即.

因为，当且仅当时取等号，

所以平面与平面所成锐二面角的最小值为.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.

21．已知函数.

（1）当时，求在上的单调性；

（2）若，，求的取值范围.

【答案】（1）单调递增；（2）.

【解析】（1）当时，求导得，根据得，故在上单调递增；

（2）等价于，令，分，，三种情况讨论即可得答案.

【详解】

（1）当时，，.

因为，所以，，从而，

所以在上单调递增.

（2）等价于.

令，则.

当时，，在上单调递增，

所以恒成立.

当时，令，得.

当时，，，；，.

所以在上单调递增，在上单调递减，

从而.

令，，则，

所以在上单调递减，，即，满足题意.

当时，，所以在上单调递减，

则，不合题意.

综上，，即的取值范围为.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性，不等式能成立问题，考查数算能力与分类讨论思想，是中档题.

22．已知椭圆：过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点的坐标是，，是椭圆上的两点，满足，证明：直线过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据椭圆：过点和，由求解.

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，联立，根据，由，结合韦达定理得到m，k的关系，然后代入直线方程求解；当直线的斜率不存在时，设其方程为，并设，,再根据求解.

【详解】

（1）因为椭圆：过点，

所以，

又，所以，

解方程组，得，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：①当直线的斜率存在时，设其方程为，

联立，消去得，

由，得.

设，，则，.

因为，所以，

即，

所以，

化简整理得，

所以或.

当时，，过定点，不符合题意，舍去﹔

当时，，过定点.

②当直线的斜率不存在时，设其方程为，并设，，且.因为，

所以，

解得或(舍去)，显然直线过定点.

综上，直线过定点.

【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.