2015年广东高考数学(理科)试卷及答案解析

数学（理科）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

    要求的.

1. 若集合, ,则

2. 若复数,则

3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是

4. 袋有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1

 个白球,1个红球的概率为

    A. 1                B.  

5. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是

6. 若变量满足约束条件,则的最小值为

  6.

7. 已知双曲线的离心率,且其右焦点为,则双曲线的方程为

8. 若空间中个不同的点两两距离都相等,则正整数的取值

 大于5等于5. 至多等于4至多等于3

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.

(一)必做题(9 ~ 13题)

9. 在的展开式中,的系数为_____________.

10. 在等差数列中,若,则_____________.

11. 设的内角的对边分别为.若,则___________.

12. 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留言.(用数字

 作答) 

13. 已知随机变量服从二项分布.若,则__________.

(二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为,点的极坐标为,则点

 到直线的距离为____________.

15. (几何证明选讲选做题)如图1,已知是圆的直径, ,

 是圆的切线,切点为,.过圆心作的平行线,

 分别交和于点和点,则___________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (本小题满分12分)

 在平面直角坐标系中,已知向量,.

 若,求的值;

 若与的夹角为,求的值.

.

17. (本小题满分12分)

 某工厂36名工人的年龄数据如下表.

 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,

 列出样本的年龄数据;

 计算(1)中样本的均值和方差;

 名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？

18. (本小题满分14分)

 如图2,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直, ,

   点是的中点，点分别在线段上，且.

    (1)证明：；

    (2)求二面角的正切值；

    (3)求直线与直线所成角的余弦值.

19. (本小题满分14分)

    设,函数.

    (1)求的单调区间;

    (2)证明在上仅有一个零点;

    (3)若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(是坐标原点),

       证明:.

20. (本小题满分14分)

   已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点.

   (1)求圆的圆心坐标;

   (2)求线段的中点的轨迹的方程;

   (3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点？若存在,求出的取值范围;

     若不存在,说明理由.

21. (本小题满分14分)

    数列满足:.

    (1)求的值;

    (2)求数列的前项和;

(3)令证明:数列的前项和满足.

1. 答案:提示: 

2. 答案:提示: 

3  答案

4答案:提示: 所求概率为

 5.答案:提示: 设所求直线的方程为

  6 答案:提示: 可行域为一五边形及其内部(含边界),该五边形的五个顶点分别为A(1,2), B(3,2), C(3,0),D(2,0),E, 易知当目标函数过点E时取到最小值,此时z=

  7. 答案:提示: 

  8. 答案

9.答案

提示: 

10.答案:提示: 

11.答案:提示: 

12.答案:提示: 

13.答案:.提示: 

14答案:

 15.答案: 8.

16.  解:(1),

 ,.

 即,.

 依题意,

 即,

17.解:(1)各分段工人的编号依次为1~4,5~8,…,33~36, 

 依题意,第一分段里抽到的年龄为44,即抽到的是编号为2的工人,

 从而所得样本的编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,

 即样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.

 即36名工人中年龄在与之间有23人,所占的百分比是.

18.解:(1)证明: 

19. 解:(1),.

        (2),

        (3)由得,又,.

          依题意, ,

          设,则,

          当时,; 当时, , ,

          从而,即.,即,

          ,

20. 解:(1) .

 法一: 设, , ,

 即,,

 ,.

 .

 法二: 

 .

 将代入中得:,

 , ,

 由得,

 与曲线只有一个交点;

          综上所述,时,直线与曲线只有一个交点.

21.解:(1)