...最新一轮复习必考题型巩固提升学案:8.5直线、平面垂直的判定及其性质...

考情分析

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点，在难度上也始终以中等偏难为主。

基础知识

1判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条；垂直于同一平面的两条直线平行。

2．线面垂直：定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直：两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（线面垂直面面垂直）。

两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直线面垂直）。

注意事项

1.垂直问题的转化关系

2. (1)证明线线垂直的方法

①定义：两条直线所成的角为90°；

②平面几何中证明线线垂直的方法；

③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

(2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

②判定定理1： ⇒l⊥α；

③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

(3)证明面面垂直的方法

①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥

题型一　直线与平面垂直的判定与性质

【例1】下列命题中错误的是(　　)

A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案：D

解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．

对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．

对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.

∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题C正确．

对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误，故选D.

【变式1】 如图，

已知BD⊥平面ABC，

MC綉BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．

求证：CN⊥AD.

证明　∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.

又∵AC＝BC，N是AB的中点．

∴CN⊥AB.

又∵BD∩AB＝B，

∴CN⊥平面ABD.

而AD⊂平面ABD，

∴CN⊥AD.

题型二　平面与平面垂直的判定与性质

【例2】如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．

答案：垂直

解析： ⇒DE⊥AC且BE⊥AC.故AC⊥平面BDE.故平面ADC⊥平面BDE.

【变式2】 如图所示，

在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

证明：平面ABM⊥平面A1B1M.

证明　∵A1B1⊥平面B1C1CB，BM⊂平面B1C1CB，∴A1B1⊥BM，

由已知易得B1M＝，

又BM＝＝，B1B＝2，

∴B1M2＋BM2＝B1B2，∴B1M⊥BM.

又∵A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M.

而BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M.

考向三　平行与垂直关系的综合应用

【例3】已知平面α，β和直线m，给出下列条件：

①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.

(1)当满足条件________时，有m∥β；

(2)当满足条件________时，有m⊥β(填所选条件的序号)．

答案：(1)③⑤　(2)②⑤

解析：(1)∵α∥β，m⊂α，

∴m∥β.

(2)∵α∥β，m⊥α，

∴m⊥β.

【变式3】 如图，

正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；

(2)求证：CF⊥平面BDE. 

证明　(1)设AC与BD交于点G.

因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1.

所以四边形AGEF为平行四边形，

所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，

所以AF∥平面BDE.

(2)如图，连接FG.

因为EF∥CG，EF＝CG＝1，

且CE＝1，

所以四边形CEFG为菱形．

所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.

又因为平面ACEF⊥平面ABCD，

且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

所以BD⊥平面ACEF. 

所以CF⊥BD.

又BD∩EG＝G.

所以CF⊥平面BDE.

考向四　线面角

【例4】

如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；

(2)当PD＝AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

 (1)证明　∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，

∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB.

(2)解　设AC∩BD＝O，连接OE.

由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．

∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝PD.

又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.

在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，∴∠AEO＝45°.

即AE与平面PDB所成的角为45°.

 求直线与平面所成的角，一般分为两大步：

(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；

(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．

【训练4】

如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

(1)证明　因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.

又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，从而PQ∥平面ACD.

(2)解　如图，连接CQ，DP.

因为Q为AB的中点，且AC＝BC，

所以CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，

所以EB⊥平面ABC.

因此CQ⊥EB，又AB∩EB＝B，

故CQ⊥平面ABE.

由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，

所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，

因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，

在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝.

因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.　　

重难点突破

【例4】如图，

在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面PAD.

解析

(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.

又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.

(2)如图，连结BD.

因为AB＝AD，∠BAD＝60°，

所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

 巩固提高

1.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是(　　)

A. l∥m，l⊥α　　　　　    B. l⊥m，l⊥α

C. l⊥m，l∥α　　    D. l∥m，l∥α

答案：C

解析：设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.

2.设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是(　　)

A. 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B. 若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α

C. 若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

D. 若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

答案：C

解析：与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行，故A错；对于B，存在n∥α情况，故B错；D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.

3.平面α⊥平面β的一个充分条件是(　　)

A. 存在一条直线l，l⊥α，l⊥β

B. 存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β

C. 存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β

D. 存在一条直线l，l⊥α，l∥β

答案：D

解析：由A项可推出α∥β；由B项可推出α∥β；由C项可推出α∥β或α⊥β，均不是α⊥β的充分条件．故应选D.

4.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)

A. PA⊥AD

B. 平面ABCDEF⊥平面PBC

C. 直线BC∥平面PAE

D. 直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°

答案：A

解析：因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥AD，故A正确；B项中两个平面不垂直；C项中，AD与平面PAE相交，BC∥AD，故C错；D项中，PD与平面ABCDEF所成的角为45°，故D错．故选A.

5.如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是(　　)

A. ①②④　　    B. ①②③

C. ②③④　　    D. ①③④

答案：B

解析：由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①对；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②对；易知DA＝DB＝DC，又由②知③对；由①知④错．故选B.