人口预测数学模型

2010年11月29日一、摘要

中国是人口大国，人口的预测问题始终是关系到社会和谐发展的关键因素之一。建立中国人口增长的数学模型，并由此预测人口增长的中短期及长期趋势，会为国家制定相应的人口提供理论依据。

影响人口增长的因素很多，人口基数、出生率和死亡率、男女人口比例、人口年龄组成情况、工农业生产水平的高低、自然灾害、战争、人口迁移等，对人口数目的变化有很大的影响。

如果一开始就把所有因素都可以考虑进去，建模则无从下手。我们先把问题简化，只考虑人口增长的主要因素---增长率和人口基数，其余的客观因素暂时不考虑，来建立一个较粗的数学模型。在这个模型的基础上逐步考虑其他因素的影响，进而建立与实际情况更加温和的人口增长预测模型。

人口的增长过程可用微分方程来描述。初看起来，人口增长是不能用微分方程来描述的，

因为人口总数是按整数变化而不是时间的可微函数。然而，如果总数很大，可以近似认为它是时间的连续函数，甚至是可微函数。

设N（t）,r(t,N(t))表示t时刻的人口总数和增长率。假设只考虑增长率，其余的客观因素暂时不考虑，则在t到(t+∆t)这段时间内人口总数增长为

N(t+∆t)－N(t)= r(t,N(t)) N(t) ∆t

两端同除以∆t，并令∆t→0，有

dN(t)

dt= r (t, N (t)) N (t) （1）二、问题重述与分析

我国作为人口大国，人口问题一直是制约我国发展的重要因素，对短期和长期的中国人口增长趋势做出预测和分析。对题中涉及的中短期的概念，我们理解为：短期预测约为5-10年。我们所需要做的有以下三项工作：

1、对我国人口的增长情况进行预测；

2、根据预测的我国人口的增长趋势，对我国的人口特点进行分析；

3、根据人口增长趋势状况，计算近几年的人口数目。

由于影响人口增长的因素，如：出生率，死亡率都是随机的，无法准确预测，所以此模型预测问题带有不确定性，至少需要用不确定性方法求解。对于人口增长趋势的分析，为了解决中国人口问题，需要利用增长率和人口基数这些指标，建立相应的目标函数，对如何有效控制人口增长，解决人口问题进行探讨，方便对人口发展进行预测和控制，做出决策提供一定的参考依据。

三、模型的假设和符号说明

（1）将所研究的社会人口作为一个整体，当作一个系统；

（2）所以表征和影响人口变化的因素都是在整个社会人口平均意义下定义的；

（3）不考虑迁移等社会因素，生存空间等自然资源的制约,意外灾难等因素对人口变化的影响；

（4）假设社会稳定，死亡率与时间无关；

四、人口预测模型的分析与建立

从所要解决的问题和对问题所做的假设出发，进行模型推导，建立预测模型。由（1）式，可得

{dN(t)

= r N (t)

N (t)|t=t

=N0

(2)

但是这种模型只在人口总数不太大时成立。当人口总数非常大时，地球上的各种资源、环境条件因素对人口增长的作用会越来越明显。因此，对该模型中人口增长率进行修改，并且在方程（1）的右边加上一项－K N2（对于一般的生物，这一项成为竞争项，单位时间内2个成员相遇次数的统计平均值与N2成正比），此时式（1）变为

{ dN(t)dt = r N (t ) −KN 2 N (t )|t=t 0=N 0

（3）

其中，r ,K 称为生命系数。其解为

N=1

K

+(10−K )e −rt (4)

讨论式（4）可以得出人口总数具有一下规律：

1. 当t →∞时，N (t )→r K

。N 最终趋向于极限值r K

；

2. 当0K 时，

dN dt

= r N −KN 2=KN (r

K − N )>0；

所以 N (t )是时间的单调递增函数。 又

d 2N dt = r dN dt −2KN dN

dt =(r −2KN )N(r −KN)

N2K 时，

d 2N dt >0曲线向下凹;当 N>r

2K 时，d 2N

dt <0，曲线向上凸。

t

显然N （t ）的形状如上图所示。这种曲线成为S 行曲线。由曲的形状，可以得出如下结论： 在入口总数达到极限值的1/2(即r/2K)以前，是加速增长时期；过了这一点以后，增长的速度逐渐减小，并且迟早会达到零，这是减速增长时期。

为了检验上述结论是否正确，用此模型来预测未来人口总数。这就必须估计生命系数r 和K 。据生物学家估计，r 的自然值为0.029，又在1990年人口总数为114333万人时，人口的增长速率为1.4% 。 由

1N dN dt

= r −KN

得 K=1.68×10−11

按照该模型，中国人口总数的极限值为

K

= 1.72×109模型为

N=1010

5.8+3.9e−0.029（t−1990）

由此模型可以预测出未来中国人口总数的理论值，和中国实际人口总数比较如下表：

表1 全国人口数量统计（单位：万人）

借助于表1中的数据，我们做出了人口数量与时间的曲线图：

由此表达式可以推断，人口增长率的函数在此时间段内和中国实际人口增长函数基本吻合。从此可以得出，该人口增长模型基本上适合当前中国人口增长的预测。

五、模型的优缺点评价

优点：

1、我们的结论建立在对数据科学分析的基础上，反映了客观实际，增强了说服力；

2、模型一中，在运用增长率预测模型进行预测前，首先采用多种检验方法对此模型的合理性进行检验，量化出相对误差，关联度等多项检验指标，并对模型综合评价，确保了此模型在应用时的有效性和可信性；

缺点：

1、在对人口增长趋势进行预测时未考虑女人口比例、人口年龄组成情况、工农业生产水平的高低、自然灾害、战争、人口迁移等的影响。

2、辅助数据的数量与广度也有待扩大，样本的局限不能使所用方法与所建模型增色，例如若能多援引些网上所查数据对样本进行补充，模型的精度和可信度都会有相应的提高；

六、辅助数据与参考文献

1、辅助数据:

生命系数r,K.

2、参考文献：

【1】郭齐胜杨秀月王杏林等，《系统建模》，北京：国防工业出版社，2006年。

【2】赵静但琦，《数学建模与数学实验》，北京：高等教育出版社，2006年。

【3】任善强等，《数学模型》，重庆大学出版社，2008年。

【4】国家统计局，年度统计公报，www.stats.gov.cn/tjgb/，2007年9月22日.